基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法

摘要

本发明涉及一种基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，具体操作步骤如下：步骤1：建立存在执行机构部分失效情况下的航天器动力学和运动学方程；步骤2控制器设计。本发明有如下优点：本发明为针对以单框架控制力矩陀螺群为执行机构的航天器，克服了单框架控制力矩陀螺群的奇异性问题。本发明设计的控制器结构简单，各个控制力矩陀螺的容错控制器结构相同，彼此之间互相解耦，而不会发生直接的影响。本发明综合考虑工程实际，不要求事先确知故障和干扰的确切信息。本发明并不具体针对某种构型的单框架控制力矩陀螺群，而是可以用于任意构型的单框架控制力矩陀螺群中，拓宽了其实际应用范围。

说明书

【技术领域】

本发明一种基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，针对以单框架控制力矩陀螺群(Single Gimbal Control Moment Gyros,SGCMGs)为执行机构的三轴稳定航天器，考虑当陀螺群的各个陀螺框架可能发生转速故障，对各陀螺设计容错控制器(Fault Tolerant Controller,FTC),实现航天器对故障具有较强鲁棒性，保证航天器在存在转速故障情况下仍能稳定。本发明属于航天器姿态控制领域。

【背景技术】

随着航天技术的发展，航天任务日趋复杂，从而对航天器的安全性、稳定性和控制精度也提出了更高的要求。例如，发射于2001年的Mars Odyssey因为执行机构反作用轮故障而进入保护模式。因此发展航天器的容错控制技术对于发展航天技术，尤其是在存在故障的情况下尤为重要。

目前航天器姿态控制领域的容错控制技术一般都是针对以飞轮为执行机构的航天器，且大部分研究成果不考虑执行机构的力矩分配问题。少量考虑力矩分配问题的容错控制技术，也要求力矩分配矩阵或力矩雅可比(Jacobian)矩阵为常数满秩矩阵。此外，考虑单框架控制力矩陀螺结构简单、力矩放大作用明显，可靠性高等优点，因此对于大型航天器具有明显的优势。而单框架控制力矩陀螺群的力矩雅可比矩阵为时变且可能为非满秩，由此引出的奇异性问题使得目前的研究成果难以直接用于以单框架控制力矩陀螺群为执行机构的航天器中，因而目前针对以单框架控制力矩陀螺为执行机构的航天器的容错控制技术成果较少。

【发明内容】

本发明的目的在于提供基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，针对以单框架控制力矩陀螺群SGCMGs为执行机构的航天器，通过故障解耦，针对陀螺群的每个陀螺设计具有相同结构的容错控制器，从而实现对整个航天器在执行机构(单框架控制力矩陀螺，SGCMG)存在部分转速失效故障情况下的姿态容错控制。

针对上述问题，本发明一种基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，技术方案如下：

建立存在执行机构部分失效故障的航天器的动力学和运动学方程，在不考虑故障的情况下设计力矩控制器(如比例-微分控制等)，得到期望控制力矩序列，并采用合适的陀螺操纵律计算得到期望框架转速。针对各控制力矩陀螺的框架电机，设计单独的容错控制器，使得各陀螺的框架转速无论在故障或正常状态下使得实际角速度输出跟踪上期望角速度输出。具体操作步骤如下，如图5所示：

步骤1：建立存在执行机构部分失效情况下的航天器动力学和运动学方程

该过程主要建立航天器运动学方程和动力学方程。对于动力学方程，考虑先建立无故障情况下的带有控制力矩陀螺群的航天器的动力学模型，此后加入故障模型。同时，对各个控制力矩陀螺的框架轴建立动力学模型。

