具有参考跟踪的模型预测控制

摘要

电转换器（10）包括多个半导体开关（16），其中该电转换器适应于通过切换多个半导体开关（16）而生成两级或多级输出电压。用于控制电转换器（10）的方法包括以下步骤：接收参考电量（

说明书

技术领域

本发明涉及功率转换器的领域。特别地，本发明涉及用于控制电转换器的方法和控制器、电转换器和包括电转换器的电系统。

背景技术

功率转换器在广泛的应用中使用，其包括变速驱动器、电网连接的功率转换器和DC到DC转换器。存在用于控制电转换器的若干基本方法。一个这样的方法是用于切换功率转换器的带有参考跟踪的电流控制，其中控制器旨在沿指定电流参考轨迹调节转换器电流。

在功率电子器件和电驱动系统中效率是关键方面。为了减少损失，使用半导体开关并且功率转换器控制变量可被离散赋值。然而，这可增加这些系统的复杂性并且可使得切换功率转换器的控制变得本身就困难。评估切换策略对感兴趣变量（例如电流和转矩）的影响可变得非常有意义。

对于功率转换器的传统控制方法包括具有脉宽调制的PI控制器、基于滞后的方法和各种采样数据控制算法，其中检查下一个采样时刻操纵变量的影响。后面的方法包括例如无差拍控制和直接转矩控制。

另一个策略是模型预测控制（MPC），其对工业过程控制具有很大影响并且还找到其进入切换功率转换器的控制的途径。MPC可在多种拓扑和操作条件下使用，它的灵活性源于合适的成本函数的在线优化。特别地，直接MPC（也叫作有限集MPC）方法可在一个计算阶段中处理电流控制和调制问题。在瞬态事件期间，与无差拍控制中的一个相似，MPC实现非常高的动态性能。特别地，因为传统上在由非常慢的控制环驱动的调制器中仅可能使用优化脉冲模式（OPP），MPC的瞬态性能可远远优于利用OPP所典型实现的。

通常，如果使用更长的预测限度（horizons），MPC定式化可给出更好的性能。遗憾地，因为可能的切换序列的数量随着限度长度增加呈指数增长，对于功率转换器的控制具有长限度的直接MPC在计算上可富有挑战，或甚至不可行。从而，枚举可仅能适用于以少量切换序列为特征的MPC问题。穷举对于可由具有四个或以上预测限度的直接MPC产生的数千个序列的问题可不切实际。例如，对于具有长度五的预测限度，假设三级转换器，切换序列的数量可共计1.4*10⁷。

发明内容

本发明的目标是降低电转换器的切换成本，来提高电转换器的效率，并且在瞬态事件期间实现非常快的动态响应。

该目标由独立权利要求的主题实现。另外的示范性实施例从从属权利要求和下列描述显而易见。

本发明的方面涉及用于控制电转换器的方法。例如，该方法（其可以是完全在控制器中实现的算法）可适应于控制包括电转换器的系统，当机器变速运行时，该电转换器对电机（例如感应马达）供电。

一般，电转换器可包括多个半导体开关，其中电转换器适应于通过切换多个半导体开关而从输入电压生成多级输出电压。

方法可直接能适用于AC驱动设置中的机器侧转换器以及电网侧转换器两者。方法能适用于许多转换器拓扑，像DC到AC转换器、AC到DC转换器、具有DC链路的间接AC到AC转换器和直接AC到AC转换器。

电转换器可以是两级或多级转换器（即，具有至少两个输出级的转换器），并且方法可用于这样的具有非常高数量的电压水平的转换器。对于具有超过两个输出级的电转换器的示例可以是M2LC（模块化多级）转换器。

例如，电转换器可以是三级中性点钳位电压源转换器。

根据本发明的实施例，方法包括以下步骤：接收参考电量和实际电量；从实际电量确定电转换器的未来电量的序列；基于未来电量的序列确定最大成本值；迭代地确定对于电转换器的最佳切换序列，其中切换序列包括对于电转换器的半导体开关的未来切换状态的序列；以及选择最佳切换序列的第一切换状态作为要应用于电转换器的半导体开关的下一个切换状态。

