几何体表面两点的最短联线——从一道复习题谈起

摘要

立体几何课本中有这样一题:有一个圆锥如图（一）,它的底面半径为r,母线长为l,且l2r.在母线SA上为一点B,AB=α,求由A绕圆锥一周到B的最短距离是多少? 本题并不难解.只要把圆锥侧面沿母线 SA剪开,并展开成平面图形——扇形SAA’（如图一）.若B的对应点是SA’上的B’,则直线段AB’的长即为所求的最短距离.由余弦定理,得:|AB’|=l2+（l2-α）21/2-2l（1-α）cos 2πr/l。这里的条件l2r是保证城段AB在扇形SAA’内的前提.事实上,当l2r时,扇形SAA’的圆心角θ=2πr/lπ,因而直线段AB必须在扇形内.