一种基于滑动位移分析的三维地震边坡发生滑坡的时间预测方法

摘要

本发明公开了一种基于滑动位移分析的三维地震边坡发生滑坡的时间预测方法，它包括选定具体待预测的滑坡体、将该三维滑坡体离散化、建立岩土体的双曲线模型、获得条柱底面的剪切力与关键点竖向位移的关系和求解不同地震时间所对应关键点竖向位移，以及获得地震作用的过程中关键点的累计竖向位移几个步骤，选择关键点的累计竖向位移陡增处对应的地震时间作为该三维地震边坡发生滑坡的时刻，从而预测该三维地震边坡的滑坡时间。本发明的优点是：考虑了边坡的滑动位移信息，提高了计算精度，预测结果更为可靠。

说明书

技术领域

本发明属于地质灾害防控技术领域，具体涉及一种基于滑动位移分析的三维地 震边坡发生滑坡的时间预测方法。

背景技术

由于地震引起的滑坡地质灾害造成的损失十分巨大，世界各国对滑坡地质灾害极为 重视，人们在滑坡灾害的评估、预防、监测、预测预报方面作了大量的工作，并取得了 一系列有实际意义的研究成果。

中国专利文献CN103135128A于2013年6月5日公开了一种地震荷载作用下三维 边坡稳定性预测方法，包括以下步骤：步骤1、选定具体待预测的滑坡体，确定三维滑 面形状及滑坡体几何尺寸；三维滑面分为滑裂面和边坡表面，将滑裂面和边坡表面用方 程表示；步骤2、将三维滑坡体离散化；步骤3、建立考虑地震荷载作用下三维边坡稳 定性预测的方程组，由方程组求解得到三维边坡稳定系数的历时数据；步骤4、根据稳 定系数的历时情况，并搜索在地震荷载作用下边坡的最不利情况，判断最不利情况下稳 定系数是否大于所设定的边坡稳定性临界值；本发明的优点是：考虑了地震荷载在边坡 工程中的动力效应，计算精度有所提高，预测结果更为可靠。但是，这种方法基于对模 型的受力分析而判断该边坡的稳定性，没有考虑到边坡滑动的位移信息，其预测的可靠 性仍有待提高。

发明内容

本发明所要解决的技术问题就是提供一种基于滑动位移分析的三维地震边 坡发生滑坡的时间预测方法，它能够结合三维地震边坡滑动的位移量，从而得到三维 地震滑坡的位移随时间的变化关系，从而预测该三维地震边坡的滑坡时间。

本发明所要解决的技术问题是通过这样的技术方案实现的，它包括有以下 步骤：

步骤1、选定具体待预测的滑坡，确定该三维地震边坡及其滑裂面的几何尺寸，将 滑裂面和边坡表面用方程表示；确定岩土的土体指标参数和地震参数；

步骤2、将三维滑坡体离散化，三维滑坡体被垂直离散为m行和n列条柱，每个条 柱按所在的行号i和列号j定义为[i,j]；假定行方向的条柱间作用力与水平面夹角为±α， 假定列方向的条柱间作用力与水平面夹角为±β；

步骤3、利用直剪试验确定该岩土体的双曲线模型的参数，建立岩土体的双曲线模 型；

步骤4、根据摩尔库伦准则和岩土体双曲线模型，求出[i,j]条柱底面的剪切力与该 条柱的剪切位移之间的关系；利用离散后的各条柱的水平位移相等，得到[i,j]条柱底面 的剪切力与关键点竖向位移Δ₀的关系；另外，根据水平和竖直方法向上的位移函数，确 定每个条柱上由地震引起的惯性力；再根据3个力的平衡方程和2个力矩的平衡方程求 解出第[i,j]条柱底面初始的法向力，从而消除剪切力与关键点竖向位移Δ₀关系中的非 线性项。

