基于迭代学习的高频率角振动转台滑模控制方法

摘要

本发明涉及一种基于迭代学习的高频率角振动转台滑模控制方法，属于测控技术领域。本方法首先对永磁同步电机进行数学建模，再设计滑模变结构控制律和迭代学习控制律，然后基于迭代学习控制律进行滑模控制；通过迭代学习控制律的学习过程取代了滑模控制的到达过程，提高了角振动转台的频率响应带宽，提高了高频惯性导航器件的测试精度；提高了角振动转台在高频段跟踪周期信号的精度，有效抑制了周期干扰和随机扰动对于系统的影响；系统响应速度快，跟踪误差小，并且具有更强的鲁棒性。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于迭代学习的高频率角振动转台滑模控制方法，属于测 控技术领域。

背景技术

随着科学技术飞速的发展，航空、航天领域对飞行器及武器装备的机动性 要求越来越高，相应的对惯性导航器件的频响带宽有了更高的要求。作为测试 惯性器件的角振动转台，其性能指标要求高于被测器件，因此自然也面临着朝 高频响、大加速度方向发展。

因为飞行器的结构复杂，造价昂贵，在使用过程中一旦出现问题，必然造 成重大损失，甚至造成人员伤亡，所以对飞船、飞行器、导弹的实时跟踪，对 其飞行姿态的模拟就至关重要了。转台是为飞行器实验提供试验平台的专用设 备，它具有良好的可控性、无破坏性、安全性、不受气象条件和空域场地限制 等优点，在航空、航天和国防等领域得到了广泛的应用。

角振动转台是对惯性系统进行动态性能测试的大型精密设备,它主要是通 过复现正弦指令来精确模拟载体的角振动,以测定惯性系统的振动漂移,从而 对其进行补偿。这类精密设备不但要求能实时给出动态角位置数据,而且对振动 精度要求也相当高。高频角振动转台在高频段跟踪周期信号的精度往往偏低。

在转台控制中，其主要的负载转矩扰动有摩擦力矩和不平衡力矩。该两种 扰动均为非线性，难以建模分析。由于转台系统具有以上特点，所以转台系统 控制器对外界非线性干扰及系统参数不确定性要有较强的鲁棒性，并且要便于 在线计算和易于实现。

滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）作为一种变结构控制方法，当被控 系统状态位于滑模面时，对外界干扰和不确定项有强鲁棒性，同时设计简单， 被应用于各类电机伺服系统，满足了转台控制的要求。

迭代学习控制（Iterative Learning Control，ILC）是一种能完全跟踪期望轨 迹的控制理论，它本质上是前馈控制，属于智能控制的一个分支。它适用于具 有重复运动的被控对象，通过对被控对象进行控制尝试，以输出信号与给定信 号的偏差修正不理想的控制信号，使得系统的跟随性能得以提高。

发明内容

本发明针对高频角振动转台在高频段跟踪周期信号的精度低问题，提出一 种适用于高频率角振动转台的基于迭代学习的滑模控制方法。

本发明的技术方案具体包括如下步骤：

步骤1，对高频率角振动转台的执行机构进行数学建模，得到状态方程。

以永磁同步电机（PMSM）为高频率角振动转台的执行机构，其建模方法为：

步骤1.1，建立永磁同步电机在三相静止坐标系中的数学模型。

所述的永磁同步电机符合：

（1）永磁同步电机的三相绕组轴线（U、V、W）在空间上互差120°电角 度，所产生的磁势沿气隙圆周按正弦规律分布，并具有正弦反电动势；

（2）磁路线性且不考虑磁饱和；

（3）电机中涡流损耗和磁滞损耗能忽略。

电机物理模型中，U、V、W为三相绕组轴线，互差120°，转子逆时针方 向旋转为正，电流、电压的正方向符合右手定则。

则永磁同步电机的电压方程为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_U\\ u_V\\ u_W\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{R}_s& 0& 0\\ 0& R_s& 0\\ 0& 0& R_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_U\\ i_V\\ i_W\end{array}\right)+p\left(\begin{array}{c}{\psi }_U\\ {\psi }_V\\ {\psi }_W\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中u_U、u_V和u_W分别为定子三相电压瞬时值；i_U、i_V和i_W分别为定子三相 电流瞬时值；ψ_U、ψ_V和ψ_W分别为定子绕组的磁链；R_s为定子绕组的电阻；p代 表微分符号。

永磁同步电机的磁链方程为：

式中L_ij(i≠j)为互感；L_ij(i=j)为自感；ψ_r为永磁磁链；θ_e为电角度。由于 定子绕组三相对称，所以有i_U+i_V+i_W=0，且L_UU=L_VV=L_WW=L₁， L_UV=L_UW=L_VU=L_VW=L_WU=L_WV=L₂，将公式（2）代入公式（1）可得：

