用托勒密定理能求出圆内接四边形的对角线长

摘要

《数学奥林匹克中级读本(下)》(四川大学出版社出版,1991年10月第二版)一书中有这样一道例题(P75,例6): 如右图,设圆内接四边形ABCD的四边AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求对角线AC和BD的长(要求用a,b,c,d来表示)。书中在用余弦定理和圆内接四边形内对角之和为180°求出了两对角线之长后,有如下说明:“这例题用托勒密定理是不能求出圆内接四边形对角线的长。”然而我们说这说明是不正确的,用托勒密定理同样也能求出圆内接四边形的对角线长,现具体推理如下: 解法一:在弧ADC上取点M,使AM=CD=c,连MC,则△AMC≌△CDA(边、角、边),从而MC=AD=d,对圆内接四边形ABCD及