双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置

摘要

双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，属于焊接机器人技术领域。该装置包括由X轴平移组件和Y轴平移组件形成的机械臂、Z轴转台、控制器、焊接电源和焊枪等；带有双曲线轨迹焊缝的工件随工件安装台受控转动，焊枪随X轴、Y轴平移组件受控移动。本发明采用独立运动的三自由度机构实现了对工件双曲线轨迹焊缝高质量焊接功能；进行焊接时，焊枪始终处于双曲线轨迹焊缝焊接点处的法线上，焊接方向为双曲线轨迹的切线方向，且该切线始终朝向预先设定某个固定方向上，焊接速度保持恒定，效率高，且制造、维修和使用成本低；由于在焊接中的每一点，焊枪与工件上的焊缝焊点均始终保持一种相对位置和姿态，因此可以达到优化的焊接效果。

说明书

技术领域

本发明属于焊接机器人技术领域，特别涉及一种双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装 置的结构设计。

背景技术

在航天、航空、船舶和石油化工等领域，大量存在各种具有双曲线弧形的设备。在设备 的生产过程中，需要将工件沿双曲线弧轨迹焊接起来。为了获得高质量的焊缝，工件焊接时 需要同时达到如下多个目标：焊接时焊枪要求始终处于平焊位置，焊枪始终竖直向下，且焊 接方向与双曲线形轨迹在该点的切线方向一致，该切线必须为水平线，焊接速度保持恒定。 目前，双曲线轨迹的焊接多采用人工焊接方式，少数也有采用6轴垂直关节型工业机器人进 行焊接。前者对工人的技术水平要求高且工人的劳动强度大、焊接效率低，焊接质量不易保 证；后者设备复杂，生产和维护成本高。

发明内容

本发明的目的是针对已有技术的不足之处，提供一种双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器 人装置，该装置可方便实现对工件双曲线轨迹焊缝的焊接，采用该装置进行焊接时，焊枪始 终处于双曲线轨迹焊缝上在焊接点处的法线，焊接方向为双曲线轨迹的切线方向，且该切线 始终朝向预先设定某个固定方向上以保证获得优化的焊接质量，焊接速度保持恒定，焊接质 量高，效率高，装置的制造、维修和使用成本低。

本发明的技术方案如下：

本发明提供的一种双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：包括机械臂、 Z轴转台、控制器、焊接电源和焊枪；所述机械臂包括依次串联起来的X轴平移组件和Y轴 平移组件；待焊工件的焊缝中心线为双曲线轨迹；

所述X轴平移组件包括第一基座、X轴电机、X轴传动机构和第一滑块；所述第一基座 与底座固接，所述X轴电机与第一基座固接，所述X轴电机的输出轴与X轴传动机构的输 入端相连，所述X轴传动机构的输出端与第一滑块相连，所述第一滑块滑动镶嵌在第一基座 上；

所述Y轴平移组件包括第二基座、Y轴电机、Y轴传动机构和第二滑块；所述第二基座 与第一滑块固接；所述Y轴电机与第二基座固接，所述Y轴电机的输出轴与Y轴传动机构 的输入端相连，所述Y轴传动机构的输出端与第二滑块相连，所述第二滑块滑动镶嵌在第二 基座上；

所述Z轴转台包括第三基座、Z轴电机、Z轴传动机构、关节轴和工件安装台；所述第 三基座与底座固接；所述Z轴电机与第三基座固接，所述Z轴电机的输出轴与Z轴传动机构 的输入端相连，所述Z轴传动机构的输出端与关节轴相连，所述关节轴活动套设在第三基座 中，所述工件安装台固定套接在关节轴上；

所述焊枪安装在第二滑块上；所述控制器通过控制线路分别与X轴电机、Y轴电机和Z 轴电机相连，控制X轴电机、Y轴电机和Z轴电机同时转动；所述控制器与焊接电源相连； 需要焊接的工件固定安装在工件安装台上；工件上具有双曲线轨迹的焊缝；

设所述第一滑块相对于第一基座的滑动方向为直线q；设所述第二滑块相对于第二基座 的滑动方向为直线s；设所述关节轴的中心线为直线u；直线q、直线s和直线u三者两两垂 直；设直线q与直线s构成平面Q₁，设工件上焊缝中心线的双曲线轨迹所在平面为平面Q₂， 平面Q₁与平面Q₂重合；

控制器控制X轴电机、Y轴电机和Z轴电机同时转动；

建立世界坐标系{C}，所述世界坐标系{C}的原点为关节轴的中心O_C，世界坐标系{C}的 横轴x_C与直线q平行，x_C轴的正方向为离开双曲线轨迹的方向，也是第一滑块相对于第一基 座滑动的正方向，世界坐标系{C}的纵轴y_C与直线s平行，y_C轴的正方向为离开双曲线轨迹 的方向，也是第二滑块相对于第二基座滑动的正方向，该世界坐标系{C}与第三基座固接；