式中L_s=L₁-L₂，为电角速度。

电磁转矩等于转子机械角度变化时磁共能W′_m的变化率，计算公式为：

式中θ_m为转子机械角度，n_p为电机极对数，且有θ_e=n_pθ_m。

步骤1.2，根据步骤1.1的三相坐标电压方程，建立永磁同步电机在两相同 步旋转dq坐标系中模型。

取永磁同步电机的转子永磁体基波励磁磁场轴线为d轴，q轴逆时针方向超 前d轴90°电角度，建立dq坐标系，dq坐标系随同转子以机械角速度ω_m同步 旋转。

转子磁链在d轴和q轴上的分量ψ_rd=ψ_r和ψ_rq=0，公式（3）经过变换 可得dq坐标系下的电压方程：

$\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_s+L_{\mathrm{sd}}p& {-\omega }_e{L}_{\mathrm{sq}}\\ {\omega }_e{L}_{\mathrm{sd}}& R_s+L_{\mathrm{sq}}p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{sd}}\\ i_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)+{\omega }_e\left(\begin{array}{c}0\\ {\psi }_r\end{array}\right)---\left(5\right)$

式中，u_sd、u_sq、i_sd、i_sq分别为定子电压、电流的d轴和q轴分量；ω_e为转子角速度；L_sd，L_sq分别为d轴和q轴电感，电机为隐极式，有 L_sd=L_sq=L_s。

永磁同步电机dq坐标系下的磁链方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\mathrm{sd}}\\ {\psi }_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_{\mathrm{sd}}& 0\\ 0& L_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{sd}}\\ i_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\psi }_r\\ 0\end{array}\right)---\left(6\right)$

式中ψ_sd、ψ_sq分别为定子磁链在d、q轴上的分量。

公式（4）经过变换后得：

$\left(\begin{array}{c}{T}_e=n_p[{\psi }_r{i}_{\mathrm{sq}}+(L_{\mathrm{sd}}-L_{\mathrm{sq}})i_{\mathrm{sd}}{i}_{\mathrm{sq}}]\\ =n_p{\psi }_r{i}_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)---\left(7\right)$

运动方程为：

$T_e=T_L+J\frac{{\mathrm{d\omega }}_m}{\mathrm{dt}}=T_L+\frac{J}{n_p}\frac{{\mathrm{d\omega }}_e}{\mathrm{dt}}---\left(8\right)$

式中J为转子部分的转动惯量，包含电机转子及转子上固定的转盘等设备； T_L为转子的负载转矩，包含摩擦力矩、不平衡力矩以及一些外加转矩。

由公式（5），（7），（8）可得永磁同步电机的状态方程：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{i}}_{\mathrm{sd}}\\ {\stackrel{·}{i}}_{\mathrm{sq}}\\ \stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{R_s}{L_s}{i}_{\mathrm{sd}}+n_p{\omega }_m{i}_{\mathrm{sq}}+\frac{1}{L_s}{u}_{\mathrm{sd}}\\ {-n}_p{\omega }_m{i}_{\mathrm{sd}}-\frac{R_s}{L_s}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{{\psi }_r{n}_p}{L_s}{\omega }_m+\frac{1}{L_s}{u}_{\mathrm{sq}}\\ \frac{n_p{\psi }_r}{J}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(9\right)$

为了实现对电磁转矩的线性控制，采用i_sd=0的控制策略，此时不会有去 磁效应，且电磁转矩与i_sq成线性关系。可得永磁同步电机的简化状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{i}}_{\mathrm{sq}}\\ \stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{R_s}{L_s}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{{\psi }_r{n}_p}{L_s}{\omega }_m+\frac{1}{L_s}{u}_{\mathrm{sq}}\\ \frac{n_p{\psi }_r}{J}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(10\right)$

在驱动器中实现电流闭环，且电流环带宽足够大，则可以进一步对公式 （10）进行简化。外环控制器的输出u_i=i_sq，简化状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(11\right)$

ω_m为永磁同步电机的机械角速度，θ_m为转子机械角度。

步骤2，设计滑模变结构控制的控制律。步骤2.1，求取误差状态方程。

永磁同步电机的输出方程为：

y(t)=θ_m             （12）

定义位置误差状态为

e(t)为关于时间的函数，简写为e。为给定的位置曲线，θ_m为实际的位 置曲线。令滑模控制器的输出量为u_SMC，于是简化的误差状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{e}\\ \stackrel{·}{e}\end{array}\right)=\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}-\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_{\mathrm{SMC}}+\frac{1}{J}{T}_D\\ \stackrel{·}{{\theta }_m^{*}}-{\omega }_m\end{array}\right)---\left(14\right)$

式中T_D为干扰力矩。其中摩擦力矩和不平衡力矩均为有界干扰。

考虑系数和干扰的不确定性，有：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{e}\\ \stackrel{·}{e}\end{array}\right)=\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}-{\mathrm{bu}}_{\mathrm{SMC}}+d-\mathrm{\Delta b}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m^{*}}-{\omega }_m\end{array}\right)---\left(15\right)$

式中，Δb为系数b的不确定部分；d=T_D/J为非线性力矩干扰。 d-Δb有界，存在ζ，使得ζ=sup{|d-Δb|}。

步骤2.2，根据步骤2.1得到的误差状态方程，设计非线性滑模面S如下：

$\left(\begin{array}{c}S=\stackrel{·}{e}+K_{p}e+K_1\sigma \\ \stackrel{·}{\sigma }=g\left(e\right)\end{array}\right)---\left(16\right)$

式中，K_p>0为比例系数，K_I>0为积分系数，函数g(e)是连续可微的，形 式如下：$g\left(e\right)=\left(\begin{array}{cc}\beta & ,e\ge \beta \\ -\frac{1}{\beta }{e}^2+2e& ,0\le e<\beta \\ \frac{1}{\beta }{e}^2+2e& ,-\beta \le e<0\\ -\beta & ,e<-\beta \end{array}\right)---\left(17\right)$

β为一常数，|e|<β时，g(e)严格单调递增；|e|>β时，g(e)饱和。

步骤2.3，设计滑模控制律。

滑模控制律采用等效控制（u_eq）加切换控制（u_c）相结合的控制方式。等 效控制保证被控系统可以趋近滑模面，切换控制保证被控系统可以沿滑模面运 动。当被控系统进入滑模态后，有

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{S}=\stackrel{··}{e}+K_p\stackrel{·}{e}+K_{I}g\left(e\right)\\ =\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}-{\mathrm{bu}}_{\mathrm{eq}}+K_p\stackrel{·}{e}}+K_{I}g\left(e\right)=0\end{array}\right)---\left(18\right)$

所以等效控制为：$u_{\mathrm{eq}}=\frac{\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}}{b}+\frac{K_p}{b}\stackrel{·}{e}+\frac{K_I}{b}g\left(e\right)---\left(19\right)$

取切换控制函数为：

$u_c=\frac{\eta }{b}\mathrm{sat}\left(\frac{s}{v}\right)---\left(20\right)$

式中，sat(.)为饱和函数；η>0为切换控制增益；ν>0为一个常量。

所以滑动模态控制的控制律为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{SMC}}=u_{\mathrm{eq}}+u_c\\ =\frac{\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}}{b}+\frac{K_p}{b}\stackrel{·}{e}+\frac{K_I}{b}g\left(e\right)+\frac{\eta }{b}\mathrm{sat}\left(\frac{s}{v}\right)\end{array}\right)---\left(21\right)$

步骤3，设计迭代学习控制律。将转台摩擦简化为粘性摩擦，有T_f=σω_m， 将其代入公式（11），得到永磁同步电机的简化状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{\sigma }{J}{\omega }_m\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(22\right)$

式中σ＞0为粘滞摩擦系数。永磁同步电机的输出方程为：

y=θ_m           (23)

令x=[ω_m θ_m]^T，则有：

$\stackrel{·}{x}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{1}{J}{\mathrm{\sigma \omega }}_m\\ {\omega }_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sigma }{J}& 0\\ 1& 0\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}\\ 0\end{array}\right)u---\left(24\right)$

令：

$A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sigma }{J}& 0\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$

则转台系统可表示为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{x\left(t\right)}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bu}\\ y=\mathrm{Cx}\end{array}\right)---\left(25\right)$

从上面可以看到，该系统中CB=0，为非正则系统。在转台系统中，位置为 数字信号，所以如果使用高阶学习律可能会引入较大的噪声。为此，本发明采 用闭环PD型迭代学习控制律：

$u_{k+1}\left(t\right)=u_k\left(t\right)+{\mathrm{Le}}_{k+1}\left(t\right)+\stackrel{·}{{\mathrm{\Gamma e}}_{k+1}}\left(t\right)---\left(26\right)$

当转台系统作周期振动时，设其周期为T，第k个周期的状态为x_k(t)， t∈[0，T]。由于转台为连续周期运动，所以第k+1个周期的初始状态也就是第k 个周期的末状态，即有：

x_k+1(0)=x_k(T)            (27)

易知该初始条件相对于期望轨迹的初始条件会偏移较大距离，为此在学习 律中引入遗忘因子，增强系统的鲁棒收敛性。所以迭代学习控制律为：

$u_{k+1}\left(t\right)=(1-\alpha )u_k\left(t\right)+{\mathrm{Le}}_{k+1}\left(t\right)+\stackrel{·}{{\mathrm{\Gamma e}}_{k+1}}\left(t\right)---\left(28\right)$