步骤5、再根据3个力的平衡方程和3个力矩的平衡方程，并结合[i,j]条柱底面的 剪力与关键点竖向位移的关系，建立一组含有未知数α，β，Δ₀和t的非线性方程组；求 解该方程组，得到不同的地震时刻对应关键点竖向位移Δ₀；进而得到地震作用的过程中 关键点的累计竖向位移；关键点的累计竖向位移陡增处对应的地震时间为该三 维地震边坡发生滑坡的时刻，从而预测该三维地震边坡的滑坡时间。

由于本发明在三维滑坡体离散化，并在融合了多个力平衡和力矩的平衡的基础上， 考虑了三维地震边坡滑动的位移量，得到不同地震时间所对应的三维地震边坡的滑动位 移，进而得到地震作用的过程中关键点的累计竖向位移。关键点的累计竖向位移陡 增处对应的地震时间为该三维地震边坡发生滑坡的时刻，从而预测该三维地震边坡的滑 坡时间。另外，所有建模过程都能程序化，便于操作和编程，通过计算机实现基于滑动 位移分析的三维地震边坡发生滑坡的时间预测，大大的减少了人为的计算量。所以本发 明的优点是：考虑了地震边坡的滑动位移信息，提高了计算精度，预测结果更为可靠。

附图说明

本发明的附图说明如下：

图1为本发明的一个实施例的滑坡体滑裂面和边坡表面的剖面图；

图2为三维滑坡体离散化结构图；

图3为岩土体的双曲线模型图；

图4为离散化条柱的受力模型图；

图5为实施例的关键点竖向位移Δ₀和地震时间的关系图；

图6为实施例关键点累计竖向位移随地震时间的变化关系图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：

步骤1、选定具体待预测的滑坡体，确定三维滑面形状及滑坡体几何尺寸，将边坡 表面和滑裂面用方程表示；边坡表面的参数有边坡斜面在水平面上的投影长度l，边坡 斜面在竖直方向上的投影长度H；滑裂面的参数依据实际几何形状确定，以及确定岩土 的土体指标参数和地震参数；

边坡表面的表达式为：

$\left(\begin{array}{cc}{z}_1=0,& (x<0)\\ z_1=\frac{5}{3}x,& (0\le x\le 6)\\ z_1=10,& (x>6)\end{array}\right)$

滑裂面的表达式为：

$\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{{(y-30)}^2}{{30}^2}+\frac{{(z-10)}^2}{{10}^2}=1$

本实施例的三维滑坡体如图1所示，其边坡表面为倾斜面，边坡斜面的水 平方向的投影为6m，在竖直方向上的投影为10m；滑裂面为椭球体滑裂面， 设y方向上滑裂面宽度的半长轴为30m；x、z方向的半轴长度为:10m。其中滑 坡体为各向同性均质材料，土体指标参数为：滑坡体粘聚力c＝20kPa，滑坡体 内摩擦角，滑坡体容重γ＝21.0kN/m³，放大系数f＝1.2，地震周期为T＝0.2s， 横波波速v_s＝880ms，水平方向地震加速度系数为k_h＝0.2，水平和竖着方向加速度系 数的比值为k_h/k_v＝2。

步骤2、将该三维滑坡体离散化

如图2所示，将三维滑坡体离散化，三维滑坡体被垂直离散为200行和200列条柱。 每个条柱按所在的行号i和列号j定义为[i,j]；假定行方向的条柱间作用力与水平面夹 角为±α，假定列方向的条柱间作用力与水平面夹角为±β。

步骤3、利用直剪试验确定该岩土体的双曲线模型的参数N，R_f和k，建立岩土体 的双曲线模型；

三维边坡的双曲线参数为N＝0.35，R_f＝0.8和k＝2×10³m^-1，建立岩土体的双 曲线模型如图3所示。

边坡条柱中的岩土体的双曲线模型的数学表达式为

${\tau }^{i,j}=\frac{{\Delta }_{\mathrm{shear}}^{i,j}}{\frac{1}{k_{\mathrm{initial}}^{i,j}}+\frac{R_f}{{\tau }_f^{i,j}}·{\Delta }_{\mathrm{shear}}^{i,j}}---\left(1\right)$

