对一道错误几何命题的剖析

摘要

“凡内接于正方形的平行四边形是矩形”.笔者认为,这是一道错误的几何命题.谓之错,是因为此题在题设下题断的普遍性是不可靠的.亦即内接于正方形的平行四边形可非为矩形.下面不妨就一般情形下举出反例.在正方形ABCD中,内接一个四边形PQRS,使P、R两点分别位于正方形ABCD的相对两边AB、DC的中点,在边AD上任取一点S(但S点不允许为AD之中点).连接PS,过R点作RQ∥SP.设交边BC于Q点,分别连接PQ、SR,我们只证明四边形PQRS是平行四边形,但不是矩形,即能推翻这道错误的几何命题.证明:(见上图)因AB∥DC(已知)PS∥RQ(所作)故∠APS=∠CRQ(二角的两边分别同向平行,则此二角 相等)而AP=RC(皆为正方形边长之半)