具体包含如下子步骤：

步骤1.1运动学方程

如图1所示，定义如下坐标系：

a)地心惯性坐标系

地心惯性坐标系原点固定于地心O_i，O_iX_i轴在赤道平面并且指向春分点，O_iZ_i垂直于赤道平面，方向同地球自转方向，O_iY_i轴在赤道平面，且O_iX_i，O_iY_i和O_iZ_i构成右手直角坐标系。

b)轨道坐标系

轨道系原点位于航天器质心，O_oZ_o轴指向地心，O_oX_o轴垂直于O_oZ_o且指向运动前方，O_oY_o垂直于O_oX_oZ_o平面且O_oX_o，O_oY_o和O_oZ_o构成右手直角坐标系。

c)本体坐标系

本体系原点同轨道坐标系位于航天器质心，O_bX_b指向航天器的运动方向，O_bZ_b轴指向航天器上方且垂直于飞行轨道平面，O_bX_b，O_bY_b和O_bZ_b构成右手直角坐标系。

采用Euler角来描述航天器的姿态，基于3-1-2转动顺序，姿态运动学方程描述如下：

其中ω_b＝[ω_bx>by>bz]^T为航天器绝对角速度在本体系下的分量列阵，θ，ψ为航天器的滚动角、俯仰角和偏航角。为航天器的滚动角速度、俯仰角速度和偏航角速度，表示θ，ψ关于时间的导数；ω_o为轨道角速度，表示轨道系绕本体系O_oy_o轴转动的角速度。

为了进一步表示简介，可以将上述运动学方程改写。引入状态量则运动学方程(1)可以修改成

基于小角度假设并设

则运动学方程可以简化为：

步骤1.2动力学模型

如图2所示，为了方便描述SGCMGs的力矩提供能力，引入控制力矩陀螺框架坐标系框架坐标系的原点在SGCMG的质心O_c处，坐标系各方向单位矢量分别为沿框架轴方向的单位向量沿转子轴转速方向的单位向量沿陀螺力矩输出反方向的单位向量由于SGCMGs一般会由多个控制力矩陀螺通过某种结构构成，各个控制力矩陀螺的物理结构相同，因此框架坐标系的描述相同，以后为了区别各个不同控制力矩陀螺的坐标表述，会给各个轴的向量添加下标“i”代表第“i”个陀螺，例如

不考虑航天器的故障，装有SGCMGs的航天器动力学可以描述如下：

其中，I_b为整个系统的转动惯量矩阵，认为I_b为一个常值惯量矩阵；为ω_b关于时间的导数；h₀为每个单框架控制力矩陀螺由于转子旋转产生的角动量；为与ω_b有关的反对称矩阵，定义为：

A_s＝[s₁>2…s_n]为SGCMGs转子转速方向矩阵，s_i为单位向量在本体系下的表示；I_ws＝diag(I_ws1>ws2…I_wsn)为SGCMGs转子轴向转动惯量阵，I_wsi(i＝1,2,…,n)为第i个控制力矩陀螺的转子轴向转动惯量；Ω＝[Ω₁>2…Ω_n]^T为转子转动角速度，Ω_i(i＝1,2,…,n)是第i个控制力矩陀螺的转子转速。一般的，SGCMGs的各个控制力矩陀螺结构和参数相同，因此可记，

I_wsi＝I_wsj＝I_ws,Ω_i＝Ω_j＝Ω(i,j＝1,2,…,n)

h₀＝I_wsΩ为各个陀螺转子的标称角动量且各个控制力矩陀螺的角动量相同；A_t＝[t₁>2…t_n]为SGCMGs的横向矩阵，t_i为单位向量在本体系下的表示；δ_r为陀螺的各框架角组成的列向量，称其为SGCMGs的陀螺框架角；为陀螺的框架角速度，为δ_r对时间的导数。T_d为航天器受到的外干扰力矩。

上述动力学方程(4)中，矩阵A_s和A_t可以通过如下式子计算得到：

其中，s_i0和t_i0分别是s_i和t_i的初始时刻的值。

步骤1.3故障模式下的动力学方程

对于每个控制力矩陀螺，仅考虑其框架转速故障，则故障模型可以建立如下：

式中，为第i个控制力矩陀螺的实际框架角速度；k_i(t)为故障因子，为区间[0,1]之间的数。k_i(t)＝0表示框架无法转动，0＜k_i(t)＜1表示框架部分失效，k_i(t)＝1正常工作。对于上述过程，框架无法转动在实际工作中便于观测，此时只需要认为该框架不存在，对控制力矩陀螺群进行重新构造即可。因此，本发明主要解决0＜k_i(t)≤1的情况。因此考虑故障模式下的动力学方程建立如下：