建立双曲线坐标系{A}，所述双曲线坐标系{A}的原点为双曲线轨迹的中心O_A，双曲线坐 标系{A}的纵轴y_A与双曲线对称轴重合，双曲线坐标系{A}的横轴x_A过双曲线坐标系{A}的原 点与纵轴垂直且和双曲线在同一平面内，所述双曲线坐标系{A}与带双曲线轨迹焊缝的工件 固接；

点O_C在双曲线坐标系{A}中的坐标值为(d_x,d_y)，(d_x,d_y)为已知常量；

设焊接速度为预设值v_w，设工件绕关节轴逆时针转动角速度为ω；双曲线上任意一点坐 标(X_A，Y_A)均满足双曲线在双曲线坐标系中的轨迹方程Y_A<0，其中a>0为一 常数，b>0为一常数；设所述双曲线坐标系的x_A轴与x_C轴的夹角为θ，0≤θ≤90°；所述焊 枪的中心线与y_C轴平行，焊枪的中心线与双曲线轨迹的交点为焊点P；所述焊点P在世界坐 标系{C}中的坐标为(X_C,Y_C)；设焊枪的末端点T在世界坐标系{C}中的坐标为(X_TC,Y_TC)；β 为焊点P与关节轴中心O_C的连线与x_C轴所夹的锐角；所述焊枪的末端点T与焊点P的距离为 预设值L_a；焊枪的末端点T和焊点P沿x_C轴的速度相等，均为v₁，相对世界坐标系{C}而言； 焊枪的末端点T和焊点P沿y_C轴的速度相等，均为v₂，相对世界坐标系{C}而言；

控制器控制工件和焊枪满足下列关系：

$X_C=\frac{(a^2-b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,$

$Y_C=-\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}\cos \theta -d_x\sin \theta -d_y\cos \theta ,$

X_TC=X_C,

Y_TC=Y_C+L_a,

$\beta =\arctan \left(\frac{Y_C}{X_C}\right),$

$\omega =\frac{v_w}{\sqrt{{(M+\sqrt{X_C^2+Y_C^2}\sin \beta )}^2+{(N-\sqrt{X_C^2+Y_C^2}\cos \beta )}^2}},$

v₁=Mω，

v₂=Nω，

其中，

$M=\frac{(a^2-b^2)(b^2+a^2{\tan }^4\theta )\cos \theta }{(-a^2{\tan }^2\theta +b^2)\sqrt{-a^2{\tan }^2+b^2}}+d_x\sin \theta +d_y\cos \theta ,$

$N=\frac{(a^2+b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,$

所述θ与时间t的关系是ω的积分；在预设了初始时刻的初始角度后，可以基于上述公式通过 逐点计算方法计算得到θ与时间t的关系。

本发明所述的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：所述X轴传动机 构采用丝杠螺母传动机构、齿轮齿条传动机构、带传动机构、链条传动机构或绳传动机构。

本发明所述的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：所述Y轴传动机 构采用丝杠螺母传动机构、齿轮齿条传动机构、带传动机构、链条传动机构或绳传动机构。

本发明所述的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：所述Z轴传动机 构为减速机。

本发明所述的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：还包括送丝机， 控制器与送丝机相连，送丝机与焊枪相连。

本发明与现有技术相比，具有以下优点和突出性效果：

该装置采用独立运动的三自由度机构实现了对工件双曲线轨迹焊缝高质量焊接功能，采 用该装置进行焊接时，焊枪始终处于双曲线轨迹焊缝上在焊接点处的法线，焊接方向为双曲 线轨迹的切线方向，且该切线始终朝向预先设定某个固定方向上，焊接速度保持恒定，焊接 质量高，效率高，装置的制造、维修和使用成本低；由于在焊接中的每一点，焊枪与工件上 的焊缝焊点均始终保持一种相对位置和姿态，因此可以达到优化的高质量焊接效果；所设定 的方向可以是任意方向，例如：当双曲线轨迹处于竖直的立面上时，将焊枪保持在竖直方向 上，且焊接方向始终保持在水平方向上，从而获得平焊位置的高质量焊接效果；例如：当双 曲线轨迹处于水平面上时，将焊枪和焊接方向均同时始终保持在水平方向上，从而获得横焊 位置的高质量焊接效果。

附图说明

图1是本发明的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置的一种实施例的立体视图。

图2是图1所示实施例的正面外观图。

图3是图1所示实施例的侧视图。

图4是图1所示实施例中控制器、焊接电源、焊枪、X轴电机、Y轴电机和Z轴电机的 连接关系示意图。

图5是本发明的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置的实施例的坐标系建立情况、 各参量几何关系的原理示意图。

图6是具体计算例子中坐标系建立情况示意图，在该例中，世界坐标系的原点刚好在双 曲线坐标系的纵轴的负半轴上。

图7是微动分析原理示意图，图中，实线为当前位置，虚线为关节轴转动一个dθ角度后 的位置。P₁为当前焊点，也是当前双曲线轨迹上的最高点，焊枪的中心线位于该点处双曲线 轨迹的法线方向，P₁′为工件上的当前焊点在关节轴转动一个dθ角度后的位置，P₂为关节轴 转动一个dθ角度后的下一个焊点，该新焊点也是双曲线轨迹在下一个位置时的最高点，那一 时刻焊枪的中心线依旧位于新焊点处双曲线轨迹的法线方向。

