初等数论

摘要： 为了在初等数论课程中融入课程思政理念,实现"三全育人",本文从融入思政教育的内容、层次及方式三个方面研究初等数论课程教学中融入课程思政的教学路径,重点从数学与哲学、数学与美学、数学与史学、数学与文学四个方面介绍融入的思政内容,体现初等数论中蕴含的哲学思想,连分数与黄金比的统一美,中国数学故事蕴含的科学精神和人文精神等,从教学内容、教师两个层次考虑融入课程思政,教学中采用以数学推理、数学问题、数学故事、多学科应用等以渗透为主的融入方式开展适当的思政教育,最后总结了初等数论在课程思政过程中的注意事项.

摘要： 文章给出了2021年清华大学强基计划数学试题的回忆版及其详解.

摘要： (本讲适合高中)同余是初等数论的重要组成部分,在处理整除性、整数分类、解不定方程等数学竞赛问题中起到重要作用,其相关的定理也是解决数论问题的重要工具.本文给出同余的定义及常用定理,并通过近几年的竞赛题举例,从解题的思路分析,说明同余思想在数学竞赛中的应用.

摘要： 初等数论作为网络安全和密码学专业的基础课程,在密码人才培养中发挥着重要的作用。文章在已有相关研究成果基础上,通过整理国内外相关的数字电子资源,较为全面地介绍初等数论知识在密码学领域的各种应用情况,并针对网络安全和密码学等专业人才培养过程中对数论知识的不同需求,给出了初等数论教学和应用的几点建议。

摘要： 校本课程作为标准课程的补充,丰富了学校的课程资源,为学生提供了更多学习的可能性,越来越受到教育部门的重视,也自然成为了教师的研究课题.本文以“初等数论初步”为例,从课程背景、课程目标、课程内容、开发案例、课程评价等方面阐述校本课程具体实施的步骤和思考,以此提供校本课程实施的一种方式.

摘要： 通过《初等数论》课程基于小班研讨的教学模式探索,提出基于问题引导地启发教学,按照“金课”标准要求,通过八大问题反复连续训练学生分析解决问题的能力,并进一步深入和思考问题,提出可能的新问题,打造出具有“两性一度”的一流课程,这种模式收到了良好的教学效果.

摘要： 本文主要从具体实例出发讨论了如何求解一类变系数欧拉函数方程以及分类讨论其正整数解的问题.利用欧拉函数相关知识结合初等数论中的计算方法,以m=3,n=4为例,对方程Φ(abcd)=3Φ(a)Φ(b)+4Φ(c)Φ(d)进行求解,得出满足该方程的173组正整数解,同时为所有n元变系数欧拉方程的求解提供了通用解法.

摘要： 本文通过案例分析的形式介绍初等数论知识在小学数学中如何渗透,通过突出整数以及整除特性、明确整除特征、发掘教材内容、重视整数标准分解、拓宽素数知识面等措施,扩宽学生视野,增强其解决问题能力,同时渗透数学思想方法,让学生感受数学文化,强化学习动机与学习兴趣。

摘要： 初等数论是大学数学专业的基础课程之一,其教学质量对培养中小学数学教师有直接的影响.结合初等数论的课程特点,从教学内容、教学方法、教学手段等方面入手,对初等数论如何与高中数学对接进行探索.

摘要： (本讲适合高中)近些年来,作为代数数论与初等数论的一个“交汇”,p进制数赋值v(x)(表示整数x的素因数分解中p的次数)经常作为知识背景在国内外一些著名赛事的问题中出现,用以刻画整数的素因子结构.而在这之中,库默尔定理在刻画组合数的素因子结构方面颇具威力(最弱的情况下也能当一种另类的卢卡斯定理使用).本文通过选取近几年的竞赛题举例,探讨库默尔定理在数学竞赛中的应用.

