一道国际最佳数学征解题的简证

摘要

文[1]中题124:设在△ABC内,sin2A+sin2B+sin2C=1.求证:其外接圆与九点圆正交.本文介绍这道题的一种简单证法.证明　△ABC的外心、垂心、半径、九点圆圆心、半径分别记作O、H、R、O9、R9,○.O∩○.O9=M.要证明○.O与○.O9正交,只要证明R29+R2=O9O2,[2]∵　OM=R,O9M=R9=12R,[3]∴　　　R29+R2=54R2.又　　　O9O=12OH,[3]OH2=9R2-(a2+b2+c2),[4](书[3]误(排)印为OH2=R2-4Rr)∴　O9O2=14OH2=94R2-14(a2+b2+c2).已知　sin2A+sin2B+sin2C=1,即　　　a2+b2+c2=4R2,∴　O9O2=94R2-R2=54R2,∴　R29+R2=O9O2,则∠O9MO=90°,即OM⊥O9M,OM、O9M分别为○.O9、○.O的切线.故○.O与○.O9正交一道国际最佳数学征解题的简证!422600$湖南省绥宁一中@黄汉生1　陈湘能等译 .国际最佳数学征解问题分析 .长沙 :湖南科学技术出版社 ,1 983 2　肖光基 .初等数学研究丛书 .解析几何 .成都 :...