图8、图9、图10、图11分别是通过本发明所述公式和所给逐点计算程序方法计算的一 个例子的θ、ω、X_C、Y_C、v₁、v₂分别与时间t的关系曲线。

在图1至图15中：

1－X轴平移组件，     11－第一基座，    12－X轴电机，

13－X轴传动机构，    14－第一滑块，

2－Y轴平移组件，     21－第二基座，    22－Y轴电机，

23－Y轴传动机构，    24－第二滑块，

3－Z轴转台，         31－第三基座，    32－Z轴电机，

33－关节轴，         34－工件安装台，  35－Z轴传动机构，

4－控制器，          5－焊接电源，     6－焊枪，

61－焊枪中心线，     70－工件，        71－双曲线轨迹焊缝，

8－底座，            9－送丝机，

q－第一滑块相对于第一基座的滑动方向的直线；

s－第二滑块相对于第二基座的滑动方向的直线；

u-关节轴的中心线的直线；

{C}－世界坐标系，该世界坐标系的原点O_C为关节轴的中心，横轴x_C为水平向右，纵轴 y_C为竖直向上，该世界坐标系与第三基座固接；

{A}－双曲线坐标系，该双曲线坐标系的原点O_A为双曲线轨迹的中心，纵轴y_A为双曲线 对称轴所在方向，横轴x_A过双曲线坐标系的原点与纵轴y_A垂直且与双曲线轨迹在同一平面 上，该双曲线坐标系与带双曲线轨迹的工件固接；

v_w－焊接速度，为预设值，是焊枪相对于工件的相对速度；

a－双曲线在双曲线坐标系中的轨迹方程的一个常量；

b－双曲线在双曲线坐标系中的轨迹方程的另一个常量；

(^Ad_x,^Ad_y)－双曲线轨迹的中心与关节轴的中心的距离，d为已知常量；

θ－双曲线坐标系的x_A轴与x_C轴所夹的锐角，也是带双曲线轨迹焊缝的工件随工件安装 台、关节轴绕着关节轴的中心线转动的角度（当角度为0时，双曲线坐标系的x_A轴与x_C轴平 行）；

P－当前焊点，或称为当前切点，是焊枪的中心线与工件上双曲线轨迹焊缝的交点，也 是双曲线轨迹在当前转动位置下的最大Y_C值点；

T－焊枪的末端点；

L_a－焊枪的末端点T与焊点P的距离（近似于弧长，将影响弧长），L_a为预设值；

(X_C,Y_C)－焊点P在世界坐标系{C}中的坐标值；

(X_TC,Y_TC)－焊枪的末端点T在世界坐标系{C}中的坐标值；

β－焊点P与关节轴中心O_C的连线与x_C轴所夹的锐角，在图7中，β=∠PO_Cx_C；

v₁－焊枪的末端点T和切点P沿x_C轴正方向的运动速度，相对于世界坐标系{C}而言；

v₂－焊枪的末端点T和切点P沿y_C轴正方向的运动速度，相对于世界坐标系{C}而言；

ω－带双曲线轨迹焊缝的工件绕关节轴的中心O_C逆时针转动的角速度，相对于世界坐标 系{C}而言；

v₃－工件在焊点P处的线速度，相对于世界坐标系{C}而言；

v_x、v_y－工件在焊点P处的线速度v₃分别沿x_C轴和y_C轴分解的速度，相对于世界坐标系 {C}而言；

M、N－为了简便公式书写，采用的中间变量。

具体实施方式

下面结合附图及实施例进一步详细介绍本发明的具体结构、工作原理的内容。

本发明提供的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置的一种实施例，如图1、图2、图 3和图4所示，包括机械臂、Z轴转台3、控制器4、焊接电源5和焊枪6；所述机械臂包括 依次串联起来的X轴平移组件1和Y轴平移组件2；待焊工件70的焊缝中心线为双曲线轨 迹71；

所述X轴平移组件1包括第一基座11、X轴电机12、X轴传动机构13和第一滑块14； 所述第一基座11与底座8固接，所述X轴电机12与第一基座11固接，所述X轴电机12的 输出轴与X轴传动机构13的输入端相连，所述X轴传动机构13的输出端与第一滑块14相 连，所述第一滑块14滑动镶嵌在第一基座11上；

所述Y轴平移组件2包括第二基座21、Y轴电机22、Y轴传动机构23和第二滑块24； 所述第二基座21与第一滑块14固接；所述Y轴电机22与第二基座21固接，所述Y轴电机 22的输出轴与Y轴传动机构23的输入端相连，所述Y轴传动机构23的输出端与第二滑块 24相连，所述第二滑块24滑动镶嵌在第二基座21上；

所述Z轴转台3包括第三基座31、Z轴电机32、Z轴传动机构35、关节轴33和工件安 装台34；所述第三基座31与底座8固接；所述Z轴电机32与第三基座31固接，所述Z轴 电机32的输出轴与Z轴传动机构35的输入端相连，所述Z轴传动机构35的输出端与关节 轴33相连，所述关节轴33活动套设在第三基座31中，所述工件安装台34固定套接在关节 轴33上；