一般，电转换器的控制设置适应于借助于滚动限度（其中从实际量计算未来切换状态）来进行最佳的下一个切换状态的预测。例如，限度可具有两个、三个或以上的时间步。

参考和/或实际电量可包括参考和/或实际电流、参考和/或实际通量、参考和/或实际电压、参考和/或实际转矩、参考和/或实际功率和/或参考和/或实际速度中的至少一个。所有这些量（其在多相转换器的情况下可以是矢量）可从测量电转换器和/或与电转换器互连的机器和/或滤波器中的电流和/或电压和/或转矩确定。例如，可测量转换器的输出电流并且通量和/或功率或速度可从电流计算。

类似地，未来电量可包括连接到电转换器的电机的未来电流、未来电压、未来转矩和未来通量中的至少一个。这些量可从电转换器和/或连接到转换器的机器（或一般，包括电转换器和像滤波器、变压器等另外的部件的电系统）的模型预测。

相似地，未来电量可包括连接到电转换器的电部件（例如电滤波器或变压器）的未来电流、未来电压、未来（虚拟）通量中的至少一个。这些量可从电转换器和/或连接到转换器的电部件的模型预测。

特别地，最佳切换序列通过以下而迭代地确定：通过使可能的切换状态附加到切换序列来扩展切换序列；基于未来电量的序列利用成本函数确定对于扩展切换序列的成本值；以及在成本值高于最大成本值时丢弃扩展切换序列。也就是说，由控制器预测的所有切换序列可通过迭代地扩展已经计算（更短）的切换序列（其被认为是可能的候选序列）而生成。每当扩展切换序列时，方法测试扩展序列的成本值是否小于成本值，其可以是现任最佳结果（其在迭代期间被重新计算）。如果不是这样的情况，丢弃扩展序列。

对要成为候选序列的序列的测试可视为基于球形译码。利用球形译码，迭代地考虑候选序列，其在具有指定半径、以无约束最佳结果为中心的球体内。

如稍后将解释的，由于直接MPC优化问题的特定结构，找到候选序列可非常有效地进行。特别地，在每个步骤仅需要对一维问题求解的意义上，可通过采用相继方式行进来找到解。这可导致非常快的解，从而使得使用具有更长预测限度的直接MPC是可能的。采用这样的方式，可使用具有更简单处理器的更简单控制器。

因为球形译码可允许对具有长预测限度的MPC问题求解，这可产生每切换频率低的电流总谐波失真（THD）。如测试示出的，对于指定切换频率的电流THD可与利用优化脉冲模式所典型实现的相似。然而，同时，与无差评控制和直接转矩控制中的一个类似，瞬态响应时间可是非常快的。

测试还示出使用比一更长的预测限度可提供明显的性能效益。特别地，在稳态操作，电流失真和/或切换频率与限度一直接MPC相比可大大减少。

由于MPC问题的形式，成本函数可采用非常有益的方式定式化。

根据本发明的实施例，成本函数基于具有三角矩阵（其乘以扩展切换序列）的矩阵方程的范数（或范数的平方）。采用这样的方式，通过以仅具有一个行的矩阵（其对一个变量求解）的行开始来相继对MPC问题求解并且利用每个另外的行来对另外一个变量求解是可能的。

根据本发明的实施例，三角矩阵被离线计算并且仅取决于电转换器的拓扑。因为三角矩阵可仅取决于转换器的拓扑（例如，相位的数量、相位的结构、dc链路电压，等），在迭代之前计算三角矩阵（在控制器外部的极端情况下）并且将三角矩阵存储在控制器中，这是可能的。