摘要： 创新性大学课程设计是大学生一个新的塑造自我和表现自我的机会,交给他们进行大学课程设计的基本原理和体系,能使我们在大学教学中真正的实现课程设计和师生互动这两个基本环节的有机结合,从而达到相应的教学目的,培养出优秀的创新人才.现以初等数论课程中的探索与实践为例,探讨几点成功的做法.

摘要： 当P是大于5的质数时,整式P～-1能被240整除,应用质数和十进制正整数的数值特性P=6n±1和n=10m+j代入原式的因式分解式,较好地证明了上述结论,并且推广到P为多个大于5的质数的连乘积的合数时也正确;当P为其它形式的合数时,应用类似方法对原式的整除特性也进行了深入研究。结果表明所介绍方法的解题结构清晰,其计算过程很容易设计程序用计算机实现。然后应用初等代数和和初等数论的知识对原题再给出另外两种非常简捷的证法。

摘要： 《九章算术》是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是在公元1世纪的下半叶.它的出现标志着中国古代数学体系的形成."中国剩余定理"不仅完美地解决了"孙子问题",而且提供了解决"韩信点兵"之类"剩余"问题的一般方法,更为重要的是,它揭示了其中本质的算法结构,为一次同余式组求解理论奠定了科学基础,可谓数学的一大发现.南宋时期，出生于四川安岳的大数学家秦九韶，深入研究了"孙子问题"及其解法后，才从理论上给出了说明，定名为"大衍求一术"，在"大衍求一术"中，秦九韶给出了解类似"孙子问题"的一整套方法，完善了孙子开创的一次同余式组求解的方法和理论。1852年"大衍求一术"传入欧洲，人们发现"大衍求一术"和高斯的定理是一致的，而中国人的研究早了1000多年，于是欧洲人就将求解一次同余式称之为"中国剩余定理"或"孙子定理"。德国数学家康托称:发现大衍求一术的人是"最幸运的天才"。美国科学史家萨顿称赞秦九韶:"他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一"。

摘要： 《九章算术》是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是在公元1世纪的下半叶.它的出现标志着中国古代数学体系的形成."中国剩余定理"不仅完美地解决了"孙子问题",而且提供了解决"韩信点兵"之类"剩余"问题的一般方法,更为重要的是,它揭示了其中本质的算法结构,为一次同余式组求解理论奠定了科学基础,可谓数学的一大发现.南宋时期，出生于四川安岳的大数学家秦九韶，深入研究了"孙子问题"及其解法后，才从理论上给出了说明，定名为"大衍求一术"，在"大衍求一术"中，秦九韶给出了解类似"孙子问题"的一整套方法，完善了孙子开创的一次同余式组求解的方法和理论。1852年"大衍求一术"传入欧洲，人们发现"大衍求一术"和高斯的定理是一致的，而中国人的研究早了1000多年，于是欧洲人就将求解一次同余式称之为"中国剩余定理"或"孙子定理"。德国数学家康托称:发现大衍求一术的人是"最幸运的天才"。美国科学史家萨顿称赞秦九韶:"他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一"。

摘要： 《九章算术》是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是在公元1世纪的下半叶.它的出现标志着中国古代数学体系的形成."中国剩余定理"不仅完美地解决了"孙子问题",而且提供了解决"韩信点兵"之类"剩余"问题的一般方法,更为重要的是,它揭示了其中本质的算法结构,为一次同余式组求解理论奠定了科学基础,可谓数学的一大发现.南宋时期，出生于四川安岳的大数学家秦九韶，深入研究了"孙子问题"及其解法后，才从理论上给出了说明，定名为"大衍求一术"，在"大衍求一术"中，秦九韶给出了解类似"孙子问题"的一整套方法，完善了孙子开创的一次同余式组求解的方法和理论。1852年"大衍求一术"传入欧洲，人们发现"大衍求一术"和高斯的定理是一致的，而中国人的研究早了1000多年，于是欧洲人就将求解一次同余式称之为"中国剩余定理"或"孙子定理"。德国数学家康托称:发现大衍求一术的人是"最幸运的天才"。美国科学史家萨顿称赞秦九韶:"他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一"。