式中α∈(0，1)，u_k(t)表示第k个周期的控制输出量，e_k(t)表示第k个周期的误 差，由于转台每个轴的控制系统均为单输入单输出系统，所以L，Γ∈R。

步骤4，基于步骤3设计的迭代学习控制律进行滑模控制。

本发明在传统滑模控制的基础上，采用迭代学习过程代替滑模控制的到达 阶段。到达阶段是转台系统从初始时刻向滑模面趋近的过程，在此过程中，由 于没有到达滑模面，容易受到外界干扰，且响应时间较长。

在转台系统开始周期振动时，转台系统距滑模面较远，采用步骤3中设计 的带遗传因子的PD型迭代学习控制律，其控制输出为：

$u_{k+1}\left(t\right)=(1-\alpha )u_k\left(t\right)+\left(\begin{array}{cc}\Gamma & L\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{e_{k+1}}\left(t\right)\\ e_{k+1}\left(t\right)\end{array}\right)---\left(29\right)$

式中t∈[0，T]，T为给定信号的周期，k表示第k个运动周期。

为了衡量每个周期的输出误差，定义变量J_k为：

$J_k=\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}_k{\left(\tau \right)}^2\mathrm{d\tau }=\frac{T_s}{T}\underset{i=0}{\overset{T/T_s}{\Sigma }}{e}_k{\left(i\right)}^2---\left(30\right)$

式中T_s为系统控制周期。当输出误差e_k(i)减小时，J_k也同减小。设定一个误差 限J^*，当第K个周期满足公式（31）的条件时，第K+1个周期开始停止迭代学 习控制。

J_k≤J^*            （31）

为了使迭代学习停止时的跟踪误差足够小，根据实际工程的精度要求，取J*为 满足精度要求的最小值。

迭代学习的停止时刻为KT，当τ=kT时，从ILC切换为SMC。

切换后进入滑模控制，将迭代学习的控制输出u_K(t)叠加到SMC的控制输出 中，根据步骤2设计的控制律u_SMC(τ)，得到最终控制输出为：

$\left(\begin{array}{c}u\left(\tau \right)=u_{\mathrm{SMC}}\left(\tau \right)+u_k\left(t\right)\\ =\frac{K_p}{b}\stackrel{·}{e}+\frac{K_I}{b}g\left(e\right)+\frac{\eta }{b}\mathrm{sat}\left(\frac{S}{v}\right)+u_k\left(t\right)\end{array}\right)---\left(32\right)$

式中，τ=kT+t，t∈[0，T]，k=K+1，K+2，K+3，……。

有益效果

本发明与现有技术相比，有以下四方面优点：

1、提高了角振动转台在高频段跟踪周期信号的精度；

2、将迭代学习方法和滑模控制方法相结合，有效抑制了周期干扰和随机扰 动对于系统的影响；

3、用ILC的学习过程取代了SMC的到达过程，提高了角振动转台的频率 响应带宽，提高了高频惯性导航器件的测试精度；

4、综合了迭代学习控制方法和滑模控制方法的优点，使系统响应速度快， 跟踪误差小，并且具有更强的鲁棒性。

附图说明

图1为具体实施方式中永磁同步电机物理模型；

图2为具体实施方式中永磁同步电机旋转坐标系；

图3为具体实施方式中滑模控制运动示意图；

图4为具体实施方式中频率1Hz、幅值10°时的振动曲线；

图5为具体实施方式中频率10Hz、幅值0.1°时的振动曲线；

图6为具体实施方式中频率20Hz、幅值0.03°时的振动曲线；

图7为具体实施方式中频率50Hz、幅值0.005°时的振动曲线；

图8为具体实施方式中频率1Hz、幅值10°时，带随机扰动的振动曲线。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合实施例加以进一步说明， 本实施方式论证了本方法的误差收敛和跟踪精度。仿真和实验表明，在与传统 控制方法相比较，提高了转台正弦跟踪精度，同时也提高了系统的鲁棒稳定性。 下面结合UOO大型三轴角振动转台，在三轴转台的内轴上进行实验验证，用 Matlab进行数据分析。

实验的频率和幅值的选取需遵循以下规则：

转台在角振动模式下，位置曲线为正弦曲线，即

θ=Asin2πf.t

其中，A为正弦波幅值，f为正弦波频率。

转台的机械结构和电机型号，共同决定了转台在角振动模式下的最大加速 度，记为α_max。对θ两次求导即可得到加速度公式，即：

$\stackrel{·}{\theta }=2\pi \mathrm{fA}\cos 2\mathrm{\pi f}.t$

$a=\stackrel{·}{v}={4\pi }^2{f}^{2}A\sin 2\mathrm{\pi f}.t$

为保证转台的安全运行，需要求出振动幅值的最大值，

$A=\frac{a}{{4\pi }^2{f}^2\sin 2\mathrm{\pi f}.t}\le \frac{a_{\max }}{{4\pi }^2{f}^2\sin 2\mathrm{\pi f}.t}$