所述焊枪6固定安装在第二滑块24上；所述控制器4通过控制线路分别与X轴电机12、 Y轴电机22和Z轴电机32相连，控制X轴电机12、Y轴电机22和Z轴电机32同时转动； 所述控制器4与焊接电源5相连；需要焊接的工件70固定安装在工件安装台34上；工件上 具有双曲线轨迹的焊缝71；

设所述第一滑块14相对于第一基座11的滑动方向为直线q；设所述第二滑块24相对于 第二基座21的滑动方向为直线s；设所述关节轴33的中心线为直线u；直线q、直线s和直 线u三者两两垂直；设直线q与直线s构成平面Q₁，设工件70上焊缝中心线的双曲线轨迹71 所在平面为平面Q₂，平面Q₁与平面Q₂重合；

控制器4控制X轴电机12、Y轴电机22和Z轴电机32同时转动；

如图5所示，建立世界坐标系{C}，所述世界坐标系{C}的原点为关节轴的中心O_C，世界 坐标系{C}的横轴x_C与直线q平行，x_C轴的正方向为离开双曲线轨迹71的方向，也是第一滑 块14相对于第一基座11滑动的正方向，世界坐标系{C}的纵轴y_C与直线s平行，y_C轴的正 方向为离开双曲线轨迹71的方向，也是第二滑块24相对于第二基座21滑动的正方向，该世 界坐标系{C}与第三基座固接；

建立双曲线坐标系{A}，所述双曲线坐标系{A}的原点为双曲线轨迹的中心O_A，双曲线坐 标系{A}的纵轴y_A与双曲线对称轴重合，双曲线坐标系{A}的横轴x_A过双曲线坐标系{A}的原 点与纵轴垂直且和双曲线在同一平面内，所述双曲线坐标系{A}与带双曲线轨迹焊缝的工件 固接；

点O_C在双曲线坐标系{A}中的坐标值为(d_x,d_y)，(d_x,d_y)为已知常量；一种特例是：所述 双曲线坐标系{A}的纵轴y_A经过所述关节轴的中心O_C，则点O_C在双曲线坐标系{A}中的坐标 值为(0,d_y)；图6所示为当点O_C在双曲线坐标系{A}中的纵轴y_A的负半轴上的情况；

设焊接速度为预设值v_w，设工件70绕关节轴33逆时针转动角速度为ω；双曲线上任意 一点坐标(X_A，Y_A)均满足双曲线在双曲线坐标系中的轨迹方程Y_A<0，其中 a>0为一常数，b>0为一常数；设所述双曲线坐标系的x_A轴与x_C轴的夹角为θ，0≤θ≤90°； 所述焊枪6的中心线与y_C轴平行，焊枪6的中心线与双曲线轨迹71的交点为焊点P；所述 焊点P在世界坐标系{C}中的坐标为(X_C,Y_C)；设焊枪6的末端点T在世界坐标系{C}中的坐 标为(X_TC,Y_TC)；β为焊点P与关节轴中心O_C的连线与x_C轴所夹的锐角；所述焊枪6的末端 点T与焊点P的距离为预设值L_a；焊枪6的末端点T和焊点P沿x_C轴的速度相等，均为v₁， 相对世界坐标系{C}而言；焊枪6的末端点T和焊点P沿y_C轴的速度相等，均为v₂，相对世 界坐标系{C}而言；

控制器4控制工件70和焊枪6满足下列关系：

$X_C=\frac{(a^2-b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,$

$Y_C=-\sqrt{a^2{\tan }^2\theta +b^2}\cos \theta -d_x\sin \theta -d_y\cos \theta ,$

X_TC=X_C,

Y_TC=Y_C+L_a,

$\beta =\arctan \left(\frac{Y_C}{X_C}\right),$

$\omega =\frac{v_w}{\sqrt{{(M+\sqrt{X_C^2+Y_C^2}\sin \beta )}^2+{(N-\sqrt{X_C^2+Y_C^2}\cos \beta )}^2}},$

v₁=Mω，

v₂=Nω，

其中，

$M=\frac{(a^2-b^2)(b^2+a^2{\tan }^4\theta )\cos \theta }{(-a^2{\tan }^2\theta +b^2)\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}+d_x\sin \theta +d_y\cos \theta ,$

$N=\frac{(a^2+b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,$

所述θ与时间t的关系是ω的积分；在预设了初始时刻的初始角度后，可以基于上述公式通过 逐点计算方法计算得到θ与时间t的关系。

本发明所述的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：所述X轴传动机 构13采用丝杠螺母传动机构、齿轮齿条传动机构、带传动机构、链条传动机构或绳传动机构。

图1所示实施例中，所述X轴传动机构13采用丝杠螺母传动机构。

本发明所述的双曲线轨迹定向切线恒速焊接机器人装置，其特征在于：所述Y轴传动机 构23采用丝杠螺母传动机构、齿轮齿条传动机构、带传动机构、链条传动机构或绳传动机构。