根据本发明的实施例，成本函数基于无约束解与乘以扩展切换序列的三角矩阵之间的差异。无约束解可在迭代确定最佳切换序列之前从未来电量确定。

必须注意对切换状态和切换序列存在约束。例如，切换状态可被赋整数值（因为开关可仅具有状态开和关）。此外，切换状态在两个连续时间步之间改变超过一，这可是不可能的。

在没有这些约束的情况下，可相当容易地对MPC问题求解，这导致无约束解（其可以是被赋浮点值）。无约束解可用作用于确定确切最佳（受约束）解的起始点。特别地，可假设最佳解在以无约束解为中心的指定半径的球体内。

根据本发明的实施例，最大成本值利用应用于猜测的切换序列的成本函数基于在之前的时间步处确定的最佳切换序列而确定。算法可随着对解作出第一猜测而进一步加速。因为在之前的时间步处，利用滚动限度，已经确定几乎（多至一个时间步）到达当前步的限度的最佳序列，并且因为可假设电转换器的实际量（例如实际电流）仅少量改变，第一猜测可基于之前的时间步的最佳切换序列。

根据本发明的实施例，为了扩展切换序列，仅附加切换状态，其导致其中相电压向上或向下切换仅一个步的扩展切换序列。同样通过扩展切换序列，可仅选择服从约束的切换序列。

根据本发明的实施例，在每个时间步处执行迭代。控制器可具有固定内部时间步长（或采样间隔），并且方法可在每个时间步处执行（即，未来量的预测、最佳序列的迭代和选择）。未来电量的序列可在实际时间步处开始并且可高达时间步的限度地确定。未来电量的序列可基于对实际时间步确定和/或测量的实际量。

未来切换状态序列（其被迭代地确定）也可从实际时间步处开始并且可对多至预测限度的时间步数量而确定。

本发明的另外的方面涉及用于控制电转换器的控制器。例如，控制器可以是电转换器的控制设置的一部分。控制器可适应于执行如在上文和下文解释的方法。方法至少部分在FPGA（其是控制器的部分）上的硬件中实现，这可是可能的。然而，方法在硬件中实现并且在处理器（其是控制器的部分）上执行，这也可是可能的。

本发明的另外的方面涉及如在上文和下文描述的电转换器。该电转换器可包括如在上文和下文描述的控制器。

本发明的另外的方面涉及电系统，其包括这样的电转换器和由电转换器供电的电负载，例如电马达。备选地或另外，负载可以是任何种类的旋转电机和/或电网，其经由电转换器连接到另外的电网。此外，电系统可包括电转换器以及滤波器、变压器、负载、电网和机器的任何组合。

必须理解如在上文和下文描述的方法的特征可以是如在上文和下文描述的控制器、电转换器和电系统的特征，并且反之亦然。

总之，方法和基于方法的算法可具有下列益处，其利用测试实现来确定：

可高效实现具有长限度的直接MPC：例如，在实现算法来对具有限度10的直接MPC求解时，平均起来可需要评估少于9个序列，其中最大序列数量是220。为了比较，在尝试利用直接枚举实现具有限度5的直接MPC时，平均起来需要检查超过450000个序列。对于更大限度，直接枚举在标准计算机平台上可变得不可行。

另外的益处可以是性能增益：利用算法实现的具有长预测限度的直接MPC可在电流THD与平均切换频率之间给出改进的权衡。特别地，在稳态操作，在与具有限度一（并且还具有空间矢量调制）的直接MPC比较时，具有限度10的MPC使电流THD减少超过15%。在具有限度10的情况下，直接MPC的性能变得与优化脉冲模式相似。在瞬态操作中，MPC提供额外性能增益，即与无差拍和直接转矩控制相似的非常快瞬态响应时间。

此外，存在许多可能的应用领域：结果启示计算时间有效地独立于转换器的级数。算法可特别适合于具有非常大级数的多级转换器拓扑。此外，可直接解决具有线性（内部）动力学的任何负载和转换器，从而使得该方法特别适合于高阶系统，例如具有LCL滤波器的负载或模块化转换器拓扑。

