一道福建高考题的解法研究

摘要

cqvip:题(2012年福建数学高考(理)第20题):已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.解法一(原解答)(1)由于f’(x)=ex+2ax-e,曲线在点(1,f(1))处切线斜率k=2a=0,所以a=0.即f(x)=ex-ex,此时f’(x)=ex-e,由f’(x)=0得x=1.当x∈(-∞,1)时,f’(x)0;当x∈(1,+∞)时,f’(x)0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).