一个等价条件的应用

摘要

在不等式证明中一个常用的绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|可推得如上两个结论: （Ⅰ）|a+b||a|+|b|ab0, （Ⅱ）|a+b|=|a|+|b|ab≥0。这两个结论对解一些方程和不等式有事半功倍之效。例1 解方程 (x+（2x-1）1/2)1/2+(x-（2x-1）1/2)1/2=21/2 （第一届国际中学生数学竞赛题） 解:将原方程两边乘以21/2得:(2x-1+2 （2x-1）1/2)1/2+1+(2x-1-2 （2x-1）1/2)1/2+1=2令y=（2x-1）1/2（y≥0）,则原方程可变为: （（y+1）2）1/2+（（y-1）2）1/2=2即|y+1|+|1-y|=2∵（y+1）+（1-y）=2,根据（Ⅱ）得:（y+1）（1-y）≥0,∴-1≤y≤1。又y≥0,∴0≤y≤1即0≤（2x-1）1/2≤1解之得1/2≤x≤1。