由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

摘要

“已知如图各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1,⊙O2的半径为R,注⊙O的半径。”这道题是义务教育三年制初中教科书《几何》（第三册）（人教版）第152页的第5题。为以下讨论方便,我们设⊙O的半径为R,则四⊙O1,⊙O2的半径为r/2号;并设⊙O 3的半径为r3,则由图中可知:（R/2）2+（R-R3）2=（R/2+R3）2,解得:R2=R/3（因为OO3⊥O1O2）。 现在我们对这道题进一步研究,能否求出与⊙O、⊙O1、⊙O3都相切的⊙O4的半径?回答是肯定的。设⊙O4的半径为r4,并设∠O1OO4=a,如图,则∠O3OO4=90°-a,由余弦定理得: