例谈椭圆与直线的相切问题——2014年浙江省数学高考理科第21题赏析

摘要

直线与圆锥曲线的综合问题是高中解析几何的一个重点内容，在历年高考中都是区分题的载体，比如2014年浙江省数学高考理科第21题．据了解，这个满分15分的解析几何题，全省平均分5分左右．2014年浙江省数学高考理科第21题如下：例1如图1，设椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（其中a〉b〉0），动直线2与椭圆C只有1个公共点P，且点P在第一象限．（1）已知直线f的斜率为k，用0，b，k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离最大值为a－b．看到此题，笔者的第一感觉是这个题目很常规、很普通，主要考查了直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，以及对分式的处理、基本不等式的应用等综合能力．考生经历了3年的高中数学学习，特别是高三的复习，应该具备了应对此类问题的能力．但从考生反映及阅卷情况来看，这个题目的完成情况不那么理想，值得推敲．这里笔者将自己的一些体会记录下来，与大家分享．