又因为|sin2πf.t|≤1，所以A的最大值为：

$A_{\max }=\frac{a_{\max }}{{4\pi }^2{f}^2}$

本发明使用的UOO大型三轴角振动转台的内轴的最大加速度为500°/s²即 α_max=500°/s²

本发明选取1Hz、10Hz、20Hz、50Hz四种振动频率，用转台进行实验验证， 根据A_max的公式，可以求得四种频率对应的最大幅值分别为12.66°、0.12°、 0.032°、0.0051°，考虑留出余量，最终选取如下四组数值，用转台进行实验 验证：

1）频率1Hz、幅值10°

2）频率10Hz、幅值0.1°

3）频率20Hz、幅值0.03°

4）频率50Hz、幅值0.005°

1、基于迭代学习的滑模控制方法设计

步骤1，数学建模

转台的执行机构多为永磁同步电机（PMSM），为方便后面对误差收敛和跟 踪精度进行分析，需先对电机模型进行数学建模。以PMSM为例进行建模：

1）永磁同步电机在三相静止坐标系中的数学模型

电机物理模型如图1所示。

根据上述模型，永磁同步电机的电压方程为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_U\\ u_V\\ u_W\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{R}_s& 0& 0\\ 0& R_s& 0\\ 0& 0& R_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_U\\ i_V\\ i_W\end{array}\right)+p\left(\begin{array}{c}{\psi }_U\\ {\psi }_V\\ {\psi }_W\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中u_U、u_V和u_W分别为定子三相电压瞬时值；i_U、i_V和i_W分别为定子三相 电流瞬时值；ψ_U、ψ_V和ψ_W分别为定子绕组的磁链；R_s为定子绕组的电阻；p代 表微分。

易得磁链方程为：

式中L_ij(i≠j)为互感；L_ij(i=j)为自感；ψ_r为永磁磁链；θ_e为电角度。由于 定子绕组三相对称，所以有i_U+i_V+i_W=0，且L_UU=L_VV=L_WW-L₁， L_UV=L_UW=L_VU二L_VW=L_WU=L_WV=L₂，将公式（2）代入公式（1）可得：

式中L_s=L₁-L₂，，为电角速度。

电磁转矩等于转子机械角度变化时磁共能W′_m的变化率，在线性电感的假设 条件下可得电磁转矩为：

式中θ_m为转子机械角度，n_p为电机极对数，且有θ_e=n_pθ_m。

2）永磁同步电机在两相同步旋转dq坐标系中模型

取转子永磁体基波励磁磁场轴线为d轴，q轴逆时针方向超前d轴90°电 角度，建立dq坐标系，如图2所示。这时dq坐标系随同转子以机械角速度ω_m同 步旋转。

由图2可知，转子磁链在d轴和q轴上的分量ψ_rd=ψ_r和ψ_rq=0，公式（3） 经过变换可得dq坐标系下的电压方程：

$\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{R}_s+L_{\mathrm{sd}}p& {-\omega }_e{L}_{\mathrm{sq}}\\ {\omega }_e{L}_{\mathrm{sd}}& R_s+L_{\mathrm{sq}}p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{sd}}\\ i_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)+{\omega }_e\left(\begin{array}{c}0\\ {\psi }_r\end{array}\right)---\left(5\right)$

式中，u_sd、u_sq、i_sd、i_sq分别为定子电压、电流的d轴和q轴分量；ω_e为转子角速度；R_s为定子电阻；L_sd，L_sq分别为d轴和q轴电感，电机为隐极 式，所以L_sd=L_sq=L_s。

易得磁链方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\mathrm{sd}}\\ {\psi }_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_{\mathrm{sd}}& 0\\ 0& L_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{sd}}\\ i_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\psi }_r\\ 0\end{array}\right)---\left(6\right)$

式中ψ_sd、ψ_sq分别为定子磁链在d、q轴上的分量。

公式（4）经过变换后得：

$\left(\begin{array}{c}{T}_e=n_p[{\psi }_r{i}_{\mathrm{sq}}+(L_{\mathrm{sd}}-L_{\mathrm{sq}})i_{\mathrm{sd}}{i}_{\mathrm{sq}}]\\ =n_p{\psi }_r{i}_{\mathrm{sq}}\end{array}\right)---\left(7\right)$

运动方程为：

$T_e=T_L+J\frac{{\mathrm{d\omega }}_m}{\mathrm{dt}}=T_L+\frac{J}{n_p}\frac{{\mathrm{d\omega }}_e}{\mathrm{dt}}---\left(8\right)$

