带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器

摘要

本发明公开了一种带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器。用于改善电机伺服系统的输出跟踪精度与快速响应，特别适用于要求精度高、响应快速的精密电机伺服系统。本发明包括参数自适应调整模块、动态摩擦补偿器与鲁棒控制模块。采用由LuGre动态摩擦模型Lipschitz系数构造出的摩擦模型逼近器，通过摩擦逼近器参数的自适应调整，实现摩擦力值的在线估计，并据此进行摩擦补偿，以克服摩擦力对伺服系统的输出跟踪精度与快速响应的不利影响。控制器采用鲁棒控制律，保证伺服系统具有足够的抗扰动能力。由于该控制器能实现快速而准确的摩擦补偿，并能有效地抑制外部扰动的影响，因此能大大改善伺服系统的输出跟踪精度与快速响应。

说明书

技术领域

本发明涉及鲁棒控制技术领域，尤其涉及一种带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器。

背景技术

对于有接触运动的伺服系统，摩擦是影响其精度与响应速度的一个重要因素。因受摩擦力的影响，伺服系统在低速运动时输出速度常会不平稳，甚至出现滞滑现象。影响伺服系统的另一个重要因素是外部扰动。在扰动作用下，伺服系统的精度会下降。因此，为提高伺服系统的精度与快速性，其控制器既要实现对摩擦的补偿，又要克服外部扰动对系统的影响。

为消除摩擦力与扰动对电机性能的影响，Teeter J T等人在一种提高直流电机控制系统性能的新型模糊摩擦补偿方法(A novel fuzzy frictioncompensation approach to improve the performance of a DC motor controlsystem[J].IEEE Trans on Industrial Electronics，1996，43(1)：113-120.)的文献中设计了启发式的模糊逻辑控制器，以提高直流电机的控制性能。然而，该方法采用固定的模糊模型，缺乏自适应能力，因此仅对特定对象有效。

为使控制器能适应不同的电机伺服系统，并减少对摩擦模型先验知识的依赖，公开号为CN1974325A的专利提出了一种基于最小二乘估计的自适应摩擦补偿控制器。该方法采用离散最小二乘算法对摩擦模型进行在线辨识，并据此对摩擦力进行补偿。然而，该方法虽然采用在线辨识技术提高了控制器的适应能力，但并没有考虑到伺服系统的闭环稳定性，当参数设置与实际对象不匹配时系统将出现不稳定的震荡现象。

为了加快自适应摩擦补偿器的参数调整速率，名称为直线电机伺服系统的自适应模糊摩擦补偿(电机与控制学报，Vol.13，No.1，154-160，2009)的文献提出了一种基于复合自适应律的模糊摩擦补偿方法。虽然该方法不仅具有摩擦模型在线估计能力，还具有较快的参数调整速率，但其模糊模型往往具有较多的未知参数，因而大大增加了控制器复杂度。

现有的伺服系统控制器的摩擦补偿模块一般采用简化的非线性摩擦模型，如：库仑摩擦模型、库仑加滑动摩擦模型或Stribeck模型等。然而，实际的摩擦具有更复杂的非线性特性与动态特性，采用简化的摩擦模型难以描述真实的摩擦特性，故难以对电机伺服系统的摩擦力实现精确补偿。此外，一般的伺服系统控制器不能保证存在有界扰动时系统的控制性能。因此目前的伺服系统控制器往往不能满足伺服系统高精度与快速响应的要求。

发明内容

本发明的目的是提供一种带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器。该控制器针对不同工作环境下(如：润滑状况，温度，气压的差异等)摩擦模型的变化，运用自适应算法对摩擦进行估计与补偿，并抑制外部扰动对系统性能的影响，从而提高伺服系统的输出跟踪精度与响应快速性。特别适用于要求精度高、响应快速的精密电机伺服系统。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

一种带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器，包括：参数自适应调整模块、动态摩擦补偿器、鲁棒控制模块、加法器与减法器；其中，所述参数自适应调整模块包括回归向量产生模块和自适应律模块；

