分数阶非线性系统的广义Mittag-Leffler稳定性及Lp稳定性分析

摘要

近年来，随着计算机的迅猛发展，分数阶微积分在光学系统、粘弹性力学、信号处理、控制系统等领域得到广泛的应用。稳定性是系统的基本特性，是控制系统能够正常运行的前提条件;其次，考虑到非线性系统能更好地体现系统的本质，因此对分数阶非线性系统稳定性进行了研究分析。本论文主要由以下四章组成:
　　 第一章为绪论。在§1.1中，给出了本课题研究的背景，并提出了问题。在§1.2中，介绍了分数阶微积分理论的发展历程，给出了分数阶积分的定义。随后介绍了Rieimman-Liouvelle分数阶算子和Caputo分数阶算子的定义及性质。在§1.3中，列出了几种特殊函数:Mittag-Leffler函数，双参数Mittag-Leffler函数，广义Mittag-Leffler函数，伽马函数，超越几何函数，κ类函数，它们会在随后的章节中得到应用。
　　 在第二章中，重点讨论了在不求解非线性系统方程的情况下判断其稳定的方法。在§2.1中，针对整数阶非线性系统，介绍了整数阶李雅普诺夫第二方法。在§2.2中，对分数阶非线性系统进行了讨论。首先介绍了分数阶李雅普诺夫稳定的方法;其次给出了分数阶Mittag-Leffler稳定及广义Mittag-Leffler稳定的基本定义和定理;最后介绍了分数阶非线性系统在有限时间段下Lp稳定的方法。在§2.3中，给出本章的小结。
　　 在第三章中，重点分析讨论了双参数Mittag-Leftter函数与一幂律函数乘积即函数tγ-1Eα,β（一λtα）在无穷时间序列下的Lp稳定性。在§3.1中，给出了几个基本引理，它们会在后面的小节中用到。在§3.2中，给出了tγ-1Eα,β（一λtα）在无穷时间序列下Lp稳定的充分必要条件。它揭示了该函数是幂律现象与指数现象的一个连续中间过程。在§3.3中，举例验证了该法的正确性。最后给出了本章的小结。
　　 第四章对全文进行了总结，并对未来的工作进行了展望。