图1所示实施例中，所述Y轴传动机构23采用丝杠螺母传动机构。

图1所示实施例中，所述Z轴传动机构35为减速机。

图1所示实施例还包括送丝机9，控制器与送丝机相连，送丝机与焊枪相连。

结合图1所示实施例说明其工作原理：

最初，工件70的双曲线轨迹所在的双曲线坐标系{A}的x_A轴与水平方向重合。工作时， X轴电机12、Y轴电机22和Z轴电机32同时转动：X轴电机12转动，通过X轴传动机构 13带动第一滑块在水平方向平移；Y轴电机22转动，通过Y轴传动机构23带动第二滑块在 竖直方向平移；Z轴电机32转动，通过Z轴传动机构35带动关节轴33转动，带动工件安装 台34转动，工件70绕着关节轴33的中心线转动，双曲线轨迹焊缝71绕着关节轴33的中心 线转动。由于各参量满足一定的函数关系，因此可以保证焊点的位置始终保持在双曲线轨迹 的最高点，此外，焊枪始终位于平焊位置，即焊枪的中心线始终为双曲线轨迹在该点的法线 方向。从而获得良好的焊接质量。

公式推导过程结合图5介绍如下。

（1）目标要求：

工件上双曲线轨迹的弧段为焊接弧段，当前焊点为P，P位于上，夹角 φ=∠PO_AG∈[0°,90°]。要求当前焊点P始终在双曲线的最高点水平切线处，焊接速度恒定为 预设值v_w，焊接速度方向为双曲线在该点的水平切线方向。

（2）求解(X_A,Y_A)：

当双曲线轨迹焊缝的工件随关节轴旋转到某一个角度θ时，焊点P在双曲线坐标系{A}中 的坐标为(X_A,Y_A)。在{A}坐标系中双曲线方程为：

$\frac{{Y_A}^2}{b^2}-\frac{{X_A}^2}{a^2}=1,Y_A<0---\left(1\right)$

由双曲线坐标系{A}与世界坐标系{C}的平移和旋转关系得到：

$\left(\begin{array}{c}{X}_A=X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x\\ Y_A=-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y.\end{array}\right)---\left(2\right)$

将（2）式代入（1）式得：

$\frac{{(-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y)}^2}{b^2}-\frac{{(X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x)}^2}{a^2}=1.---\left(3\right)$

对（3）式两边对X_C微分（此时θ为常量，X_C和Y_C是变量），得：

$\frac{2}{b^2}(-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y)(-\sin \theta +\frac{{\mathrm{dY}}_C}{{\mathrm{dX}}_C}\cos \theta )---\left(4\right)$

$-\frac{2}{a^2}(X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x)(\cos \theta +\frac{{\mathrm{dY}}_C}{{\mathrm{dX}}_C}\sin \theta )=0.$

整理（4）式得

$\frac{{\mathrm{dY}}_C}{{\mathrm{dX}}_C}=\frac{b^2(X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x)\cos \theta +a^2(-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y)\sin \theta }{-b^2(X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x)\sin \theta +a^2(-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y)\cos \theta }.---\left(5\right)$

由于焊接点与双曲线相切在双曲线的最高点（保证平焊位置），所以：

$\frac{{\mathrm{dY}}_C}{{\mathrm{dX}}_C}=0.---\left(6\right)$

将（6）式代入（5）式，得

$\frac{b^2(X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x)\cos \theta +a^2(-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y)\sin \theta }{{-b}^2(X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x)\sin \theta +a^2(-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y)\cos \theta }=0.---\left(7\right)$

由（7）式知，（7）式中等号左边部分的分子项为零，即：

b²(X_Ccosθ+Y_Csinθ+d_x)cosθ+a²(-X_Csinθ+Y_Ccosθ+d_y)sinθ=0.（8）

将（2）式代入（8）式得：

b²X_Acosθ+a²Y_Asinθ=0.     （9）

联立（1）式和（9）式得关于X_A、Y_A两个未知数的二元方程组：

$\left(\begin{array}{c}\frac{{Y_A}^2}{b^2}-\frac{{X_A}^2}{a^2}=1,---\left(10a\right)\\ b^2{X}_A\cos \theta +a^2{Y}_A\sin \theta =0.---\left(10b\right)\end{array}\right)$

由（10b）式得

$X_A=\frac{a^2\sin \theta }{b^2\cos \theta }{Y}_A.---\left(11\right)$

将（11）式代入（10a）式得

$-\frac{{(-\frac{a^2\sin \theta }{b^2\cos \theta }{Y}_A)}^2}{a^2}+\frac{{Y_A}^2}{b^2}=1.---\left(12\right)$

因为Y_A<0，由（12）式得

$Y_A=-\frac{b^2}{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}.---\left(13\right)$

将（13）式代入（11）式得

$X_A=\frac{a^2\tan \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}.---\left(14\right)$

将（13）式和（14）式写到一起为：

$\left(\begin{array}{c}{X}_A=\frac{a^2\tan \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}},\\ Y_A=-\frac{b^2}{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}.\end{array}\right)---\left(15\right)$

