有心圆锥曲线的一个性质的推广

摘要

1引言文[1]给出了有心圆锥曲线22ax2±by2=1上一点P,PP'为曲线的直径,点Q为过P点切线与x轴的交点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,P'M,P'N分别交x轴于M0,N0,则总有OM0=ON0.文[1]未指出:文中的性质能够推广到更一般的情形吗?回答是肯定的,我们有:推广设P为有心圆锥曲线22xa2±by2=1上一点,PP'为曲线直径,点Q为过P点切线上任意一点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,直线QO交P'M,P'N分别于M0,N0,则总有OM0=ON0.2推广的证明分两种情况(1)当曲线为22ax2+by2=1时,如右图.设P(a cosθ,bsinθ),则P'(?a cosθ,?b sinθ),过P点的切线方程为:cos x sin y1a bθ+θ=.设M(a cos?1,bsin?1),N(a cos?2,bsin?2),∴2121(sin sin)MN(cos cos)k=ab??????cot212ba=??+?.∴MN的方程为:y?b sin?1M0y Q M P O x N N0P'21=?ba cot?2+?(x?acos?1)∴212121coscot22sin2y bxba...