其中，K(t)＝diag(k₁(t)>2(t)…k_n(t))为对角矩阵，为了简化形式，定义如下变量：

J为当h₀＝1时的航天器等效转动惯量，J_ws为当h₀＝1时的控制力矩陀螺群等效转动惯量，h为当h₀＝1时的控制力矩陀螺群的等效角动量，d为当h₀＝1时的航天器等效干扰力矩，上述结果为归一化结果。

此时故障模式下的动力学方程描述如下：

步骤1.4控制力矩陀螺框架动力学模型

一般的，控制力矩陀螺的框架和转子均有电机驱动。转子电机维持转子以常速运转，而框架电机驱动框架以特定框架角速度运转，从而产生力矩对航天器进行姿态控制。对于每个控制力矩陀螺的框架，电机驱动模型即动力学模型为：

其中，I_c是控制力矩陀螺的框架角动量，T_e为驱动电机的电磁力矩，T_f为框架运转中的摩擦力矩，是阻尼力矩，K_D是阻尼系数。摩擦力矩T_f采用Stribeck模型，

其中，f_c是库伦摩擦力矩，f_m为静摩擦力矩，f_v为粘性摩擦系数，e≈2.71828为自然常数，为Stribeck特征速度，为框架角速度，sgn(·)为符号函数。

步骤2控制器设计

如图3所示，该步骤主要用来设计控制器来使得航天器的姿态稳定。具体控制器设计思路分为三步：

首先在不考虑故障的情况下设计合适的力矩控制器保证航天器能够实现姿态稳定，通过该控制器能够获得期望的控制力矩；

然后为了解决航天器控制力矩陀螺群存在的奇异性问题，该步骤需要设计合适的操纵律以获得期望的框架转速，同样该步骤不考虑故障的问题。

上述两步只是理想情况，为了解决控制力矩陀螺可能存在的故障问题，需要设计合适的容错控制器能够跟踪上期望框架转速，从而实现容错控制镇定航天器的姿态。

下面具体介绍控制器设计过程：

步骤2.1力矩控制器设计

本步骤主要设计合适的力矩控制器产生期望控制力矩。本发明采用PD控制器来作为力矩控制器。力矩控制结构为：

其中，为步骤1.1中参数F(x)对时间的导数，ω_b和在步骤1.1中给出定义，x是Euler角组成的状态向量，为状态量x对时间的导数，K_p,K_d是为三阶正定矩阵。

下面对上述力矩控制器设计的合理性进行说明：

将航天器的运动学方程(3)和动力学方程(9)联立，得到Lagrange形式的动力学方程：

若将力矩控制器式(12)代入上述Lagrange动力学方程(13)，忽略外界干扰，有

其中0代表0向量，下标3代表向量的维度。此时有结论:当系数J总是正定且K_p,K_d均为正定矩阵，则动力学系统(14)全局渐进稳定,可以说明航天器在力矩控制器(12)的作用下能够实现姿态渐进稳定。

步骤2.2操纵律设计

通过步骤2.1，能得到镇定航天器姿态的控制力矩序列。若执行机构能够产生步骤2.1的控制力矩系列，无论航天器执行机构是否发生故障，都能使得航天器实现姿态稳定。进一步，本步骤设计合适的操纵律，从而能够根据上述控制力矩序列获得框架转速序列。

本发明采用鲁棒伪逆操纵律来设计操纵律来避免单框架控制力矩陀螺群的奇异问题。设定期望框架转速为则可以计算如下：

其中，A_t为单框架控制力矩陀螺群的横向矩阵，具体形式在步骤1.2中给出；是矩阵A_t的转置；E_3×3为一对称矩阵，具体形式为

其中根据经验，一般取ε_j＝0.01sin(0.5πt+π(j-1)/2)(j＝1,2,3)；参数λ为一较小的常数，一般可取10^-4～10^-2，需要根据具体情况进行确定。T_e为步骤2.1中的期望控制力矩。