本发明的这些和其他方面从下文描述的实施例将是明显的并且将参考它们来阐明。

附图说明

本发明的主题将在下列正文中参考在附图中图示的示范性实施例更加详细地解释，其中：

图1示意地示出根据本发明的实施例的转换器。

图2示意地示出根据本发明的实施例的电系统。

图3示出根据本发明的实施例用于控制转换器的方法。

图4示出根据本发明的实施例的切换状态图。

图5示出根据本发明的实施例的变换切换状态图。

原则上，相同的部件在图中提供有相同的标号。

具体实施方式

综览

图1示出转换器10，其包括DC链路12和三个相臂14。每个相臂14具有许多半导体开关16，其可采用多级输出电压（在示出的情况下是三级输出电压）可在转换器10的每个相位输出18处生成这样的方式切换。

输出18连接到电机20，例如感应马达。

图1的转换器是三级中性点钳位（NPC）电压源转换器（VSI），其驱动感应机20，如在图1中描绘的。总DC链路电压V_dc假设为恒定的并且中性点电势N假设为固定的。

尽管控制方法可适用于多种功率电子系统，下列描述聚焦在上文的设置上。作为备选，方法可用于控制M2LC转换器，其在支路中具有串联连接的多个转换器单元。这样的转换器单元可包括电容器和用于使电容器连接到支路/断开到支路的电容器的至少两个半导体开关。

图2示出具有转换器10的电系统22。转换器10此外包括具有通量/速度控制器26、电流控制器28和观察器30的控制设置24。

控制设置24接收参考通量ψ_r^*和参考速度ω^*，并且在每个时间步处，输出切换状态u，其适用于转换器10的半导体开关16。

特别地，可选的编码器32测量供应给通量/速度控制器26和观察器30的实际速度ω_r。观察器30从实际速度ω_r确定实际通量ψ_r并且确定在转换器10的输出中测量的实际电流（矢量）i_S。

实际通量ψ_r也供应给通量/速度控制器26，其确定由电流控制器28接收的参考电流（矢量）i_S^*。

开关控制器28也可接收实际速度ω_r、实际电流（矢量）i_S和/或实际通量ψ_r并且从其处确定切换状态u，如将在下文解释的。

图3示出用于控制转换器10的方法的流程图。该方法可在如在图2中示出的控制设置24中执行。在图3中示出的所有步骤可在控制设置24的一个时间步期间执行。

在步骤100中，实际电流i_S由转换器10的输出线路中的电流传感器测量，并且从实际电流i_S确定实际通量ψ_r和实际速度ω_r。

在步骤102中，控制器26在外控制环中从在步骤100中确定和/或测量的信号确定参考电流i_S^*。参考电流i_S^*供应给控制器28。

如在图3中指示的，步骤104至110由电流控制器28执行，其提供内控制环/算法并且对MPC问题求解。步骤104至110将在下文更详细解释。

总之，在步骤104至110中，电流控制器28接收参考电流i_S^*并且确定最佳切换状态u。

在步骤112中，对于实际时间步的最佳切换状态应用于转换器10的开关16，并且方法再次在步骤100处开始。

在下文将使用归一化量。将此扩展到时间标度t，一个时间单位对应于1/ω_b秒，其中ω_b是基角速度。另外，使用ξ(t)（t∈R）来指示连续时间变量，并且使用ξ(k)（k∈N）来指示具有采样间隔T_s的离散时间变量。

αβ参考系：三相系统（abc）中的所有变量                                               通过在固定正交αβ坐标中变换为，其中

矢量范数：矢量ξ∈Rⁿ的1-范数限定为，其中ξ_i指示的第i个元素。ξ的平方欧几里德范数限定为，并且利用正定矩阵Q加权的平方范数由给出。ξ的无穷范数限定为。

电系统

让整型变量u_a、u_b、u_c∈u指示三个相臂14中的开关位置，其中对于三级转换器，约束集由以下给出

                         （2）

在每个相位中，值-1、0、1分别对应于相电压、0、。从而，施加到负载20的端子的电压在正交坐标中是

       