式中J为转子部分的转动惯量，包含电机转子及转子上固定的转盘等设备； T_L为转子的负载转矩，包含摩擦力矩、不平衡力矩以及一些外加转矩。

由公式（5），（7），（8）可得其状态方程：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{i}}_{\mathrm{sd}}\\ {\stackrel{·}{i}}_{\mathrm{sq}}\\ \stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{R_s}{L_s}{i}_{\mathrm{sd}}+n_p{\omega }_m{i}_{\mathrm{sq}}+\frac{1}{L_s}{u}_{\mathrm{sd}}\\ {-n}_p{\omega }_m{i}_{\mathrm{sd}}-\frac{R_s}{L_s}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{{\psi }_r{n}_p}{L_s}{\omega }_m+\frac{1}{L_s}{u}_{\mathrm{sq}}\\ \frac{n_p{\psi }_r}{J}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(9\right)$

为了实现对电磁转矩的线性控制，采用i_sd=0的控制策略，此时不会有去 磁效应，且电磁转矩与i_sq成线性关系。以此可得系统的简化状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{i}}_{\mathrm{sq}}\\ \stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{R_s}{L_s}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{{\psi }_r{n}_p}{L_s}{\omega }_m+\frac{1}{L_s}{u}_{\mathrm{sq}}\\ \frac{n_p{\psi }_r}{J}{i}_{\mathrm{sq}}-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(10\right)$

如果在驱动器中实现电流闭环，且电流环带宽足够大，则可以进一步对该 系统进行简化。假设外环控制器的输出为u_i，则可认为u_i=i_sq，简化状态方程 为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(11\right)$

ω_m为机械角速度，θ_m为转子机械角度。

步骤2，滑模变结构控制

1）滑膜变结构的原理

滑模控制的基本原理是采用一种切换控制使系统状态保持在滑动模态，并 且这种滑动模态下系统是渐进稳定的。其思想是，通过控制作用将系统从远离 滑模面的状态引导到滑模面，然后将系统控制在滑动模态中。系统运动可以分 为两部分，如图3所示：

①从滑模面外的状态到进入滑模面，为到达阶段，如图3中的P1→P2→P3 阶段；

②在滑模面附近并沿滑模面运动，为滑模运动阶段，如图3中的P3→O阶 段。

2）滑模控制器设计

由步骤1知，系统的简化状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{1}{J}{T}_L\\ {\omega }_m\end{array}\right)$

系统输出方程为：

y(t)=θ_m           （12）

定义位置误差状态为

$e\left(t\right)={\theta }_m^{*}-{\theta }_m---\left(13\right)$

为给定的位置曲线，θ_m为实际的位置曲线。令滑模控制器的输出量为 u_SMC，于是简化的误差状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{e}\\ \stackrel{·}{e}\end{array}\right)=\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}-\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_{\mathrm{SMC}}+\frac{1}{J}{T}_D\\ \stackrel{·}{{\theta }_m^{*}}-{\omega }_m\end{array}\right)---\left(14\right)$

式中T_D为干扰力矩。在此处将摩擦力矩和不平衡力矩均视为有界干扰。

考虑系数和干扰的不确定性，有：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{e}\\ \stackrel{·}{e}\end{array}\right)=\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}-{\mathrm{bu}}_{\mathrm{SMC}}+d-\mathrm{\Delta b}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m^{*}}-{\omega }_m\end{array}\right)---\left(15\right)$

式中，；Δb为系数b的不确定部分；d=T_D/J为非线性力矩干扰。 显然，在该系统中，d-Δb是有界的，即存在ζ，使得ζ=sup{|d-Δb|}。

本发明设计了一种非线性滑模面，形式如下：

$\left(\begin{array}{c}S=\stackrel{·}{e}+K_{p}e+K_1\sigma \\ \stackrel{·}{\sigma }=g\left(e\right)\end{array}\right)---\left(16\right)$

式中，函数g(e)是连续可微的，形式如下：

$g\left(e\right)=\left(\begin{array}{cc}\beta & ,e\ge \beta \\ -\frac{1}{\beta }{e}^2+2e& ,0\le e<\beta \\ \frac{1}{\beta }{e}^2+2e& ,-\beta \le e<0\\ -\beta & ,e<-\beta \end{array}\right)---\left(17\right)$

β为一常数，可以看出，|e|<β时，g(e)是严格单调递增的；|e|>β时，g(e) 饱和。

滑模控制率采用等效控制（u_eq）加切换控制（u_c）的方式。当系统进入滑 模态后，有

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{S}=\stackrel{··}{e}+K_p\stackrel{·}{e}+K_{I}g\left(e\right)\\ =\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}-{\mathrm{bu}}_{\mathrm{eq}}+K_p\stackrel{·}{e}}+K_{I}g\left(e\right)=0\end{array}\right)---\left(18\right)$