式中τ^i,j为[i,j]条柱底面的剪应力，为[i,j]条柱底面的剪切位移，为初始剪切 刚度，R_f为岩土材料失效比，为岩土材料抗剪强度；

$k_{\mathrm{initial}}^{i,j}=k·\mathrm{Pa}·{\left(\frac{{\sigma }_n^{i,j}}{\mathrm{Pa}}\right)}^N---\left(2\right)$

式中k为岩土体的剪切刚度系数，Pa为一个标准大气压强，N为岩土体的剪切刚度的 指数参数；

为[i,j]条柱底面的正应力

式中，N^i,j为[i,j]条柱底面的法向力；A^i,j为[i,j]条柱横截面的面积， 为[i,j]条柱底面法向力的单位向量在z轴上的分量。

对岩土进行直剪试验，描绘出其剪应力-剪切位移曲线，利用式(1)对该剪应力-剪切 位移曲线进行拟合，从而确定双曲线模型的参数k，N和R_f。

步骤4、根据摩尔库伦准则和岩土体双曲线模型，求出[i,j]条柱底面的剪切力与 该条柱的剪切位移之间的关系；利用离散后的各条柱的水平位移相等，得到[i,j]条柱底 面的剪切力与关键点竖向位移Δ₀的关系；

(1)、确定[i,j]条柱底面的剪切力与该条柱的剪切位移之间的关系

[i,j]条柱的受力模型如图4所示，[i,j]条柱底面上法向力方向的单位向量为

$\overrightarrow{n}=(n_x^{i,j},n_y^{i,j},n_z^{i,j})=(-\frac{1}{\Delta }\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{1}{\Delta }\frac{\partial f}{\partial y},\frac{1}{\Delta })---\left(3\right)$

式中，f是滑裂面的函数，为条柱底面上法向力方向的单位向量，其中分别是该向量在x，y，z方向上的分量，

条柱底面上剪切力方向的单位向量为

$\overrightarrow{l}=(l_x^{i,j},l_y^{i,j},l_z^{i,j})=\frac{1}{{\Delta }^{\prime }}(\mathrm{1,0},\frac{\partial f}{\partial x})---\left(4\right)$

式中，为条柱底面剪切力的单位向量，其中分别是该向量在x，y，z方 向上的分量，${\Delta }^{\prime }=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2}.$

根据文献：X.P.Zhou,H.Cheng，Stability analysis of three-dimensional  seismic landslides using the rigorous limit equilibrium method，Engineering  Geology，174(2014)：87-102.(周小平，程浩，基于严格极限平衡方法的三维地震边 坡稳定性分析，工程地质学报，174(2014)：87-102)可以得到三维地震边坡数学模型 中的每个条柱上由地震引起的惯性力。

水平方向的位移函数为

$S_h(z,t)=\frac{k_{h}g}{{\omega }^2}[1+\frac{z}{H}(f-1)][\mathrm{t\omega }\sin \left(\frac{\mathrm{z\omega }}{v_s}\right)+\cos \left(\frac{\mathrm{z\omega }}{v_s}\right)-\cos (\mathrm{\omega t}-\frac{\mathrm{z\omega }}{v_s})]$

竖向方向的位移函数为

$S_v(z,t)=\frac{k_{v}g}{{\omega }^2}[1+\frac{z}{H}(f-1)][\mathrm{t\omega }\cos \left(\frac{\mathrm{z\omega }}{v_p}\right)-\sin \left(\frac{\mathrm{z\omega }}{v_p}\right)-\sin (\mathrm{\omega t}-\frac{\mathrm{z\omega }}{v_p})]$

式中，ω为地震波的频率(ω＝2π/T)，T为地震周期；g重力加速度；v_s和v_p为地震波 在岩土体中横波和纵波的传播速度，H为该三维地震边坡的高度，k_h和k_v分别是水平和 竖向地震加速度系数，f为地震波从边坡坡趾想坡顶传播过程中的放大系数，z是z轴 的坐标值，t是地震时间。