其中切换状态u由限定。

固定αβ参考系中鼠笼式感应机20的状态-空间模型在下文总结。对于现有的电流控制问题，选择定子电流i_sα和i_sβ作为状态变量是便利的。状态矢量由转子通量链ψ_rα和ψ_rβ和转子的角速度ω_r互补。模型输入是定子电压ν_sα和ν_sβ。模型参数分别是定子和转子电阻R_s和R_r、定子、转子和互电抗X_ls、X_lr和X_m，惯性J和机械负载转矩。所有转子量涉及定子电路。就上文的量而言，连续时间状态方程式

其中

（为了简化标记，在（4）中，αβ从矢量i_s、ψ_r和ν_s除去。）瞬态定子时间常数和转子时间常数等于

并且，           （6）

而电磁转矩由以下给出

。                （7）

模型预测电流控制

控制问题在αβ参考系中定式化。让i_S^*指示瞬时定子电流的参考，其中。电流控制器28的目标是通过使切换序列合成来操纵三相开关位置u，使得定子电流i_S紧紧跟踪它的参考。同时，切换投入（即，切换频率或切换损失）要保持为小的。为了避免直通，禁止在相臂14中在1与-1之间的直接切换。

预测电流控制器28依赖物理电系统22的内部模型来预测未来定子电流轨迹。转子速度ω_r假设为在预测限度内恒定，这使速度转变成时变参数。在预测限度小于1ms的情况下，这表现为适当假设。

为了后续分析，通过引入驱动模型的下列状态矢量来描述电系统22，这是便利的：

                   （8）

定子电流视为系统输出矢量，即y=i_S，而正交坐标系统中的开关位置u_αβ构成输入矢量，并且由控制器提供。

就x而言，在（4a）至（4c）中给出的连续时间模型变成

其中F、G和C是矩阵。

通过从t=kT_s到t=(k+1)T_s地对（9a）求积分并且在此期间观察到时间间隔u_αβ(t)恒定并且等于u_αβ(k)，获得离散时间表示

其中

并且。        （11）

如果矩阵指数造成计算困难，向前欧拉近似通常对于多至几十μs的短采样间隔是足够准确的。在该情况下，离散时间系统矩阵由以下给出

。              （12）

在时间步k处预测限度N上跟踪电流参考的控制问题可以通过使成本函数最小化而解决

，    （13）

其中abc系中的电流误差限定为

                   （14）

并且切换投入限定为

，              （15）

由此指代三个相位a、b和c中的开关位置。（13）中的第一项使用平方欧几里德范数对时间步k+1、k+2、…、k+N处的预测三相电流误差进行惩罚；第二项对时间步k、k+1、…k+N-1处的切换投入进行惩罚。参数λ_u ≥ 0是调谐参数，其调整跟踪准确性（电流自它的参考的偏离）与切换投入之间的权衡，即无论是否进行切换。

因为在（8）中，定子电流在αβ坐标而不是abc中表示，在αβ坐标中表达（13）中的第一项，这也是便利的。由于该目的，

其中限定

。

注意，（13）中的第一项从而可以重写为

。    （16）

省略因子1.5来简化表达式，具有在正交坐标中定式化的电流误差的等效成本函数变成

       （17）

其中

                     （18a）

      （18b）

。                （18c）

引入切换序列U(k)

其代表控制器28必须对其作出决定的开关位置的序列。具有电流参考跟踪的模型预测控制隐含的优化问题然后可以规定为

                      （19）

其服从

                              （20a）

         （20b）

在（20a）中，U是集u的N次笛卡尔积：

，

其中u指示经由以下从单相约束u获得的离散三相开关位置的集：

，                        （21）

参见（2）。（20b）称为切换约束。施加后者来避免在转换器中导致直通的解。

遵循滚动限度优化原则，仅优化序列U_opt(k)的第一元素在时间步k处应用于半导体开关。在下一个时间步k+1处，并且给出关于x(k+1)的新信息，进行另一个优化，从而提供在时间k+1处的优化开关位置。在线并且无限地重复优化。

