一道竞赛题的挖掘联想与推广

摘要

@@　　第三届“希望杯”全国数学邀请赛高一年级第二试第9题为：rn　　已知锐角α,β满足条件(sin4α)/(cos2β)+(cos4α)/(sin2β)=1，下列结论中正确的是(　　).rn　　A.α+β>(π)/(2)　　　　　B.α+β<(π)/(2)rn　　C.α+β≠(π)/(2)　　　　　D.α+β=(π)/(2)rn　　这是一个很好的试题，因为它不但有深刻的背景，同时又有非常多的解法，而且各具特色，妙趣横生，并且可以进一步联想、推广，探索出一系列有趣的试题.rn1　“背景”的挖掘与全方位的解法rn　　在高一代数三角恒等式证明中会遇到这样一道题：rn　　已知(sin4α)/(sin2β)+(cos4α)/(cos2β)=1,求证：(sin4β)/(sin2α)+(cos4β)/(cos2α)=1.rn　　事实上，上题就是原竞赛题的“背景”.这是因为上题只需证明“sin2α=sin2β(或cos2α=cos2β)”即可.而在赛题中则只需证得“sin2α=cos2β(或cos2α=sin2β)”.又因α，β为锐角，则sinα=cosβ，立得α+β=90°，故应选D.rn　　本文笔者试图从不同的角度给出该竞赛题的简捷优美的证明方法，这些方法多用构造的思想从几个方面去探索，思路新颖巧妙，给人以美的享受.rn　　证法1　由已知等式去分母即得rnrnsin4α*sin2β+cos2β*cos4α=cos2β*sin2β,rn即　sin4α(1-cos2β)+cos2β(1-sin2α)2=cos2β(1-cos2β),rn移项整理得rnrn(sin2α-cos2β)2=0,rnrn　　∴rnsin2α=cos2β,rn即rnsinα=cosβ,rnrn　　∴rnα+β=(π)/(2)(因α,β为锐角).