摘要： 《九章算术》是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是在公元1世纪的下半叶.它的出现标志着中国古代数学体系的形成."中国剩余定理"不仅完美地解决了"孙子问题",而且提供了解决"韩信点兵"之类"剩余"问题的一般方法,更为重要的是,它揭示了其中本质的算法结构,为一次同余式组求解理论奠定了科学基础,可谓数学的一大发现.南宋时期，出生于四川安岳的大数学家秦九韶，深入研究了"孙子问题"及其解法后，才从理论上给出了说明，定名为"大衍求一术"，在"大衍求一术"中，秦九韶给出了解类似"孙子问题"的一整套方法，完善了孙子开创的一次同余式组求解的方法和理论。1852年"大衍求一术"传入欧洲，人们发现"大衍求一术"和高斯的定理是一致的，而中国人的研究早了1000多年，于是欧洲人就将求解一次同余式称之为"中国剩余定理"或"孙子定理"。德国数学家康托称:发现大衍求一术的人是"最幸运的天才"。美国科学史家萨顿称赞秦九韶:"他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一"。

摘要： 本发明公开了一种数论变换计算电路、方法及计算机设备，该计算电路包括：旋转因子生成模块、数论变换计算单元及反向数论变换计算单元，其中，旋转因子生成模块用于获取基础运算参数，并基于基础运算参与生成派生参数及旋转因子；数论变换计算单元包括：多级第一计算层，各级第一计算层分别用于基于基础运算参数、派生参数、旋转因子及前一级第一计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第一输出结果；反向数论变换计算单元包括：多级第二计算层，各级第二计算层分别用于基于基础运算参数、旋转因子、第一输出结果及前一级第二计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第二输出结果。

摘要： 本发明公开了一种应用于环域上误差学习加密算法的数论变换单元和方法，属于信息安全算法的电路实现领域。该数论变换单元包括：输入输出控制器、蝶形运算单元、地址生成器、有限状态机；所述输入输出控制器控制与外部存储器的读写设计与数据输出；所述蝶形运算单元实现基本的数论变换蝶形运算；所述地址生成器生成数据地址及对应的旋转因子；所述有限状态机控制整个蝶形运算单元的工作流程。本发明采用基于分布式存储的快速模乘电路，减少蝶形运算中求模运算所带来的大量时间；在较少的电路资源消耗下，能够快速完成数论变换，极大地提高电路的运行效率，达到了环域上误差学习加密算法高速加密与解密的目的。

摘要： 本发明公开了一种应用于格密码体制的可重构数论变换单元和方法，属于信息安全算法的电路实现领域。本发明包括输入输出控制器、蝶形运算单元、地址运算器、状态控制器、动态重构控制器；输入输出控制器用于控制对外部储存器的数据读写操作，蝶形运算单元用于对输入的数据实现模乘运算和蝶形运算，地址运算器用于实现对数据地址的运算，并为蝶形运算单元提供旋转因子和逆元，动态重构控制器用于控制参数的选择、运算长度的控制以及模的选择，状态控制器用于控制整个可重构数论变换单元的工作流程。本发明通过动态可重构设计，能设置不同参数及对数论变换单元内相关随机存储器中存储的数据进行更新，以实现多种模、多种数据个数下的数论变换。

摘要： 本发明公开了一种用于大数乘法的数论变换电路，包括主控单元，接收变换前数据并存储入主存，向地址生成单元发送数论变换开始信号；主存，存储数论变换前中后的数据；基16运算单元，实现16点的数论变换并存入第一随机存储器；地址生成单元，生成取数地址，将取数地址作为存储地址发送给转置及旋转因子相乘单元，生成旋转因子只读存储器地址发送给旋转因子只读存储器；转置及旋转因子相乘单元，读取第一随机存储器中矩阵，完成矩阵的转置，以及矩阵和旋转因子的点乘并根据存储地址将结果存入主存；旋转因子只读存储器读取旋转因子发送给转置及旋转因子相乘单元。本发明实现786432bits数字乘法的数论变换，提高运算利用率，节省电路逻辑及存储资源。