所述减法器，用期望位置x1d减去被控对象位置的测量值x1，得到跟踪误差e1，将其发送给参数自适应调整模块和鲁棒控制模块；

所述参数自适应调整模块，用于在线调整动态摩擦补偿器的参数；

其中，所述回归向量产生模块，用于根据被控对象转速的测量值x2与动态摩擦补偿器输出的摩擦补偿量u_a，实时地计算出由LuGre动态摩擦模型Lipschitz系数构造的回归向量所述自适应律模块，用于根据回归向量产生模块给出的回归向量以及所述跟踪误差e1，实时计算含有投影算子的自适应律，利用该自适应律在线调整动态摩擦补偿器参数，将调整后的动态摩擦补偿器参数发给所述动态摩擦补偿器；

所述动态摩擦补偿器，用于根据所述动态摩擦补偿器参数和测得的被控对象转速x2，实时计算摩擦补偿量u_a，并发送给加法器和参数自适应调整模块；

所述鲁棒控制模块，用于根据所述跟踪误差e1获得鲁棒控制量u_s；

所述加法器，用于将摩擦补偿量u_a和鲁棒控制量u_s相加，得到总控制量，发送给被控对象；

其中，动态摩擦模型Lipschitz系数L(x2)满足如下约束：

$-e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}{T}_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )$

$\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)(\beta -{\beta }_{\min })+e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }f(x_2,{\beta }_{\min })$

上式中，e_ε为e₂的过原点递增函数，为与跟踪误差e₁有关的中间变量，k_p为角度调节的增益系数；

T_fn(x₂，σ₀z，β)为LuGre动态摩擦模型的非线性部分，z为动态摩擦的内部状态，σ₀代表接触面刚毛的硬度，T_max为已知的最大静摩擦的上界，β为LuGre动态摩擦模型中非线性参数化的参数向量，β_min＝[β_1min，β_min，β_3min，β_4min]^T为β的最小值，β_jmin为β_j的已知下界，j＝1，...，，J为电机轴与负载的总惯量，ω_s为Stribeck速度，σ₁为接触面刚毛的阻尼系数，T_c与T_s分别为库仑摩擦与静摩擦的幅值；

f(x₂，β_min)为描述摩擦Stribeck效应的非线性函数，定义为：

$f(x_2,{\beta }_{\min })={\beta }_{1\min }[1+\frac{{\beta }_{2\min }\left|x_2\right|}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-\beta 4\min x_2^2}}].$

其中，所述动态摩擦补偿器包括非线性参数化模型补偿模块、线性参数化模型补偿模块和相加模块；

所述非线性参数化模型补偿模块，用于根据所述动态摩擦补偿器参数和测得的被控对象转速x2，实时计算摩擦补偿量的非线性部分，产生非线性补偿量；

所述线性参数化模型补偿模块，用于根据所述动态摩擦补偿器参数和测得的被控对象转速x2，实时计算摩擦补偿量的线性部分，产生线性补偿量；

所述相加模块，用于将所述非线性补偿量和所述线性补偿量相加，得到摩擦补偿量u_a。

由以上所述可以看出，本发明方案具有如下有益效果：

1、本发明考虑了摩擦的非线性特性与动态特性，提出了基于LuGre动态摩擦模型的摩擦补偿方法。LuGre动态摩擦模型比简化的摩擦非线性模型(如：库仑摩擦模型、库仑加滑动摩擦模型或Stribeck模型等)能以更高的精度描述摩擦特性，包括摩擦的滞后、滑动前位移(presliding displacement)和变化分离力(varying break-away force)等动力学特性均得以考虑。这样一方面能保证本发明可更精确地估计出摩擦力值，另一方面能使摩擦补偿具有更好的效果，即：更精确地抵消未知摩擦，提高控制系统的精度。

2、本发明在自适应鲁棒控制方法的框架下进行摩擦补偿，能保证伺服系统的闭环稳定性与预期的瞬态响应性能。常规伺服系统控制器的摩擦补偿模块往往并不考虑系统的闭环稳定性，因此需要调整好摩擦补偿模块的参数以避免系统出现震荡现象。由于本发明能保证系统的闭环稳定性，因此大大减轻了参数调整的工作量。此外，本发明能使系统具有期望的瞬态响应性能，从而有效地提高了电机伺服系统的响应速度。