通过该步骤，可以获得单框架控制力矩陀螺群的一组期望框架转速序列。由此可知，若航天器的执行机构单框架控制力矩陀螺群的框架能够按照步骤2.2的得到的期望框架转速进行运动，则能保证航天器实现姿态稳定控制且由于操纵律的引进能够使得执行机构避开奇异点而不会造成控制力矩陀螺群的不稳定问题。步骤2.3容错控制器设计

基于步骤2.1和2.2，可以得到期望框架转速其中的第i个分量表示第i个控制力矩陀螺的期望框架转速。因此本步骤针对第i个控制力矩陀螺，设计合适的容错控制律使得其实际框架转速能在故障或无故障情况下跟踪到期望框架转速对控制力矩陀螺的故障模式(6)，为了方便，忽略下标i,故障方程可以改写为：

且定义如下参数

l₁,f分别代表阻尼系数K_D与摩擦力矩T_f与单个SGCMG的转动惯量I_c的比值，u_e为新定义的控制量，上述量为I_c＝1时的归一化结果。因此，联立方程(10)，(16)和(17)，可以得到实际框架转速的微分方程为

其中，k表示故障因子，为k关于时间的导数，分别代表实际框架角和实际框架转速。

基于工程实际，一般可以有如下假设：

假设1：控制力矩陀螺不会发生完全失效故障。因此，存在某未知正实数e₀满足

0＜e₀＜k(t)≤1>

事实上，一般的，控制力矩陀螺的完全失效故障很容易通过测速装置检测到。因此若检测到发生完全失效故障，则可以将能够工作的控制力矩陀螺进行构型重构。

假设2：控制力矩陀螺故障为渐变故障而非突变故障，即存在未知正实数τ₁满足根据假设1和假设2，可以有：

假设3:存在某未知常数T_d满足

上述假设的合理性在于，均有界，所以我们能够确定“假设3”.