则三个坐标轴方向的惯性力分别为，

z方向的惯性力，即垂直方向的惯性力为：

水平方向的惯性力为：

水平方向的惯性力可以分解为x和y方向的惯性力如下，

x方向的惯性力为：

y方向的惯性力为：

式中θ为地震传播方向与所建立坐标系的x轴 的夹角；A^i,j为离散化后第[i,j]块条柱的横截面积；γ为岩体材料的重度；和分 别表示条住顶面和地面的标高。

根据三个轴向力的平衡，每个条柱上可建立如下方程：

沿x方向力的平衡方程为：

$N^{i,j}{n}_x+S^{i,j}{l}_x+{\mathrm{\Delta G}}^{i,j}\cos \beta +K_x^{i,j}=0$

沿y方向力的平衡方程：

$N^{i,j}{n}_y+S^{i,j}{l}_y+{\mathrm{\Delta Q}}^{i,j}\cos \alpha +K_y^{i,j}=0$

沿z方向力的平衡方程：

$N^{i,j}{n}_z+S^{i,j}{l}_z+{\mathrm{\Delta G}}^{i,j}\sin \beta +{\mathrm{\Delta Q}}^{i,j}\sin \alpha -W^{i,j}+K_z^{i,j}=0$

根据莫尔库伦准则可得：

式中N^i,j为[i,j]条柱底面的法向力，c为岩土体的粘聚力，为岩土体的内摩擦角， A^i,j为[i,j]条柱横截面的面积；

将式(5)带入式(1)可以得到[i,j]条柱底面的剪应力表达式为：

将式(6)中的剪应力转化为剪切力为：

其中S^i,j为[i,j]条柱底面的剪切力。

(2)、确定[i,j]条柱底面的剪切力与关键点竖向位移Δ₀的关系

根据边坡体的刚性假定，离散的各条柱满足一定的协调条件，即各条柱的水平位移 相等。

首先选定该三维地震边坡的关键点(假设为[1,j₀]条柱，其竖向位移为Δ₀)，那么该 三维地震边坡水平位移为：

${\Delta }_h={\Delta }_h^{1,j_0}=\frac{{\Delta }_0·l_x^{1,j_0}}{l_z^{1,j_0}}---\left(8\right)$

其中为[1,j₀]条柱的水平位移，Δ_h为所有条柱的水平位移(即该边坡的水平位移)。

那么，[i,j]条柱底面的剪切位移可以得到：

${\Delta }_{\mathrm{shear}}^{i,j}=\frac{{\Delta }_h}{l_x^{i,j}}=\frac{{\Delta }_v^{1,j_0}{l}_x^{1,j_0}}{l_x^{i,j}·l_z^{1,j_0}}=\frac{{\Delta }_0{l}_x^{1,j_0}}{l_x^{i,j}·l_z^{1,j_0}}---\left(9\right)$

将式(9)带入式(7)中，得到[i,j]条柱底面的剪切力和关键点竖向位移Δ₀的关系为：

(3)、对式(10)中含有的隐式非线性项线性化

根据3个方向的力平衡方程，解出[i,j]条柱底面的法向力N^i,j和剪切力S^i,j为：

$N^{i,j}=\frac{B_x^{i,j}+B_y^{i,j}+B_z^{i,j}+D_1^{i,j}}{-A_x^{i,j}-A_y^{i,j}+A_z^{i,j}}---\left(11\right)$

$S^{i,j}=\frac{C_x^{i,j}+C_y^{i,j}+C_z^{i,j}+D_2^{i,j}}{A_x^{i,j}+A_y^{i,j}-A_z^{i,j}}---\left(12\right)$