3、对参数未知的伺服系统进行自适应动态摩擦补偿，往往会采用模糊系统或神经网络等逼近器，对摩擦进行泛化逼近。然而，这些逼近器往往参数个数较多，算法比较复杂，工程中难以应用。而本发明是根据LuGre动态摩擦模型各非线性参数的Lipschitz系数构造线性化的摩擦逼近器，其参数个数与摩擦模型非线性参数的个数相等，这样使得该逼近器比一般的模糊逼近器或神经网络逼近器更为简单，更便于工程应用。

4、本发明采用的鲁棒自适应律比常规的自适应律具有更强的抗干扰能力，因此在传感器噪声或外界扰动的影响下，该方法仍能保证对摩擦具有良好的在线辨识效果。因此，本发明具有较强的鲁棒性。

附图说明

图1是带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器的结构图；

图2是带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器及被控对象；

图3是参数自适应调整模块内部原理图；

图4是动态摩擦补偿器的内部原理图；

图5是电机伺服系统实验平台的原理图；

图6是带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器与固定模型摩擦补偿控制器对比实验的输出误差曲线，其中图6(a)为带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器的输出误差曲线；图6(b)为固定模型摩擦补偿控制器的输出误差曲线。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供一种电机伺服系统的自适应动态摩擦补偿方案，其基本思想为：采用由LuGre动态摩擦模型的Lipschitz系数构造出的摩擦模型逼近器，并通过鲁棒自适应律，根据系统输出误差对摩擦逼近器的参数调整，使参数收敛到最优值。动态摩擦补偿器根据参数估计值对摩擦进行补偿，抑制摩擦对电机伺服系统输出跟踪精度与响应速度的不良影响，提高电机伺服系统的控制性能。

图1为本发明带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器的结构示意图。如图1所示，该控制器包括：参数自适应调整模块、动态摩擦补偿器、鲁棒控制模块、加法器与减法器。

减法器，用于将期望位置x_1d减去被控对象位置的测量值x₁，得到跟踪误差e₁，将其发送给参数自适应调整模块和鲁棒控制模块。其中，所述的位置可以是直线位置，也可以是角度。本发明实施例以控制对象为角度为例。

参数自适应调整模块，用于在线调整动态摩擦补偿器的参数，使控制器适应不同的被控对象与环境。其中，参见图3，参数自适应调整模块包括回归向量产生模块和自适应律模块。这两个子模块分别具有如下功能：回归向量产生模块，用于根据被控对象转速的测量值x₂与动态摩擦补偿器输出的摩擦补偿量u_a，实时地计算出由LuGre动态摩擦模型的Lipschitz系数构造的回归向量将其发送给自适应律模块。自适应律模块，用于根据回归向量产生模块给出的回归向量以及伺服系统的跟踪误差e₁，实时计算含有投影算子的自适应律，利用自适应律在线调整动态摩擦补偿器参数，将调整后的动态摩擦补偿器参数发给动态摩擦补偿器。

其中，LuGre动态摩擦模型Lipschitz系数L(x2)满足如下约束：

$-e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}{T}_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )$

$\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)(\beta -{\beta }_{\min })+e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }f(x_2,{\beta }_{\min })$

上式中，e_ε为e₂的过原点递增函数，为与跟踪误差e₁有关的中间变量，k_p为角度调节的增益系数；

T_fn(x₂，σ₀z，β)为LuGre动态摩擦模型的非线性部分，z为动态摩擦的内部状态，该内部状态是指LuGre动态摩擦模型的内部状态，对应于刚毛的形变，LuGre动态摩擦模型只有一个内部状态。σ₀为接触面刚毛的硬度，T_max为已知的最大静摩擦的上界，β为LuGre摩擦模型中非线性参数化的参数向量，β_min＝[β_min，β_2min，β_3min，β_4min]^T为β的最小值，β_jmin为β_j的已知下界，j＝1，...，4，J为电机轴与负载的总惯量，ω_s为Stribeck速度，σ₁为接触面刚毛的阻尼系数，T_c与T_s分别为库仑摩擦与静摩擦的幅值；f(x₂，β_min)为描述摩擦Stribeck效应的非线性函数，定义为：

$f(x_2,{\beta }_{\min })={\beta }_{1\min }[1+\frac{{\beta }_{2\min }\left|x_2\right|}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-\beta 4\min x_2^2}}].$