由于决策变量U(k)的离散性质，难以对优化问题（19）求解，但短限度除外。实际上，在扩大预测限度并且决策变量的数量增加时，（最坏情况）计算复杂性呈指数增长，从而无法被多项式界定。

与使成本函数J最小化关联的困难在使用穷举搜索时变得明显。利用该方法，可允许切换序列U(k)的集被枚举并且对每个这样的序列评估成本函数。具有最小成本的切换序列（按定义）是最佳的那个并且它的第一元素选为控制输入。在每个时间步k处，穷举搜索必需下列规程：

1）给出之前应用的开关位置u(k-1)并且考虑约束（20），确定预测限度上可允许的切换序列的集。

2）对于这些切换序列中的每个，根据（18c）和电流误差的预测演进（18b）来计算状态轨迹。

3）对于每个切换序列，根据（17）来计算成本J。

4）选择切换序列U_opt(k)，其使成本最小化。向转换器应用它的第一元素u_opt(k)。

在下一个时间步k+1处，使用关于电流状态矢量x(k+1) 和参考轨迹的更新信息来重复上文的规程。

容易看到穷举搜索在计算上仅对于非常小的限度N（例如一个或两个）是可行的。对于N=5，假设三级转换器并且忽略切换约束（20b），切换序列的数据共计1.4·10⁷。这显然是不切实际的，即使在施加（20b）时也如此，这使序列的数量减少一个数量级。

整数二次规划定式化

在下文，优化问题（19）采用矢量形式而定式化并且规定为截断整数最小二乘问题。

通过接连使用（18c），时间步+1处的状态矢量可以如下表达为时间步k处的状态矢量和切换序列U(k)的函数：

       （22）

其中。让Y(k)指示从时间步k+1到k+N的预测限度上的输出序列。并且对应地是参考。通过在（10b）中插入（22），我们获得

                     （23）

其中Г和是矩阵。

预测模型（18a）-（18c）的动态演进然后可以包括在成本函数（17）中，从而产生：

（24）

其中S和E是两个另外的矩阵。成本取决于状态矢量x(k)、之前选择的开关位置u(k-1)和试探切换序列U(k)。在（24）中，不需要状态矢量的序列-它被（22）取代。与在（17）中的一样，成本函数中的第一项对预测电流跟踪误差进行惩罚，而第二项对切换投入进行惩罚。

（24）中的成本函数可以按照以下采用紧凑形式来写

            （25）

其中

注意Q对于λ_u>0是（按定义）对称且正定的。完成平方示出

  （27）

（19）的无约束最佳结果通过在考虑约束（20）的情况下最小化而获得，从而，允许。因为Q是正定的，直接由（27）得出在时间步k处的无约束解由以下给出

                        （28）

因为无约束切换序列U_unc(k)的第一元素不满足约束（20），它无法直接用作对于半导体开关的选通信号。然而，U_unc(k)可以用于规定对于受约束优化问题（19）-（20）的解，如接着示出的。

