一类具有防御能力及脉冲扰动的食物链系统的定性研究

摘要

近年来，众多学者以传统的Lotka-Volterra种群模型为基础，建立并研究了许多更加符合现实的种群模型.例如下面的模型，{x'(t)=x(t）（1-x(t)）-a1x(t)y(t)/1+b1x(y),y'(t)=a1x(t)y(t)/1+b1x(t)-a2y(t)z(t)/1+b2y(t)-d1y(t),z'(t)=a2y(t)z(t)/1+b2y(t)-d2z(t),}t≠nT△x(t)=0，△y(t)=p，△z(t)=0，}t=nT其中，x(t)代表被捕食种群的种群密度，y(t)代表捕食种群的种群密度，z(t)代表最高捕食种群的种群密度，且z只能捕食y，y只能捕食x，其中的常数a1，a2，b1，b2，d1，d2，p，T都是正常数，n∈Z+，T为脉冲周期.在现实中，p可以理解为人工定期向所研究的系统投放的捕食种群数量.△x(t)=x（t+）-x(t)，△y(t)=y（t+）-y(t)，△z(t)=z（t+）-z(t).作者讨论了当被捕食种群与最高捕食种群都灭绝时，上述系统周期解的局部渐进稳定性以及给出了该系统具有持久性的充分条件.现在，我们把上述系统中函数响应a1x(t)y(t)/1+b1x(x)变为a1x(t)y(t)/1+b1x2(t)，可知系统中的被捕食种群将具有防御能力，此时上述系统变为:{ x'(t)=x(t)(1-x(t))-a1x(t)y(t)/1+b1x2(t),y'(t)=a1x(t)y(t)/1+b1x2(t)-a2y(t)z(t)/1+b2y(t)-d1y(t),z'(t)=a2y(t)z(t)/1+b2y(t)-d2z(t),}t≠nT△x(t)=0，△y(t）=p，△z(t)=0，}t=nT其中的系数没有变化，本文讨论变化后系统周期解的稳定性及系统的持久性.此时，被捕食种群具有防御能力，捕食种群具有脉冲扰动.
　　本文分为两章，在第一章中，我们先介绍一些定义以及引理.包括系统持久性的定义，脉冲微分方程的比较定理，脉冲微分方程T周期系数线性组的Floquent理论等，并得到当被捕食种群和最高捕食种群都灭绝时，捕食种群的T周期解，y*(t)=pexp(-d1(t-nT))/1-exp(-d1T),t∈(nT,(n+1)T]，n∈Z+,这样就得到了变化后的系统，当被捕食者和最高捕食者都灭绝时的T周期解X*(t)=(0，y*(t)，0).
　　在第二章中，对模型进行定性分析，包括系统T周期解X*(t)=(0，y*(t)，0)的局部渐近稳定性分析以及模型的持久性分析.最终得到，如果d1/a1T＜P＜(1-exp(-d1T))(exp(d1Td2b2/a2T)-1)/b2(1-exp(d2b2-a2/a2d1T)),d2b2＜a2,则系统的周期解X*(t)=（0，y*（t),0）是局部渐近稳定的.如果(1-exp(-d1T))(exp(d1Td2b2/a2)-1)/b2(1-exp(d2b2-a2/a2)d2T＜p＜d1/a1T,d2b2＜a2,则系统是持久的.

目录

摘要

第一章 引言

§1．1 研究背景

§1．2 提出问题

§1．3 定义与引理

第二章 模型的定性分析

§2．1 稳定性的结果及证明

§2．2 持久性结果及证明

§2．3 实例分析

结束语

参考文献

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