动态摩擦补偿器，用于消除动态摩擦对系统性能的影响。其中，参见图4，动态摩擦补偿器包括非线性参数化模型补偿模块、线性参数化模型补偿模块和相加模块。这三个子模块分别具有如下功能：非线性参数化模型补偿模块，用于根据动态摩擦补偿器参数和测得的被控对象转速x₂，实时计算摩擦补偿量中的非线性部分，产生非线性补偿量。线性参数化模型补偿模块，用于根据动态摩擦补偿器参数和测得的被控对象转速x₂，实时计算摩擦补偿量中的线性部分(包括粘性摩擦与动态摩擦的阻尼部分)，产生线性补偿量。相加模块，用于将所述非线性补偿量和所述线性补偿量相加，得到摩擦补偿量u_a，并发送给加法器。这种分为线性和非线性方式，保证对不同的摩擦模型具有不同的参数，从而能适应不同的工作环境，其中非线性参数化模型补偿模块补偿摩擦模型中的非线性部分，线性参数化模型补偿模块补偿摩擦模型中的线性部分。

鲁棒控制模块，用于根据跟踪误差e₁获得鲁棒控制量u_s，并发送给加法器。，其作用是消除外部扰动力的影响，保证控制具有足够的抗干扰能力；

加法器，用于将摩擦补偿量u_a和鲁棒控制量u_s相加，得到总控制量，发送给被控对象。

图2是带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器及被控对象。整个伺服系统由带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器和被控对象组成。如图2所示，控制器中各模块与被控对象之间的连接关系为：减法器与被控对象相连，以获取控对象角度的测量值x₁；参数自适应调整模块与被控对象相连，以获取控对象转速的测量值x₂；动态摩擦补偿器与被控对象相连，以获取控对象转速的测量值x₂；加法器与被控对象相连，向被控输出总的鲁棒控制量。由于带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器的输出被驱动电路接收被转化为驱动电流，因此伺服电机将产生一个抵消摩擦的转矩，以抑制摩擦对电机伺服系统精度与响应快速性的不利影响。

下面根据动态摩擦模型Lipschitz系数的选择条件，以一个选取的具体Lipschitz系数为例，对本发明各模块内部的信号处理方式进行详细描述。

首先介绍一些伺服系统对象的参数与变量表示：x₁、x₂分别为被控对象的角度和转速；x_1d为期望跟踪轨迹；e₁＝x₁-x_1d为伺服系统的跟踪误差；d为外部扰动力矩；J为电机轴与负载的总惯量；σ₀、σ₁与σ₂为三个正的摩擦模型参数，分别代表接触面刚毛的硬度、刚毛的阻尼系数与粘性摩擦系数；ω_s为Stribeck速度；T_c与T_s分别为库仑摩擦与静摩擦的幅值；T_max表示T_s的已知上界，即已知的最大静摩擦的上界。

●参数自适应调整模块中的回归向量的输出为：

式(1)中，L(x₂)为动态摩擦模型的Lipschitz系数，定义为：

$L\left(x_2\right):={[L_1\left(x_2\right),L_2\left(x_2\right),L_3\left(x_2\right),L_4\left(x_2\right)]}^T$

$=[1+\frac{{\beta }_{2\max }{x}_{2b}}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}},\frac{{\beta }_{1\max }{x}_{2b}}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}},$

${\frac{{\beta }_{1\max }{\beta }_{2\max }{x}_{2b}{e}^{-{\beta }_{4\min }{x}_2^2}}{{[1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}]}^2},\frac{{\beta }_{1\max }{\beta }_{2\max }({\beta }_{3\max }-1)x_{2b}{e}^{-{\beta }_{4\min }{x}_2^2}}{{[1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}]}^2}]}^T$

其中，β_jmax与β_jmin分别为β_j的已知上、下界(j＝1，...，4)，而β为非线性参数化的参数向量定义为b＞0为可选参数，其取值应与x₂绝对值的最大值处于同一数量级。

式(1)中，σ_ε(e₂)定义如下：

${\sigma }_{ϵ}\left(e_2\right)=\left(\begin{array}{cc}1& e_2>\left(\sqrt{3-1}\right)ϵ/2\\ 2e_2/(\sqrt{3}ϵ-ϵ)& \left|e_2\right|\le \left(\sqrt{3-1}\right)ϵ/2\\ -1& e_2<(1-\sqrt{3})ϵ/2\end{array}\right)$