进一步，定义误差由此可以得到关于误差e的微分方程为

其中，在步骤2.3中已经给出定义，表示框架角速度对时间的进一步求导；进一步，定义如下参数：

从而可以针对每个控制力矩陀螺设计如下的控制器，

式中，l₁,e,步骤2.3中给出定义，sgn(e)为符号函数。参数为“假设2”中τ的估计值，同样通过自适应控制器来对τ进行估计，为：

为“假设3”中T_d的估计值，通过自适应控制器来对T_d进行估计，为：

函数σ(t)为

其中，

是对参数θ的估计，采用自适应控制器：

自适应控制律(24)，(25)，(28)中的γ₁,γ₂,γ₃均为正数，为控制器待调整的参数，需要根据航天器的实际参数进行参数调整。

上述控制器的合理性说明如下：

选定Lyapunov函数为：

(29)式中，将控制器(23)代入误差微分方程(22)中，得到

从而，基于“假设1”，“假设2”和“假设3”和自适应控制器(24)、(25)和(28)，有

另外，根据式(23)，易有

从而根据(26)、(27)、(28)式，且根据和σ(t)＞0，不等式(31)可以进一步写为：

(33)式表明Lyapunov函数V至少不会单调递增，因此有sup_t≥0V(t)≤V(0)，其中sup(·)表示函数的上确界。因此从而，

因此，根据Barbalat引理，可以有结论或e→0。从而能够说明上述控制器是能够使得实际框架转速能够跟踪上期望框架转速。

本发明的基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，主要具有如下优点：

1.本发明为针对以单框架控制力矩陀螺群为执行机构的航天器，克服了单框架控制力矩陀螺群的奇异性问题。

2.本发明设计的控制器结构简单，各个控制力矩陀螺的容错控制器结构相同，彼此之间互相解耦，而不会发生直接的影响。

3.本发明综合考虑工程实际，不要求事先确知故障和干扰的确切信息。

4.本发明并不具体针对某种构型的单框架控制力矩陀螺群，而是可以用于任意构型的单框架控制力矩陀螺群中，拓宽了其实际应用范围。

【附图说明】

图1所示为惯性系、轨道系和本体系。

图2所示为控制力矩陀螺框架坐标系。

图3所示为姿态控制流程图。

图4所示为金字塔构型的单框架控制力矩陀螺群。

图5所示为本发明方法流程框图。

【具体实施方式】

下面结合附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的说明。

本发明采用以金字塔构型的单框架控制力矩陀螺(如图4)作为执行机构的刚体航天器作为仿真对象。航天器的转动惯量为

航天器处于半径为R＝26600(km)的圆轨道，航天器的初始姿态为：

x(0)＝[1.5 1.5 1.5]^T(°)；ω_b(0)＝[0>T(rad/s)

其中为初始姿态角，而ω_b(0)＝[ω_bx(0)>by(0)>bz(0)]^T为航天器初始角速度。而环境干扰力矩为T_d＝[T_d1>d2>d3]^T为

其中，A₀＝1.5×10^-5(N·m)为干扰幅度。

金字塔构型的单框架控制力矩陀螺的参数为下表1：

表1

对单框架控制力矩陀螺群的第i个陀螺发生的故障为：

其中第i个陀螺发生故障的时间为t_i且(t>1t₂>3>4)＝(50>

2发明实施过程

本发明一种基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，如图5所示，包括如下步骤：

步骤1：建立存在执行机构部分失效情况下的航天器动力学和运动学方程，具体包含如下子步骤：

步骤1.1运动学方程

按照如图1所示，定义步骤1.1中介绍的地心惯性坐标系轨道坐标系和本体坐标系

采用Euler角来描述航天器的姿态，基于3-1-2转动顺序，姿态运动学方程描述如下：

其中ω_b＝[ω_bx>by>bz]^T为航天器绝对角速度在本体系下的分量列阵，θ,ψ为航天器的滚动角、俯仰角和偏航角。为航天器的滚动角速度、俯仰角速度和偏航角速度，表示θ,ψ关于时间的导数；ω_o为轨道角速度，表示轨道系绕本体系O_oy_o轴转动的角速度。

为了进一步表示简介，可以将上述运动学方程改写。引入状态量则运动学方程(1)可以修改成

基于小角度假设并设

则运动学方程可以简化为：

式(36)中的ω_o为轨道角速度，根据仿真条件，由于航天器运行在半径为R＝26600km的圆轨道，因此

其中μ＝3.986005×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，从而：ω_o＝4.6020×10^-4rad/s。

步骤1.2动力学模型

如图2所示，建立控制力矩陀螺的框架坐标系从而建立带有控制力矩陀螺群的航天器动力学模型

该式中各参数的含义在发明内容的步骤1.2中做了详细介绍。其中，I_b为整个系统的转动惯量矩阵，认为I_b为一个常值惯量矩阵；为ω_b关于时间的导数；h₀为每个单框架控制力矩陀螺由于转子旋转产生的角动量；为与ω_b有关的反对称矩阵，定义为：

A_s＝[s₁>2…s_n]为SGCMGs转子转速方向矩阵，s_i为单位向量在本体系下的表示；I_ws＝diag(I_ws1>ws2…I_wsn)为SGCMGs转子轴向转动惯量阵，I_wsi(i＝1,2,…,n)为第i个控制力矩陀螺的转子轴向转动惯量；Ω＝[Ω₁>2…Ω_n]^T为转子转动角速度，Ω_i(i＝1,2,…,n)是第i个控制力矩陀螺的转子转速。

结合仿真参数，有

航天器采用金字塔构型的单框架控制力矩陀螺群作为角动量交换装置，因此共有n＝4个控制力矩陀螺，如图4所示。各个陀螺的框架轴垂直于分别垂直于金字塔四个侧面，而陀螺转子轴沿着塔面底线方向。在上述条件下，设每个转子转动产生角动量相等，为h₀。