成本函数（27）可以通过插入（28）而重写如下：

   （29）

因为Q是正定的，存在唯一可逆下三角矩阵H∈R^3N×3N，其满足：

                             （30）

三角矩阵H可以通过注意它的逆H^-1也是下三角并且通过Q^-1的下列柯列斯基分解来提供而计算：

                      （31）

就H和以下而言

                  （32）

（29）中的成本函数可以重写为

（33）

并且优化问题（19）意味着找到

            （34）

其服从（20）。现在，MPC优化问题已经重新为（截断）整数最小二乘问题。

在下面，焦点在限度取等于一的特定情况上。现有问题的低维度还允许直观可访问可视化。

作为示例，在下文评估情况N=1。在N=1的情况下，我们具有并且（25）减少至

         （35）

其中

为了进一步阐明该情况，使用欧拉近似（12）来获得以下：

           （37）

使得

（38）

是便利的。

与在N>1的情况下一样，Q对于λ_u>0按定义是对称且正定的。如果设计参数λ_u选为比大得多，则并且，参见（30）。另一方面，如果λ_u>0比小得多，则

             （39）

对于N=1，整数最小二乘问题定式化（34）变成

其中

如果λ_u增加，则（38）中Q的对角线项变成占主导的并且H与对角矩阵类似。因此，对于足够大的λ_u值，到约束集的直接逐组成舍入通常可给出最佳解。

用于计算最佳开关位置的方法

在下面，球形译码算法/方法被定式化来找到最佳切换序列U_opt(k)。算法基于分支界定技术并且远远比上文描述的显式枚举法更高效。为了便于标记，在该整个章节中，我们将候选序列U(k)写成U。

方法在图3的步骤104至110中示出并且可在每个时间步k处由控制器28执行。

在步骤104中，接收参考电流i_S^*、实际电流i_S、实际通量ψ_r和实际速度ω_r，并且算法对于实际时间步初始化。

特别地，控制器28首先使用电流状态x(k)、未来参考值Y^*(k)、之前的切换状态u(k-1)和之前的最佳切换序列U_opt(k-1)来计算第一猜测U_sub(k)、最大成本值或球体半径ρ(k)以及无约束解；在下文参见（32）、（28）和（26b）以及（43）、（44）。

候选切换序列集用空序列初始化。

在候选序列集上迭代地执行下列步骤106、108和110。

在步骤106中，候选序列U从候选序列集选择并且用转换器10的所有可能切换状态u来扩展。

此外，测试扩展序列U而无论它是否服从切换约束（20b）。

在步骤108中，对扩展序列U计算成本函数J的结果（即，成本值）。在成本函数的成本值大于最大成本值或球体半径ρ(k)时丢弃扩展序列。

在步骤110中，在扩展序列U的长度小于限度N时，扩展序列被放回候选序列集中。

否则，在扩展序列U的长度已达到限度长度N时，扩展序列U的第一切换状态u可选为下一个最佳切换状态u。具有限度N的所有序列被聚集并且具有最小成本值的序列选为最佳序列，这也是可能的。

一般，利用算法，迭代地考虑候选序列，其属于以无约束解为中心的半径ρ(k)>0的球体，

                    （41）

并且满足切换约束（20b）。

半径ρ(k)可视为最大成本值ρ(k)并且利用对于候选序列的成本函数J计算的所有成本值应小于和/或等于最大成本值ρ(k)。

尤其在多级转换器的情况下（其中U具有许多元素），满足上文的条件的候选序列集比原始约束集U小得多。计算时间与穷举搜索相比可大幅减少。

关键性质是因为H是三角，对于指定半径ρ(k)或最大成本值ρ(k)，识别满足（41）的候选序列U是非常简单的。特别地，对于目前的情况，H是下三角，从而（41）可以重写为

（42）

其中指示的第i个元素，是U的第i个元素，并且H(i,j)指H的第(i,j)个条目。因此，在每个步骤处仅需要对一维问题求解的意义上，（41）的解集可以通过与在高斯消去中使用的类似地采用相继方式行进而找到。

算法需要对于在时间k处使用的半径的初始值来确定U。另一方面，半径ρ(k)应尽可能小，从而使我们能先验地去除尽可能多的候选解。另一方面，ρ(k)不必太小，以确保解集是非空的。初始半径通过使用下列有根据猜测用于最佳解而选择：

        （43）

其通过使之前的解U_opt(k-1)移位一个时间步并且重复最后的开关位置而获得。这根据滚动限度优化范式。因为之前的时间步处的最佳解满足约束（20a）和（20b）两者，移位的猜测也自动满足这些约束。从而，U_sub(k)是（34）的可行解候选。给出（43），ρ(k)的初始值然后设置成：