（3）求解(X_C,Y_C)和(X_TC,Y_TC)：

当带双曲线焊缝的工件随关节轴旋转到某一个角度θ时，水平切点（当前焊点）P在世界 坐标系{C}中的坐标为(X_C,Y_C)。由公式（2）有：

$\left(\begin{array}{c}{X}_A=X_C\cos \theta +Y_C\sin \theta +d_x---\left(16a\right)\\ Y_A=-X_C\sin \theta +Y_C\cos \theta +d_y.---\left(16b\right)\end{array}\right)$

将（16a）式×sinθ+（16b）式×cosθ，得

Y_C=X_Asinθ+Y_Acosθ-d_xsinθ-d_ycosθ.（17）

将（17）式代入（16a）式得

X_A=X_Ccosθ+(X_Asinθ+Y_Acosθ-d_xsinθ-d_ycosθ)sinθ+d_x

考虑到sin²θ+cos²θ=1，整理上式得

X_C=X_Acosθ-Y_Asinθ-d_xcosθ+d_ysinθ  （18）

将（17）式和（18）式写到一起，为：

$\left(\begin{array}{c}{X}_C=X_A\cos \theta -Y_A\sin \theta -d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,\\ Y_C=X_A\sin \theta +Y_A\cos \theta -d_x\sin \theta -d_y\cos \theta .\end{array}\right)---\left(19\right)$

将（15）式代入（19）式得

$\left(\begin{array}{c}{X}_C=\left(\frac{a^2\tan \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}\right)\cos \theta -(-\frac{b^2}{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}})\sin \theta -d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,\\ Y_C=\left(\frac{a^2\tan \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}\right)\sin \theta +(-\frac{b^2}{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}})\cos \theta -d_x\sin \theta -d_y\cos \theta .\end{array}\right)$

即

$\left(\begin{array}{c}{X}_C=\frac{(a^2-b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ,\\ Y_C=-\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}\cos \theta -d_x\sin \theta -d_y\cos \theta .\end{array}\right)---\left(20\right)$

由焊枪与焊点的关系可得

$\left(\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{TC}}=X_C,\\ Y_{\mathrm{TC}}=Y_C+L_a.\end{array}\right)---\left(21\right)$

（4）求解β：

由图可知：

$\beta =\arctan \left(\frac{Y_C}{X_C}\right).---\left(22\right)$

（5）求解速度v₁、v₂、ω：

焊接速度是焊枪相对于双曲线轨迹焊缝的相对速度，在世界坐标系下可以分解为沿横轴 和纵轴方向的两个分速度。水平切点在世界坐标系下的速度就是需要求解的为

$v_w=\sqrt{{(v_1-v_x)}^2+{(v_2-v_y)}^2}.$

或写为：

$v_w^2={(v_1-v_x)}^2+{(v_2-v_y)}^2.---\left(23\right)$

其中，焊接速度v_w为预设值，是已知常量。

注意：（23）式中的速度均为代数量，即当速度方向与世界坐标系{C}中x_C轴或y_C轴相同 时为正数，相反时为负数。

（5.1）关于速度v₁

由于不论工件转动到何处，要求那一时刻的当前焊点始终与切点重合，即要求焊枪的中 心线始终经过那时刻的当前焊点（即切点），从而获得高质量的焊接效果，因此焊枪的末端点 T的x_C轴向速度v₁必须等于切点P的x_C轴向速度，即有：

$v_1=\frac{d{X}_C}{\mathrm{dt}},---\left(24\right)$

将（20）式代入（24）式中，得

$v_1=\frac{d[\frac{(a^2-b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ]}{\mathrm{dt}},$

$v_1=[(a^2-b^2)\frac{a^2{\tan }^2\theta (-\cos \theta +\sec \theta )+b^2\cos \theta }{(-a^2{\tan }^2\theta +b^2)\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}+d_x\sin \theta +d_y\cos \theta ]\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}},$

或写为：

$v_1=[\frac{(a^2-b^2)(b^2+a^2{\tan }^4\theta )\cos \theta }{(-a^2{\tan }^2\theta +b^2)\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}+d_x\sin \theta +d_y\cos \theta ]\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}},---\left(25\right)$

为了简便，令

$M=\frac{(a^2-b^2)(b^2+a^2{\tan }^4\theta )\cos \theta }{(-a^2{\tan }^2\theta +b^2)\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}+d_x\sin \theta +d_y\cos \theta .---\left(26\right)$

又因为，

$\omega =\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}},---\left(27\right)$

将（26）式和（27）式代入（25）式，得

v₁=Mω.    （28）

（5.2）关于速度v₂

此外，由于不论工件转动到何处，要求焊枪的末端点与切点的距离始终要保持恒定，以 确保焊接的电弧长度能够恒定，从而获得高质量的焊接效果。因此焊枪的末端点T的y_C轴向 速度v₂必须等于切点P的y_C轴向速度，即有：

$v_2=\frac{{\mathrm{dY}}_C}{\mathrm{dt}},---\left(29\right)$

将（20）式代入（29）式中，得

$v_2=\frac{d[-\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}\cos \theta -d_x\sin \theta -d_y\cos \theta ]}{\mathrm{dt}},$