$e_2={\stackrel{·}{e}}_1+k_p{e}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}},$$x_{2\mathrm{eq}}:={\stackrel{·}{x}}_{1d}-k_p{e}_1;$

上式中的ε与k_p均为可选的正值参数，其中ε为待选的正参数，其取值应为期望稳态跟踪误差幅值的0.02～0.9倍。k_p为角度调节的增益系数。

式(1)中，u_a为摩擦补偿量，其产生方式将在下面关于动态摩擦补偿器的叙述中给出。

●参数自适应调整模块中的自适应律模块的输出量为通过执行如下计算获得：

$\stackrel{\stackrel{·}{^}}{\theta }=\mathrm{Pro}{j}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right),\Gamma >0---\left(2\right)$

式(2)中，Γ为一正定矩阵，代表了自适应律调整参数的速率；为向量的投影算子，定义为：其中，p为未知参数向量θ的维数。的定义如下：

上式中θ＝[α^T，γ^T]^T；其中，α：＝[α₁，α₂，α₃]^T＝[K_I/J，(σ₁+σ₂)/J，T_l/J]^T，K_I代表电机的电流力矩系数，T_l代表负载力矩；γ＝β-β_min；θ_imin和θ_imax分别为θ_i取值范围的已知最小值和最大值，θ_i为θ的第i个元素。

式(2)中，自适应函数τ为：

其中，

$e_{ϵ}=e_2-\frac{1}{\sqrt{3}}c\left(e_2\right)$

上式中c(e₂)的形式如下：

$c\left(e_2\right)=\left(\begin{array}{cc}{d}_1+\sqrt{d_2^2-{(e_2-ϵ)}^2},& \frac{\sqrt{3}-1}{2}ϵ\le e_2\le ϵ\\ \sqrt{3}{e}_2,& \left|e_2\right|\le \frac{\sqrt{3}-1}{2}ϵ\\ -d_1-\sqrt{d_2^2-{(e_2+ϵ)}^3},& -ϵ\le e_2\le -\frac{\sqrt{3}-1}{2}ϵ\\ \mathrm{ϵsgn}\left(e_2\right),& \left|e_2\right|>ϵ\end{array}\right)$

其中，sgn为符号函数。

●动态摩擦补偿器的非线性参数化模型补偿模块执行如下计算：

$u_{\mathrm{an}}=\frac{1}{{\hat{a}}_1}[-{\sigma }_{ϵ}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)\hat{\gamma }-{\sigma }_{ϵ}\left(e_2\right)T_{\max }f(x_2,{\beta }_{\min })]---\left(3\right)$

其中f(x₂，β_min)为描述摩擦Stribeck效应的非线性函数，定义为

$f(x_2,{\beta }_{\min })={\beta }_{1\min }[1+\frac{{\beta }_{2\min }\left|x_2\right|}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\min }{x}_2^2}}].$

●动态摩擦补偿器的线性参数化模型补偿模块执行如下计算：

$u_{\mathrm{al}}=\frac{1}{{\hat{a}}_1}({\hat{a}}_2{x}_2+{\hat{a}}_3+{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}})---\left(4\right)$

●动态摩擦补偿器的输出量u_a为非线性参数化模型补偿模块输出u_an与非线性参数化模型补偿模块输出u_al之和，即：

u_a＝u_an+u_al。    (5)

●鲁棒控制模块通过执行以下计算获得鲁棒控制量u_s：

$\left(\begin{array}{c}{u}_s=u_{s1}+u_{s2}\\ u_{s1}=-\frac{k_{s1}}{{\alpha }_{1\min }}{e}_2\\ u_{s2}=-\frac{h_0}{2{\alpha }_{1\min }{ϵ}_0}{e}_2\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中k_s1为转速调节的增益系数，应取正值；ε₀＞0为可选的参数，其取值应为期望稳态跟踪误差幅值的5～10倍；h₀为任意满足的函数或常数，δ为伺服系统所受扰动与惯量之比d/J的幅值上界。当h₀为满足的函数时，回归向量产生模块将生成的回归向量输出给鲁棒控制模块。其中，的上界在一般情况下可取为定值，当取时，h0也能取定值，那么参数自适应调整模块不需要将回归向量发送给鲁棒控制模块。如果表达式中的采用实时值，即从参数自适应调整模块中获取的，那么参数自适应调整模块需要进一步将回归向量发送给鲁棒控制模块(如图1所示参数自适应调整模块与鲁棒控制模块之间需要增加传递的连线)。