其中

$B_x^{i,j}=\cos \alpha \sin \beta ({\mathrm{cA}}^{i,j}{l}_x^{i,j}+K_x^{i,j}),$

$B_y^{i,j}=\cos \beta \sin \alpha ({\mathrm{cA}}^{i,j}{l}_y^{i,j}+K_y^{i,j}),$

$B_z^{i,j}=-\cos \alpha \cos \beta ({\mathrm{cA}}^{i,j}{l}_z^{i,j}+K_z^{i,j}),$

$D_1^{i,j}=\cos \alpha \cos {\mathrm{\beta W}}^{i,j},$

将式(11)和(12)带入到个2个力矩的平衡方程，可以得到

$\left(\begin{array}{c}\Sigma M_x=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\{-[\left(\frac{B_x^{i,j}+B_y^{i,j}+B_z^{i,j}+D_1^{i,j}}{-A_x^{i,j}-A_y^{i,j}+A_z^{i,j}}\right)n_{i,j}^y+\frac{C_x^{i,j}+C_y^{i,j}+C_z^{i,j}+D_2^{i,j}}{A_x^{i,j}+A_y^{i,j}-A_z^{i,j}}{l}_{i,j}^y]z_{i,j}^G\\ +[\left(\frac{B_1^{i,j}+B_2^{i,j}+B_z^{i,j}+D_1^{i,j}}{-A_x^{i,j}-A_y^{i,j}+A_z^{i,j}}\right)n_{i,j}^z+\frac{C_x^{i,j}+C_y^{i,j}+C_z^{i,j}+D_2^{i,j}}{A_x^{i,j}+A_y^{i,j}-A_z^{i,j}}{l}_{i,j}^z]y_{i,j}^G-K_{i,j}^y{z}_{i,j}^H+(K_{i,j}^z-W^{i,j})y_{i,j}^H\}=0\end{array}\right)---\left(13\right)$

$\left(\begin{array}{c}\Sigma M_y=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\right[\left(\frac{B_x^{i,j}+B_y^{i,j}+B_z^{i,j}+D_1^{i,j}}{-A_x^{i,j}-A_y^{i,j}+A_z^{i,j}}\right)n_{i,j}^x+\frac{C_x^{i,j}+C_y^{i,j}+C_z^{i,j}+D_2^{i,j}}{A_x^{i,j}+A_y^{i,j}-A_z^{i,j}}{l}_{i,j}^x]z_{i,j}^G\\ -[\left(\frac{B_x^{i,j}+B_y^{i,j}+B_z^{i,j}+D_1^{i,j}}{-A_x^{i,j}-A_y^{i,j}+A_z^{i,j}}\right)n_{i,j}^z+\frac{C_x^{i,j}+C_y^{i,j}+C_z^{i,j}+D_2^{i,j}}{A_x^{i,j}+A_y^{i,j}-A_z^{i,j}}{l}_{i,j}^z]x_{i,j}^G-K_{i,j}^x{z}_{i,j}^H+(W^{i,j}-K_{i,j}^z)x_{i,j}^H\}=0\end{array}\right)---\left(14\right)$

求解上述式(13)和(14)组成的方程组，设时间t＝0，可以求解出α和β的值。再将α， β值带入到式(11)中算出N^i,j，从而将隐式非线性项视为常数，记为 即消除该非线性。

那么[i,j]条柱底面的剪切力与关键点竖向位移Δ₀的关系可重新写为：

式中，S^i,j为[i,j]条柱底面的剪切力

Δ₀为[1,j₀]条柱的竖向位移

A^i,j为[i,j]条柱横截面的面积

c为岩土体的粘聚力

为[i,j]条柱底面法向力的单位向量在z轴上的分量

N^i,j为[i,j]条柱底面的法向力

为[i,j]条柱底面的初始法向力

是[i,j]条柱底面剪切力单位向量在x方向上的分量

为[1,j₀]条柱条柱底面剪切力单位向量在x、z方向上的分量

Pa为一个标准大气压强

k为岩土体的剪切刚度系数

N为岩土体的剪切刚度的指数参数

R_f为岩土材料失效比。

步骤5、求解不同的地震时刻所对应的关键点竖向位移Δ₀

结合式(15)和3个方向的力平衡方程，重新得到[i,j]条柱底面的法向力N^i,j和剪切 力S^i,j为：

$N^{\mathrm{ij}}=-\frac{(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}---\left(16\right)$

$S^{\mathrm{ij}}=-\frac{\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}}}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}---\left(17\right)$