$v_2=[\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}\sin \theta +\frac{a^2\tan \theta \sec \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ]\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}}.$

化简得

$v_2=[\frac{(a^2+b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta ]\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}}.---\left(30\right)$

为了简便，令

$N=\frac{(a^2+b^2)\sin \theta }{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta +b^2}}-d_x\cos \theta +d_y\sin \theta .---\left(31\right)$

将（27）式和（31）式代入（30）式，得

v₂=Nω.        （32）

（5.3）关于工件在焊点处的速度v_x和v_y：

由于工件在当前焊点处的速度由关节轴的转动提供，故有：

$v_x=v_3\sin \beta =-\omega \left|{\mathrm{PO}}_C\right|\sin \beta =-\omega \sqrt{X_C^2+Y_C^2}\sin \beta .---\left(33\right)$

$v_y=v_3\cos \beta =\omega \left|{\mathrm{PO}}_C\right|\cos \beta =\omega \sqrt{X_C^2+Y_C^2}\cos \beta .---\left(34\right)$

（5.4）关于关节轴的角速度ω：

将（28）式、（32）式、（33）式和（34）式代入（23）式中，得

$v_w^2={(\mathrm{M\omega }+\omega \sqrt{X_C^2+Y_C^2}\sin \beta )}^2+{(\mathrm{N\omega }-\omega \sqrt{X_C^2+Y_C^2}\cos \beta )}^2.$

整理得

$\omega =\frac{v_w}{\sqrt{{(M+\sqrt{X_C^2+Y_C^2}\sin \beta )}^2+{(N-\sqrt{X_C^2+Y_C^2}\cos \beta )}^2}}.---\left(35\right)$

或写为：

$\omega =\frac{v_w}{\sqrt{M^2+N^2+(X_C^2+Y_C^2)+2\sqrt{X_C^2+Y_C^2}(M\sin \beta -N\cos \beta )}}---\left(36\right)$

在求解出ω之后，代入到（28）、（32）即可求出速度v₁、v₂。

所述θ与时间t的关系是ω的积分；在预设了初始时刻的初始角度后，可以基于上述公式通过 逐点计算方法计算得到θ与时间t的关系。

（6）基于上述公式，利用逐点计算方法计算不同时刻的各参量值：

定义如下向量：

n为正整数，代表控制的点数；Δt为时间步长，即两相邻点之间的时间间隔；

n维向量为不同的时刻，且t(1)=0，t(i)=(i-1)·Δt，其中，i＝1,2,...,n；

n维向量为双曲线坐标系{A}的x_A轴与x_C轴所夹的锐角θ序列，分 别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为双曲线坐标系{A}的x_A轴与x_C轴所夹的锐角差 Δθ序列，且Δθ(1)=0，Δθ(j+1)=θ(j+1)-θ(j)，其中，j=1,2,...,n-1；

n维向量为焊点P在世界坐标系{C}中的x_C轴坐标值序列， 分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为焊点P在世界坐标系{C}中的y_C轴坐标值序列，分别 对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为焊枪的末端点T在世界坐标系{C}中的x_C轴 坐标值序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为焊枪的末端点T在世界坐标系{C}中的y_C轴坐标 值序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为焊点P与关节轴中心O_C的连线与x_C轴所夹的锐角序 列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为中间变量M序列，分别对应不同时刻 t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为中间变量N序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为双曲线轨迹焊缝绕关节轴中心O_C逆时针转动的角速度 ω序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为工件在焊点P处的线速度v₃在世界坐标系{C}中沿 x_C轴正方向分解速度v_x坐标值序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为工件在焊点P处的线速度v₃在世界坐标系{C}中沿 y_C轴正方向分解速度v_y坐标值序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为焊枪和焊点在世界坐标系{C}中沿x_C轴正方向线速度 v₁坐标值序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)；

n维向量为焊枪和焊点在世界坐标系{C}中沿y_C轴正方向线速度 v₂坐标值序列，分别对应不同时刻t(1),t(2),...,t(n)。

采用如下步骤进行计算：

（a）给定a、b、d、v_w、L_a；给定初始角度θ_min∈[0,90°)，给定终止角度θ_max∈(0,90°]， 且θ_max>θ_min；给定时间步长Δt；继续执行下一步；

（b）i＝1；t(1)=0；θ(1)=θ_min；Δθ(1)=0；继续执行下一步；

（c）如果i≥2，t(i)=t(i-1)+Δt，θ(i)=θ(i-1)+Δθ(i)，继续执行下一步；如果i<2， 直接执行下一步；

（d）依次按下列公式计算各参量并赋值给各向量的元素：

$X_C\left(i\right)=\frac{(a^2-b^2)\sin \theta \left(i\right)}{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta \left(i\right)+b^2}}-d_x\cos \theta \left(i\right)+d_y\sin \theta \left(i\right),$

$Y_C\left(i\right)=-\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta \left(i\right)+b^2}\cos \theta \left(i\right)-d_x\sin \theta \left(i\right)-d_y\cos \theta \left(i\right),$