设金字塔的侧面与地面的倾角为β。则在本体系下的三轴角动量分别是：

为使三轴角动量相等，可以计算出金字塔构型的倾角为β＝53.1°。如图4中各个控制力矩陀螺安装位置和陀螺编号，可以进一步计算A_t和A_s的表达式。SGCMGs的横向矩阵为A_t＝[t₁>2>3>4]，且转速方向矩阵为A_s＝[s₁>2…s_n]^T

初始时刻，可以给出s_i和g_i的初值：

s₁₀＝[0>T,s₂₀＝[-1>T

s₃₀＝[0>T,s₄₀＝[1>T

g₁₀＝[-sinβ>T,g₂₀＝[0>T

g₃₀＝[sinβ>T,g₄₀＝[0>T

且根据(5)式，从而可以最终确定A_s和A_t得：

步骤1.3故障模式下的动力学方程

如发明内容步骤1.3给出，针对每个控制力矩陀螺，考虑框架转速故障，给出故障模型为：

式中，为第i个控制力矩陀螺的实际框架角速度；k_i(t)为故障因子，为区间[0,1]之间的数。k_i(t)＝0表示框架无法转动，0＜k_i(t)＜1表示框架部分失效，k_i(t)＝1正常工作。因此考虑故障模式下的动力学方程建立如下：

其中，K(t)＝diag(k₁(t)>2(t)…k_n(t))为对角矩阵，为了简化形式，定义如下变量：

J为当h₀＝1时的航天器等效转动惯量，J_ws为当h₀＝1时的控制力矩陀螺群等效转动惯量，h为当h₀＝1时的控制力矩陀螺群的等效角动量，d为当h₀＝1时的航天器等效干扰力矩，上述结果为归一化结果。

此时故障模式下的动力学方程描述如下：

根据仿真需求，故障参数k(t)在试验仿真部分给出数值，但是由于故障参数在本发明中无法预知，因此该数值不能直接用来设计控制器。

步骤1.4控制力矩陀螺框架动力学模型

参照发明内容部分的步骤1.4，如式(10)直接给出控制力矩陀螺的框架动力学(电机驱动模型)

其中，I_c是控制力矩陀螺的框架角动量，T_e为驱动电机的电磁力矩，T_f为框架运转中的摩擦力矩，是阻尼力矩，K_D是阻尼系数。摩擦力矩T_f采用Stribeck模型，

其中，f_c是库伦摩擦力矩，f_m为静摩擦力矩，f_v为粘性摩擦系数，e≈2.71828为自然常数，为Stribeck特征速度，为框架角速度，sgn(·)为符号函数。

该模型中各参数取值参照表1。

步骤2控制器设计

该步骤主要用来设计控制器来使得航天器的姿态稳定。具体控制器设计思路分为三步：

首先在不考虑故障的情况下设计合适的力矩控制器保证航天器能够实现姿态稳定，通过该控制器能够获得期望的控制力矩；

然后为了解决航天器控制力矩陀螺群存在的奇异性问题，该步骤需要设计合适的操纵律以获得期望的框架转速，同样该步骤不考虑故障的问题。

上述两步只是理想情况，为了解决控制力矩陀螺可能存在的故障问题，需要设计合适的容错控制器能够跟踪上期望框架转速，从而实现容错控制镇定航天器的姿态。

下面具体介绍控制器设计过程：

步骤2.1力矩控制器设计

本步骤主要设计合适的力矩控制器产生期望控制力矩。本发明采用PD控制器来作为力矩控制器。力矩控制结构为：

其中，参数J和h通过式(8)定义，为步骤1.1中参数F(x)对时间的导数，ω_b和在步骤1.1中给出定义，x是Euler角组成的状态向量，为状态量x对时间的导数，K_p,K_d是为三阶正定矩阵，在本次仿真中，选择K_p＝diag(200,500,500)，K_d＝diag(2500,9000,9000)。

通过步骤2.1，可以获得期望的框架角速度以获得期待控制力矩T_e。该力矩控制器的合理性可以通过发明内容的步骤2.1中说明。

步骤2.2操纵律设计

通过步骤2.1，能得到镇定航天器姿态的控制力矩序列。若执行机构能够产生步骤2.1的控制力矩系列，无论航天器执行机构是否发生故障，都能使得航天器实现姿态稳定。进一步，本步骤设计合适的操纵律，从而能够根据上述控制力矩序列获得框架转速序列。