摘要： 本申请公开一种基于数论变换的格密码多项式乘法运算的优化方法及装置。所述优化方法包括：在所述数论变换前，将需要进行变换的多项式系数存储在外部寄存器中；根据所述格密码算法的变换参数，计算初始化旋转因子并在所述外部存储器中进行预存储；在当前阶变换中，读取预存储的所述初始化旋转因子，迭代计算当前阶旋转因子；采用变换算法，对计算的所述当前阶旋转因子和读取的所述多项式系数进行当前阶变换。通过在迭代中动态生成旋转因子，去除了对旋转因子进行预计算的操作，从而节省存储空间，使得算法支持更多不同的参数设置，更加节约芯片面积。

摘要： 本发明公开了一种数论变换素数下的模乘运算方法，采用Karatsuba分治算法和多步Montgomery约减算法相结合的方式来进行素数域上的模乘运算ab mod p，使用了Karatsuba分治技巧之后，使用使得数乘的运算复杂度降低为原来的四分之三左右；并且，Montgomery约减算法的核心算法思想是“以乘代除”，通过在原数E的基础上加上模数p的某一个倍数k×p，使其在模意义下不变的前提下转化为一个比特表示尾部全为0的数，然后直接通过舍弃尾端的0来实现数值的约减；可以节约一定的计算资源，同时一定程度上提升模乘速度。

摘要： 本发明提出一种基于GPU快速数论转换的全同态加密门自举方法，使用矩阵运算的形式来计算NTT，并且使用扩充到192位的方式，以移位代替乘法，从而在乘法之后完全不需要进行取模运算，大大减少了取模运算的数量，并且在移位之前进行了合并预处理，减少了移位运算的数量，提升了快速数论转换的运算效率。

摘要： 本发明公开了一种数论变换装置，包括输入控制单元、旋转因子产生单元、主运算单元和输出控制单元；其中，输入控制单元与主运算单元连接，用于实现数据的传输；旋转因子产生单元与主运算单元连接，用于和主运算单元通过握手信号进行同步，生成主运算单元计算中每个stage所需要的旋转因子；主运算单元设置蝶形计算单元，用于通过蝶形计算来实现每个stage的数据流模乘计算；输出控制单元与主运算单元连接，用于将待输出数据结果的数据流位宽、时钟域转换按照后级模块需求进行转换输出。本发明实现提高了运算并行度，降低了了数论变换装置的平均计算时间，提高了系统处理能力。

摘要： 一种基于快速数论转换的多项式快速求积方法。本发明公开了一种用于在计算有限域中多项式乘法的高效方法。具体来说，对于为多项式环，Φs(x)为分圆多项式)上的两个n(n为正整数)维多项式的乘积，分别提出混合数论转换H‑NTT和G3‑NTT。主要包括：H‑NTT和G3‑NTT的基本构造，复杂度分析，最优条件以及方法实现。可以广泛应用于基于环上错误学习RLWE(Ring Learning with Errors Problem)和模上错误学习MLWE(Module Learning with Errors Problem)的密码方案实现中。

摘要： 本发明公开了一种数论变换计算电路、方法及计算机设备，该计算电路包括：旋转因子生成模块、数论变换计算单元及反向数论变换计算单元，其中，旋转因子生成模块用于获取基础运算参数，并基于基础运算参与生成派生参数及旋转因子；数论变换计算单元包括：多级第一计算层，各级第一计算层分别用于基于基础运算参数、派生参数、旋转因子及前一级第一计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第一输出结果；反向数论变换计算单元包括：多级第二计算层，各级第二计算层分别用于基于基础运算参数、旋转因子、第一输出结果及前一级第二计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第二输出结果。