●带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器输出的总控制量u_I为：

u_I＝u_a+u_s。    (7)

以上各模块按照以下步骤协调工作：

步骤1：根据伺服系统的跟踪误差e₁、转速的测量值x₂与摩擦补偿量u_a，通过执行式(1)的计算得到用于参数调整的回归向量以作为自适应律模块的输入。根据该回归向量的值以及伺服系统的跟踪误差e₁，通过执行式(2)的计算得到动态摩擦补偿器的参数

步骤2：动态摩擦补偿器根据参数自适应调整模块提供的动态摩擦补偿器参数与伺服系统转速的测量值x₂，通过执行式(3)、(4)与(5)的计算，得到摩擦补偿量。

步骤3：鲁棒控制模块根据系统的输出跟踪误差e₁，通过执行式(6)的计算，得到鲁棒控制量u_s。

步骤4：通过把摩擦补偿量u_a与鲁棒控制量u_s相加得到带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器的总控制量。然后，返回步骤1。

由本发明技术方案可以看出，该控制器的设计方法是根据动态摩擦模型各非线性参数的Lipschitz系数构造线性化摩擦的逼近器，以逼近摩擦的非线性参数化部分，因此逼近器的参数个数与摩擦模型非线性参数的个数相等。根据摩擦逼近器的线性参数化形式，可按照自适应鲁棒控制方法，将摩擦逼近器对摩擦的逼近误差看成系统的外部扰动，设计出鲁棒控制律；使该鲁棒控制律在任何自适应律下电机伺服系统均具有闭环稳定性与预期的瞬态响应性能。

下面对本发明带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器的工作原理进行描述。

电流受控的伺服系统可用如下方程描述其动态特性

$J\stackrel{··}{q}=T_m-T_f-T_l-T_{\mathrm{dis}}---\left(8\right)$

T_m＝K_Iu_I    (9)

其中q为伺服系统的角度输出；T_m、T_f、T_l和T_dis分别代表电磁力矩、摩擦力矩、负载力矩和扰动力矩；J为电机轴与负载的总惯量；K_I代表电机的电流力矩系数。u_I代表总控制量。

而反映摩擦动态特性的动态摩擦模型中最常用的一种是LuGre模型，其形式如下：

$T_f={\sigma }_{0}z+{\sigma }_1\stackrel{·}{z}+{\sigma }_2\stackrel{·}{q}---\left(10\right)$

$\stackrel{·}{z}=\stackrel{·}{q}-{\sigma }_0\frac{\left|\stackrel{·}{q}\right|}{g\left(\stackrel{·}{q}\right)}z---\left(11\right)$

$g\left(\stackrel{·}{q}\right)=T_c+(T_s-T_c)e^{-{(\stackrel{·}{q}/{\omega }_s)}^2}---\left(12\right)$

以上模型可化简为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\alpha }_1{u}_1-{\alpha }_2{x}_2-{\alpha }_3-T_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )+\Delta \\ \stackrel{·}{z}=x_2-{\sigma }_0\frac{\left|x_2\right|}{g\left(x_2\right)}z\\ y=x_1\\ T_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )={\sigma }_{0}z[{\beta }_1(1-\frac{{\beta }_2\left|x_2\right|}{1+({\beta }_3-1)e^{-{\beta }_4{x}_2^2}})\end{array}---\left(13\right)\right)$

其中x₁、x₂分别为角度和转速；y为系统输出；Δ＝d/J为集中参数扰动；α＝[α₁，α₂，α₃]^T＝[K_I/J，(σ₁+σ₂)/J，T_l/J]^T为线性参数化的参数向量；为非线性参数化的参数向量。已知α_imax与α_imin分别为α_i的上、下界、β_jmax与β_jmin分别为β_j的上、下界(i＝1，...，3，j＝1，...，4)。

