缩小参数范围 减少分类次数

摘要

最近我做了这样一道题 :例 1　ｆ(ｘ) =ｌｏｇａ[( 1ａ - 2 )ｘ+ 1]在区间[1,2 ]上恒为正 ,求实数ａ的取值范围 .由于本题中真数含有变量 ,因此要对参数进行多次分类讨论 :(Ⅰ ) 0 <ａ <1时 ,设ｔ(ｘ) =( 1ａ - 2 )ｘ + 1.( 1) 0 <ａ<12 ,ｔ(ｘ)、ｆ(ｘ)在 [1,2 ]上分别单调递增和递减 ,∴　ｔ( 1) =( 1ａ - 2 ) × 1+ 1>0ｆ( 1) =ｌｏｇａ[( 1ａ - 2 )× 1+ 1] >0 　　　　ａ>12 .此时无解 .( 2 )ａ =12 时 ,ｆ(ｘ) =0 ,也不合题意 .( 3) 12 <ａ <1时 ,ｔ(ｘ)、ｆ(ｘ)在 [1,2 ]上分别单调递减和递增 ,∴　ｔ( 2 ) =( 1ａ - 2 ) × 2 + 1>0ｆ( 1) =ｌｏｇａ[( 1ａ - 2 ) × 1+ 1] >0 　　　　 0 <ａ <23,∴　　　　 12 <ａ <23.(Ⅱ )ａ >1时 ,ｔ(ｘ)、ｆ(ｘ)在区间 [1,2 ]上分别单调递减和递增 ,∴　ｔ( 2 ) =( 1ａ - 2 )× 2 + 1>0 ,ｆ( 1) =ｌｏｇａ[( 1...