所以等效控制为：

$u_{\mathrm{eq}}=\frac{{\theta }_m^{*}}{b}+\frac{K_p}{b}\stackrel{·}{e}+\frac{K_I}{b}g\left(e\right)---\left(19\right)$

取切换控制函数为：

$u_c=\frac{\eta }{b}\mathrm{sat}\left(\frac{s}{v}\right)---\left(20\right)$

式中，sat(.)为饱和函数；η>0为切换控制增益；ν>0为一个常量。

所以滑动模态控制的控制律为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{SMC}}=u_{\mathrm{eq}}+u_c\\ =\frac{\stackrel{··}{{\theta }_m^{*}}}{b}+\frac{K_p}{b}\stackrel{·}{e}+\frac{K_I}{b}g\left(e\right)+\frac{\eta }{b}\mathrm{sat}\left(\frac{s}{v}\right)\end{array}\right)---\left(21\right)$

步骤3，迭代学习控制方法

1）迭代学习的原理

在转台处于振动模式时，其给定为周期信号，为了降低转台周期运动中的 动态误差，实现对周期给定信号的完全跟踪，本发明引入并研究了迭代学习控 制（Iterative Learning Control，ILC）方法。

迭代学习控制是一种能完全跟踪期望轨迹的控制理论，它本质上是前馈控 制，属于智能控制的一个分支。它适用于具有重复运动的被控对象，通过对被 控对象进行控制尝试，以输出信号与给定信号的偏差修正不理想的控制信号， 使得系统的跟随性能得以提高。

2）迭代学习控制器设计

系统中，将转台摩擦简化为粘性摩擦，有T_f=σω_m，将其代入公式（11）， 可得到系统简化状态方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{\sigma }{J}{\omega }_m\\ {\omega }_m\end{array}\right)---\left(22\right)$

式中σ＞0为粘滞摩擦系数。输出方程为：

y=θ_m          （23）

令x=[ω_m θ_m]^T，则有：

$\stackrel{·}{x}=\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\omega }_m}\\ \stackrel{·}{{\theta }_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}{u}_i-\frac{1}{J}{\mathrm{\sigma \omega }}_m\\ {\omega }_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sigma }{J}& 0\\ 1& 0\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}\\ 0\end{array}\right)u---\left(24\right)$

令：

$A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sigma }{J}& 0\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}\frac{n_p{\psi }_r}{J}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$

则系统表示为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{x\left(t\right)}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bu}\\ y=\mathrm{Cx}\end{array}\right)---\left(25\right)$

从上面可以看到，该系统中CB=0，为非正则系统。在转台系统中，位置为 数字信号，所以如果使用高阶学习律可能会引入较大的噪声。为此，本发明中， 采用闭环PD型学习律：

$u_{k+1}\left(t\right)=u_k\left(t\right)+{\mathrm{Le}}_{k+1}\left(t\right)+\stackrel{·}{{\mathrm{\Gamma e}}_{k+1}}\left(t\right)---\left(26\right)$

当转台系统作周期振动时，设其周期为T，第k个周期的状态为xk(t)， t∈[0，T]由于转台为连续周期运动，所以第k+1个周期的初始状态也就是第k 个周期的末状态，即有：

x_k+1(0)=x_k(T)        （27）

易知该初始条件相对于期望轨迹的初始条件可能会偏移较大距离，为此在 学习律中引入遗忘因子，增强系统的鲁棒收敛性。所以学习律为：

$u_{k+1}\left(t\right)=(1-\alpha )u_k\left(t\right)+{\mathrm{Le}}_{k+1}\left(t\right)+\stackrel{·}{{\mathrm{\Gamma e}}_{k+1}}\left(t\right)---\left(28\right)$

式中α∈(0，1)，u_k(t)表示第k个周期的控制输出量，e_k(t)表示第k个周期的误 差，由于转台每个轴的控制系统均为单输入单输出系统，所以L，Γ∈R。

步骤4，基于迭代学习的滑模控制系统设计

由步骤2和步骤3的内容可知，迭代学习控制根据当前或以前周期的误差 信息，累加构造得到控制量，使得系统能够完全跟踪给定的周期信号。当存在 周期性干扰时，迭代学习控制也能够在对误差信息进行“学习”后，找到期望 的控制补偿量从而使得系统同样能够完全跟踪给定信号。但是，对于非周期性 干扰，迭代学习控制无法通过“学习”将干扰补偿掉，并且这种干扰会累加到 控制量中，使系统跟随性变坏，甚至使得系统发散。为了增强迭代学习控制系 统对非周期干扰的鲁棒性，可以将迭代学习和具有较强鲁棒性的滑模控制方法 结合起来。复合控制中，采用迭代学习控制抑制周期干扰，采用滑模控制方法 抑制随机扰动，从而使得系统在实现完全跟踪的同时还具有较强的鲁棒性。