本发明采用鲁棒伪逆操纵律来设计操纵律来避免单框架控制力矩陀螺群的奇异问题。设定期望框架转速为则可以计算如下：

其中，A_t为单框架控制力矩陀螺群的横向矩阵，具体形式在步骤1.2中给出；是矩阵A_t的转置；E_3×3为一对称矩阵，具体形式为

其中根据经验，一般取ε_j＝0.01sin(0.5πt+π(j-1)/2)(j＝1,2,3)；调节参数λ实现较好的操纵效果，本仿真取为0.01，需要根据具体情况进行确定。T_e为步骤2.1中的期望控制力矩。

通过该步骤，可以获得单框架控制力矩陀螺群的一组期望框架转速序列。由此可知，若航天器的执行机构单框架控制力矩陀螺群的框架能够按照步骤2.2的得到的期望框架转速进行运动，则能保证航天器实现姿态稳定控制且由于操纵律的引进能够使得执行机构避开奇异点而不会造成控制力矩陀螺群的不稳定问题。

步骤2.3容错控制器设计

基于步骤2.1和2.2，可以得到期望框架转速其中的第i个分量表示第i个控制力矩陀螺的期望框架转速。因此本步骤针对第i个控制力矩陀螺，设计合适的容错控制律使得其实际框架转速能在故障或无故障情况下跟踪到期望框架转速对控制力矩陀螺的故障模式(6)，为了方便，忽略下标i,故障方程可以改写为：

且定义如下参数

分别表示当I_c＝1时的等效阻尼因子、等效控制量和等效摩擦力，为归一化的结果。上述方程中的参数见表1中。因此，联立方程(10)，(16)和(17)，可以得到实际框架转速的微分方程为

其中，表示故障因子

基于工程实际，一般可以有如下假设：

假设1：控制力矩陀螺不会发生完全失效故障。因此，存在某未知正实数e₀满足

0＜e₀＜k(t)≤1>

事实上，一般的，控制力矩陀螺的完全失效故障很容易通过测速装置检测到。因此若检测到发生完全失效故障，则可以将能够工作的控制力矩陀螺进行构型重构。

假设2：控制力矩陀螺故障为渐变故障而非突变故障，即存在未知正实数τ₁满足根据假设1和假设2，可以有：

假设3:存在某未知常数T_d满足

上述假设的合理性在于，均有界，所以我们能够确定假设3.

进一步，定义误差由此可以得到关于误差e的微分方程为

其中，在步骤2.3中已经给出定义，表示框架角速度对时间的进一步求导；进一步，定义如下参数：

从而可以针对每个控制力矩陀螺设计如下的控制器，

式中，l₁,e,步骤2.3中给出定义，sgn(e)为符号函数。参数为假设2中τ的估计值，同样通过自适应控制器来对τ进行估计，为：

为假设3中T_d的估计值，通过自适应控制器来对T_d进行估计，为：

函数σ(t)为

其中，

是对参数的估计，采用自适应控制器：

自适应控制律(24)，(25)，(28)中的γ₁,γ₂,γ₃均为正数，为控制器待调整的参数，本仿真中经过调节，选择为γ₁＝2,γ₂＝2,γ₃＝5。自适应控制器中的初值选为式(56)中的l₁选为1，式(60)中的参数选为ε₀＝0.01。

该步骤控制器设计的合理性可以通过发明内容中的步骤2.3的说明给出解释。

本发明所介绍的基于故障解耦的单框架控制力矩陀螺航天器容错控制方法，其容错控制器针对单个单框架控制力矩陀螺，各陀螺控制器结构相同，彼此不耦合。另外考虑工程实际无法确知单框架控制力矩陀螺的故障信息，因此，本文采用自适应控制器来估计故障信息并设计控制器。另一方面，本发明不能解决完全失效故障，即不允许存在某个陀螺发生完全失效。