由一道三角最值题引发的思考

摘要

@@题目　求函数rnrny=cosθsin(θ)/(2)0<θ<(π)/(2)rn的最大值.rn　　翻遍大量的资料发现，解此题都是采用如下的“平方——配系——均值不等式”思路：rn　　解法1rn　y2=cos2θsin2(θ)/(2)=cos2θ*(1-cosθ)/(2)rn=(1)/(4)cosθcosθ(2-2cosθ)rn≤(1)/(4)(cosθ+cosθ+(2-2cosθ))/(3)3=(2)/(27),rn当且仅当cosθ=2-2cosθ,即cosθ=(2)/(3)时上式取等号，所以ymax=(6)/(9).rn　　思考1　除上述思路外，有无其他思路?rn　　运用倍角公式将原函数变形得rnrny=cosθsin(θ)/(2)=1-2sin2(θ)/(2)sin(θ)/(2),rn若令x=sin(θ)/(2)，则问题转化为：“求三次函数y=2x3-x00,故x=(6)/(6)是函数y的极小值点，也是函数y的最小值点，所以ymin=2(6)/(6)3-(6)/(6)=-(6)/(9)，即原题所求的最大值是(6)/(9).rn　　导数法操作简单但属于高等解法，是否有初等解法?rn　　由解法2知2x3-x≥-(6)/(9)，即2x3+(6)/(9)≥x，这个不等式左边出现x3，右边出现x,这使得我们联想起三元基本不等式“a3+b3+c3≥3abc(a,b,c∈R+)”于是有：