根据(13)式可得：

${\stackrel{·}{e}}_2={\stackrel{·}{x}}_2-{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}={\alpha }_1{u}_1-{\alpha }_2{x}_2-{\alpha }_3-T_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )+\Delta -{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}---\left(14\right)$

定义误差变量e_ε如下：

$e_{ϵ}=e_2\frac{1}{\sqrt{3}}c\left(e_2\right)$

定义Lyapunov函数则由上式可知：

${\stackrel{·}{V}}_{ϵ}=e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}[{\alpha }_1{u}_1-{\alpha }_2{x}_2-{\alpha }_3-T_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )+\Delta -{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}]---\left(15\right)$

其中由下式给出

$\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}=\left(\begin{array}{cc}1+\frac{e_2-ϵ}{\sqrt{3[d_2^2-{(e_2-ϵ)}^2}},& \frac{\sqrt{3}-1}{2}ϵ\le e_2\le ϵ\\ 0,& \left|e_2\right|\le \frac{\sqrt{3}-1}{2}ϵ\\ 1-\frac{e_2+ϵ}{\sqrt{3[d_2^2-{(e_2+ϵ)}^2}]},& -ϵ\le e_2\le -\frac{\sqrt{3}-1}{2}ϵ\\ 1,& \left|e_2\right|>ϵ\end{array}\right)$

由式(15)可见非线性参数化项对Lyapunov函数V的导数存在影响。为此，我们进一步分析该非线性参数化项的特性。实际上，

$-e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}{T}_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{\beta }_1|1-\frac{{\beta }_2\left|x_2\right|}{1+({\beta }_3-1)e^{-{\beta }_4{x}_2^2}}|$

$\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{\beta }_1[1+\frac{{\beta }_2\left|x_2\right|}{1+({\beta }_3-1)e^{-{\beta }_4{x}_2^2}}]$

分析上式的Lipschitz系数，可知

$-e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}{T}_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,\beta )$

$\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)(\beta -{\beta }_{\min })-e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}{T}_{\mathrm{fn}}(x_2,{\sigma }_{0}z,{\beta }_{\min })---\left(16\right)$

$\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)(\beta -{\beta }_{\min })-e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}\mathrm{sgn}-\left(e_2\right)\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }f(x_2,{\beta }_{\min })$

其中L(x₂)定义为：

$L\left(x_2\right)=[1+\frac{{\beta }_{2\max }{x}_{2b}}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}},\frac{{\beta }_{1\max }{x}_{2b}}{1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}},$

${\frac{{\beta }_{1\max }{\beta }_{2\max }{x}_{2b}{e}^{-{\beta }_{4\min }{x}_2^2}}{{[1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}]}^2},\frac{{\beta }_{1\max }{\beta }_{2\max }({\beta }_{3\max }-1)x_{2b}{x}_2^2{e}^{-{\beta }_{4\min }{x}_2^2}}{{[1+({\beta }_{3\min }-1)e^{-{\beta }_{4\max }{x}_2^2}]}^2}]}^T$

结合式(15)与(16)可得：

${\stackrel{·}{V}}_{ϵ}\le e_{ϵ}\frac{\partial e_{ϵ}}{\partial e_2}[{\alpha }_1{u}_1-{\alpha }_2{x}_2-{\alpha }_3+\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)\gamma ---\left(17\right)$

$-{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+\mathrm{sgn}\left(e_2\right)T_{\max }f(x_2,{\beta }_{\min })+\Delta ]$

根据式(17)，控制量u_I可设计为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_I=u_a+u_s\\ u_a=\frac{1}{{\hat{a}}_1}[{\hat{a}}_2{x}_2+{\hat{a}}_3-{\sigma }_{ϵ}\left(e_2\right)T_{\max }{L}^T\left(x_2\right)\hat{\gamma }\\ +{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}-{\sigma }_{ϵ}\left(e_2\right)T_{\max }f(x_2,{\beta }_{\min })]\\ u_s=u_{s1}+u_{s2},u_{s1}=-\frac{k_{s1}}{{\alpha }_{1\min }}{e}_{ϵ},u_{s2}=-\frac{h_0}{2{\alpha }_{1\min }{ϵ}_0}{e}_2\end{array}\right)---\left(18\right)$