X_TC(i)=X_C(i),

Y_TC(i)=Y_C(i)+L_a,

$\beta \left(i\right)=\arctan \left(\frac{Y_C\left(i\right)}{X_C\left(i\right)}\right),$

$M\left(i\right)=\frac{(a^2-b^2)(b^2+a^2{\tan }^4\theta \left(i\right))\cos \theta \left(i\right)}{(-a^2{\tan }^2\theta \left(i\right)+b^2)\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta \left(i\right)+b^2}}+d_x\sin \theta \left(i\right)+d_y\cos \theta \left(i\right),$

$N\left(i\right)=\frac{(a^2+b^2)\sin \theta \left(i\right)}{\sqrt{-a^2{\tan }^2\theta \left(i\right)+b^2}}-d_x\cos \theta \left(i\right)+d_y\sin \theta \left(i\right)$

$\omega \left(i\right)=\frac{v_w}{\sqrt{[M\left(i\right)+\sqrt{{\left[X_C\left(i\right)\right]}^2+{\left[Y_C\left(i\right)\right]}^2}\sin \beta \left(i\right){]}^2+[N\left(i\right)-\sqrt{{\left[X_C\left(i\right)\right]}^2+{\left[Y_C\left(i\right)\right]}^2}\cos \beta \left(i\right){]}^2}},$

v₁(i)=M(i)·ω(i),

v₂(i)=N(i)·ω(i),

n=i，继续执行下一步；

（e）如果θ(i)+ω(i)·Δt>θ_max，程序结束；如果θ(i)+ω(i)·Δt<=θ_max，继续执行下一步；

（f）Δθ(i+1)=ω(i)·Δt，继续执行下一步；

（g）i＝i+1，继续执行步骤（c）。

上述计算方法获得了对应在不同时刻的下列各个向量：

$\overrightarrow{t}=[t\left(1\right),t\left(2\right),...,t\left(n\right)],$$\overrightarrow{\theta }=[\theta \left(1\right),\theta \left(2\right),...,\theta \left(n\right)],$$\overrightarrow{\mathrm{\Delta \theta }}=[\mathrm{\Delta \theta }\left(2\right),\mathrm{\Delta \theta }\left(3\right),...,\mathrm{\Delta \theta }\left(n\right)],$

$\overrightarrow{X_C}=[X_C\left(1\right),X_C\left(2\right),...,X_C\left(n\right)],$$\overrightarrow{Y_C}=[Y_C\left(1\right),Y_C\left(2\right),...,Y_C\left(n\right)],$

$\overrightarrow{X_{\mathrm{TC}}}=[X_{\mathrm{TC}}\left(1\right),X_{\mathrm{TC}}\left(2\right),...,X_{\mathrm{TC}}\left(n\right)],$$\overrightarrow{Y_{\mathrm{TC}}}=[Y_{\mathrm{TC}}\left(1\right),Y_{\mathrm{TC}}\left(2\right),...,Y_{\mathrm{TC}}\left(n\right)],$

$\overrightarrow{\beta }=[\beta \left(1\right),\beta \left(2\right),...,\beta \left(n\right)],$$\overrightarrow{\omega }=[\omega \left(1\right),\omega \left(2\right),...,\omega \left(n\right)],$

$\overrightarrow{v_1}=[v_1\left(1\right),v_1\left(2\right),...,v_1\left(n\right)],$$\overrightarrow{v_2}=[v_2\left(1\right),v_2\left(2\right),...,v_2\left(n\right)].$

下面给出一组实际数据具体说明。

假设给定a=1000mm、b=1000mm、d_x=0mm、d_y=50mm、v_w=6mm/s、L_a=8mm；

给定初始角度θ_min=10°，给定终止角度θ_max=40°，给定时间步长Δt=1s。

则通过上述逐点计算方法可以计算出结果，各变量θ、ω、X_C、Y_C、v₁、v₂与时间的关 系曲线如图8、图9、图10、图11所示。部分数据值如表1所示。

表1各变量θ、ω、X_C、Y_C、v₁、v₂的计算值（节选）

该装置采用独立运动的三自由度机构实现了对工件双曲线轨迹焊缝高质量焊接功能，采 用该装置进行焊接时，焊枪始终处于双曲线轨迹焊缝上在焊接点处的法线，焊接方向为双曲 线轨迹的切线方向，且该切线始终朝向预先设定某个固定方向上，焊接速度保持恒定，焊接 质量高，效率高，装置的制造、维修和使用成本低；由于在焊接中的每一点，焊枪与工件上 的焊缝焊点均始终保持一种相对位置和姿态，因此可以达到优化的高质量焊接效果；所设定 的方向可以是任意方向，例如：当双曲线轨迹处于竖直的立面上时，将焊枪保持在竖直方向 上，且焊接方向始终保持在水平方向上，从而获得平焊位置的高质量焊接效果；例如：当双 曲线轨迹处于水平面上时，将焊枪和焊接方向均同时始终保持在水平方向上，从而获得横焊 位置的高质量焊接效果。