实际工程应用中，ILC在经过一定周期后就几乎完全跟踪上了期望轨迹，其 控制输出也近似为期望控制量，而后ILC“学习”作用就不强了，也无法通过继 续迭代学习来减少这些随机扰动引起的跟踪误差。这时，就可以停止迭代学习 了，但是随机干扰和输出误差会使得系统输出偏离期望轨迹。因此，使用SMC 来抑制随机扰动和输出误差，就可将系统输出保持为期望轨迹。综上所述，在 该复合控制中，将控制从时间上分为了两个阶段。

在系统开始周期振动时，采用带遗传因子的PD型迭代学习率，其控制输出 为：

$u_{k+1}\left(t\right)=(1-\alpha )u_k\left(t\right)+\left(\begin{array}{cc}\Gamma & L\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{e_{k+1}}\left(t\right)\\ e_{k+1}\left(t\right)\end{array}\right)---\left(29\right)$

式中t∈[0，T]，T为给定信号的周期，k表示第k个运动周期。

为了衡量每个周期的输出误差，定义变量J_k为：

$J_k=\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}_k{\left(\tau \right)}^2\mathrm{d\tau }=\frac{T_s}{T}\underset{i=0}{\overset{T/T_s}{\Sigma }}{e}_k{\left(i\right)}^2---\left(30\right)$

式中T_s为系统控制周期。可以看出，当输出误差e_k(i)减小时，J_k也同减小。设 定一个较小的限值J^*，当第K个周期满足公式（31）的条件时，第K+1个周期 开始停止迭代学习控制。

J_k≤J^*        （31）

为了使迭代学习停止时的跟踪误差足够小，根据实际工程的精度要求，取J*为 满足精度要求的最小值。。

迭代学习的停止时刻为KT，当τ=kT时，即从ILC切换为SMC时，滑模面

$\left(\begin{array}{c}S\left(t\right)=\stackrel{·}{e}+K_{p}e+K_1{\int }_{\mathrm{KT}}^{\tau }g\left[e\left(p\right)\right]\mathrm{d\rho }\\ =\left(\begin{array}{cc}1& K_p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{e}\\ e\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(32\right)$

由于此时e和为极小值，所以此时S(τ)的值也为极小，使得在切换为SMC 控制后，没有明显的到达阶段，也就是说ILC的学习过程取代了SMC的到达过 程，加快了系统响应速度。

此后切换为滑模控制，将迭代学习的控制输出u_K(t)叠加到SMC的控制输出 中，又根据步骤2的内容设计u_SMC(τ)，则控制输出为：

$\left(\begin{array}{c}u\left(\tau \right)=u_{\mathrm{SMC}}\left(\tau \right)+u_k\left(t\right)\\ =\frac{K_p}{b}\stackrel{·}{e}+\frac{K_I}{b}g\left(e\right)+\frac{\eta }{b}\mathrm{sat}\left(\frac{S}{v}\right)+u_k\left(t\right)\end{array}\right)---\left(33\right)$

式中，τ=kT+t，t∈[0，T]，k=K+1，K+2，K+3，……。

本发明所设计的控制算法在滑模控制的基础上，与迭代学习算法相结合，兼顾 了两种算法的优点，采用迭代学习控制抑制周期干扰，采用滑模控制方法抑制 随机扰动，从而使得系统在实现完全跟踪的同时还具有较强的鲁棒性。

2、实验数据分析

实验结果如图4、图5、图6、图7、图8所示，横坐标为时间，单位为秒 （s），纵坐标为幅值，单位为度（°）：

图4为频率1Hz、幅值10°时的振动曲线；

图5为频率10Hz、幅值0.1°时的振动曲线；

图6为频率20Hz、幅值0.03°时的振动曲线；

图7为频率50Hz、幅值0.005°时的振动曲线；

图8为频率1Hz、幅值10°时，带随机扰动的振动曲线；

由实验结果可以看出：

频率1Hz、幅值10°时，系统用时5.24s达到稳定，

频率10Hz、幅值0.1°时，系统用时1.65s达到稳定，

频率20Hz、幅值0.03°时，系统用时0.61s达到稳定，

频率50Hz、幅值0.005°时，系统用时0.37s达到稳定，

频率1Hz、幅值10°、带随机扰动时，系统可以在正弦波半个周期内消除 干扰，用时5.88s达到稳定。

由Matlab进行数据处理，可以得到：

振动曲线的相位误差小于1%，幅值误差小于10^-3度。因此，本发明提出一 种适用于高频率角振动转台的基于迭代学习的滑模控制方法，具有较高的跟踪 精度，提高了角振动转台的频率响应带宽，消除了随机扰动对系统的干扰，使 系统响应速度快，跟踪误差小。