                 （44）

例如，最佳切换序列U_opt(k)可通过执行下列算法而获得，其利用递归函数来实现上文描述的方法：

    （45）

其中是空集。

以第一组成开始，切换序列U通过在约束集u中考虑可允许的单相开关位置而逐个组成地建立。如果关联的平方距离小于ρ²的当前值，则算法行进到下一个组成。如果已经达到最后的组成（即，U_3N）（其意指U是全维3N），则U是候选解。如果U满足切换约束（20b）并且如果距离小于当前最佳结果，则算法更新现任最佳解U_opt并且还更新半径ρ。

该算法的计算优势源于采用分支界定的概念。在单相开关位置u的集上进行分支；界定通过仅考虑在当前半径的球体范围内的解而实现。如果距离d’超出半径，找到分支（和所有它关联的切换序列）仅提供比现任解更差的解的证明。因此，该分支可以被删除，即从另外的考虑去除而不利用它。在优化规程期间，每当找到更好的现任解时，半径减少并且球体收紧，使得候选序列的集尽可能小，但非空的。大部分计算负担涉及经由评估项来计算d’。由于（42），d’可以通过仅计算平方增加（由于U的第i个组成而引起）而相继计算。特别地，不必重新计算在层1至i-1上累积的d的平方和。

图4和图5示出作为说明性示例的作为情况N=1的切换状态图。

考虑其中成本函数参数T_s=25μs并且的限度N=1情况。假设三级转换器10和如在上文在方程（35）至（40）中的相同参数，单相开关位置的集是。可允许三相开关位置的集在图4中示出为黑圆。为了简化阐述，在图4中仅示出ab平面，忽略c轴。

假设并且时间步k处的问题实例给出无约束解，在图4中示出位另外的圆。使u_unc(k)舍入到下一个整数值导致可能的可行技术方案，其对应于用u_sub(k)引用的圆。然而，证实最佳解是，其由用u_opt(k)引用的圆指示。

在变换坐标系统中对球形译码问题求解，其在图5中示出。变换坐标系通过生成矩阵而创建

参见（30）。使用H，正交坐标系中的整数解可以变换成Hu，其在图5中示出为黑方块并且由点划线连接。由H创建的坐标系略偏斜，但几乎是垂直的，其中对于选择的参数轴之间的角度是98.2°。如上文论述的，增加λ_u导致该角度朝90°汇聚。

最佳解u_opt(k)通过使无约束解与变换坐标系中的整数开关位置序列之间的距离最小化而得到。最大成本值或球体半径ρ(k)的初始值由（44）产生并且等于0.638。这定义以为中心的半径ρ(k)的球，其在图4（b）的ab平面中示出为圆50。因为仅两个变换的整数解Hu(k)位于球体内（即Hu_opt(k)和Hu_sub(k)），该球使可能解的集从具有3³=27个元素减少到仅具有两个值。算法利用成本函数J相继计算这两个点中的每个与之间的距离。这些距离分别由线（成本值）52、54指示。线（成本值）54略短于线52。因此，使距离最小化产生最佳解并且不是单纯舍入开关位置。

尽管本发明已经在附图和前述描述中详细地图示和描述，这样的图示和描述要认为是说明性或示范性的而不是限制性的；本发明不限于公开的实施例。对公开的实施例的其他变化形式可以被本领域内技术人员在从对附图、公开和附上的权利要求的学习来实践要求保护的本发明中所理解和实施。在权利要求中，单词“包括”不排除其他元件或步骤，并且不定冠词“一”或“一个”不排除多数。单个处理器或控制器或其他单元可满足在权利要求中列举的若干项目的功能。某些措施在互相不同的从属权利要求中陈述的少数事实不指示这些措施的组合无法被有利地使用。在权利要求中的任何标号不应该解释为限制范围。