其中$a_1=n_x^{i,j}\cos \alpha \sin \beta +n_y^{i,j}\sin \alpha \cos \beta -n_z^{i,j}\cos \alpha \cos \beta ,$

$a_2=K_x^{i,j}\cos \alpha \sin \beta +K_y^{i,j}\sin \alpha \cos \beta -K_z^{i,j}\cos \alpha \cos \beta +W^{i,j}\cos \alpha \cos \beta ,$

$a_3=l_x^{i,j}\cos \alpha \sin \beta +l_y^{i,j}\sin \alpha \cos \beta -l_z^{i,j}\cos \alpha \cos \beta ,$$b_1=A^{i,j}{\mathrm{cl}}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{n}_z^{i,j},$

$b_2={\mathrm{kA}}^{i,j}\mathrm{Pa}{R}_f{\Delta }_0{l}_x^{1,j_0}{n}_z^{i,j}{\left(\frac{N_{\mathrm{initial}}^{i,j}·n_z^{i,j}}{A^{i,j}·\mathrm{Pa}}\right)}^N,$

将式(16)和(17)带入到3个力矩的平衡方程，可以得到

$\left(\begin{array}{c}\Sigma M_x=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\right[\frac{n_{i,j}^y(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+\frac{l_{i,j}^y(\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}]z^{\Delta G^{i,j}/\Delta Q^{i,j}}+\\ [-\frac{n_{i,j}^z(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}-\frac{l_{i,j}^z(\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}]y^{\Delta G^{i,j}/\Delta Q^{i,j}}-K_{i,j}^y{z}_{i,j}^H+(K_{i,j}^z-W^{i,j})y_{i,j}^H\}=0\end{array}\right)---\left(21\right)$

$\left(\begin{array}{c}\Sigma M_y=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\right[\frac{n_{i,j}^x(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+\frac{l_{i,j}^x(\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}]z^{\Delta G^{i,j}/\Delta Q^{i,j}}+\\ [\frac{n_{i,j}^z(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+\frac{l_{i,j}^z(\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}]x^{\Delta G^{i,j}/\Delta Q^{i,j}}-K_{i,j}^x{z}_{i,j}^H+(W^{i,j}-K_{i,j}^z)x_{i,j}^H\}=0\end{array}\right)---\left(22\right)$

$\left(\begin{array}{c}\Sigma M_z=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left\{\right[\frac{n_{i,j}^x(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+\frac{l_{i,j}^x(\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+K_{i,j}^x]y^{\Delta G^{i,j}/\Delta Q^{i,j}}-\\ [\frac{n_{i,j}^y(\mathrm{AA}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_1{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+\frac{l_{i,j}^y(\mathrm{CC}-\sqrt{\mathrm{BB}})}{{2a}_3{l}_z^{1,j_0}{l}_x^{i,j}{\left(n_z^{i,j}\right)}^2}+K_{i,j}^y]x^{\Delta G^{i,j}/\Delta Q^{i,j}}=0\end{array}\right)---\left(23\right)$

通过赋予不同的地震时刻值t，并求解由式(21)-(23)所组成的方程组，得到不同的地 震时刻对应关键点竖向位移Δ₀；进而得到地震作用的过程中关键点的累计竖向位移 。关键点的累计竖向位移陡增处对应的地震时间为该三维地震边坡发生滑坡的 时刻，从而预测该三维地震边坡的滑坡时间。

关键点的累计竖向位移陡增处对应的地震时间为该三维地震边坡发生滑坡的 时刻，是预测滑坡时间的准则之一。参考文献：(周小平，钱七虎，张永兴，杨海清， 基于突变理论的滑坡时间预测模型，工程力学，28(2)，165—174)。

本实施例所计算得到的关键点竖向位移Δ₀与地震时间的关系如图5所示，关键点的 累计竖向位移随地震时间的变化关系如图6所示。关键点的累计竖向位移陡增 处对应的地震时间为该三维地震边坡发生滑坡的时刻，则本实施例的三维地震边坡发生 滑坡的时间为地震后0.06秒。