上式中u_s为鲁棒控制量，u_a为摩擦补偿量。这样便得到了鲁棒控制量与摩擦补偿量的具体形式。结合式(17)与(18)可得，

${\stackrel{·}{V}}_{ϵ}\le -\lambda V_{ϵ}+{ϵ}_1---\left(19\right)$

可见，控制器的总控制量可以保证系统闭环稳定。为得到自适应律的具体形式，我们考虑如下Lyapunov函数：

$V_{\theta }=V_{ϵ}+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}^T{\Gamma }^{-1}\tilde{\theta }---\left(20\right)$

其中为参数估计误差。在无扰动的情况下，即Δ＝0，则根据(15)可知，V_θ的导数满足

(21)

由式(21)可知，若把参数自适应律设计为式(2)，则能以保证根据Barbarlat引理可知，当t→∞，有e_ε→0，从而有系统输出跟踪误差e₁→0。由以上分析过程可见，本发明所提出的带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器不仅能保证系统闭环的稳定性，还能使系统具有较高的稳态跟踪精度。

在实际设计过程中，本发明带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器可由数字信号处理器(如：TMS320F2812、TMS320LF2407)、8051单片机等嵌入式处理器及其外围电路实现。由于本发明提出的算法为连续时间算法，在嵌入式处理器中的软件实现需要用龙格库塔法、欧拉法等数值方法把连续时间算法转换为离散算法。通过嵌入式处理器及其外围电路对测速电机与角度传感器的测量值进行实时采集，对于带有自适应动态摩擦补偿的伺服系统控制器而言，伺服系统的输出转速值、输出角度值、给定角度均是可用的。嵌入式处理器根据给定角度与测得的系统输出角度值可计算出系统的输出跟踪误差。根据输出跟踪误差、系统的输出转速与控制器部分中的总控制量，参数自适应调整模块可实时调整动态摩擦补偿器的参数，使动态摩擦补偿器能输出准确的摩擦补偿量。该摩擦补偿量与鲁棒控制模块输出的鲁棒控制量相叠加，产生总控制量并输入到驱动电路中，驱动电路产生驱动电流，使伺服电机运转。

图5是电机伺服系统实验平台的原理图。电机伺服系统实验平台包括：伺服控制器、感应同步器、测速电机、驱动电路、电机、负载，伺服控制器包括：模数转换电路、数字信号处理器TMS320F2812和数模转换电路。感应同步器、测速电机均与电机输出轴相连，分别把电机输出轴的角度与转速转化为模拟电信号，再把此模拟电信号接入到模数转换电路，转化为数字信号处理器TMS320F2812可以接收的数字信号。根据此数字信号，数字信号处理器TMS320F2812采用本发明提出的自适应动态摩擦补偿方法算出控制量，输送到数模转换电路，转化为模拟信号，再接入到驱动电路，生成驱动电机的电流，使电机运转。

图6是带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器与固定模型摩擦补偿控制器对比实验的输出误差曲线。该对比实验中，直流电机伺服系统要跟踪幅值为1度，频率为0.5赫兹的正弦角度信号，分别用上述两种控制器进行实验，将输出响应角度与给定的角度信号相减，得到两种方法的输出误差曲线。由于参数自适应调整模块在电机伺服系统的运行过程中不断调整动态摩擦补偿器的参数，使在线辨识的摩擦模型不断逼近实际摩擦特性，从而能实现越来越精确的摩擦补偿，因此随着时间的增长，本发明所提出的控制器能使电机伺服系统的输出角度误差逐渐减小。由带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器对应的输出误差曲线(a)可以看出，输出角度误差随时间增长而减小的效果(当启动时间大于5秒时最大输出跟踪误差小于0.02度)。而由固定模型摩擦补偿控制器对应的输出误差曲线(b)可以看出，随着时间增长该方法的输出角度误差是固定的(最大跟踪误差为0.085度)，其输出角度误差明显大于带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器。从上述对比实验得到的输出误差曲线可见，带有动态摩擦补偿的伺服系统自适应鲁棒控制器比固定模型摩擦补偿控制器具有更高的输出跟踪精度。

以上所述的仅为本发明的较佳实施例而已，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的精神和原则之内所做的局部改动、等同替换、改进等均应包含在本发明的保护范围之内。