涉及高观点的中学数学问题解决研究

摘要

问题解决一直是国际数学教育研究的一个热点。随着现代认知心理学对问题解决的研究与具体学科的结合日益紧密，运用认知心理学来研究数学领域的高级认知活动，已成为数学教育研究的发展趋势之一。对于频繁出现在近年数学高考中的一类新题型——高观点题，由于其在形式、内容上具有一定衔接高等数学与中学数学的特征，已受到国内研究者的普遍关注。本文结合已有的研究成果，在对高观点题进行分类的基础上，编拟符号高观点、知识内容高观点、理解水平高观点三类相关试题，分别在三所层次不同的学校的高三年段开展实验。一方面通过数据收集，从量化角度直观反映高中生解决这三类问题的困难程度，另一方面通过访谈，运用专家——新手的比较研究方法，从问题表征、问题解决两大环节来分析学生的困难原因。并根据研究所得结果，提出相应的教学意见。 本文共分为四部分：第一部分概述问题解决与认知心理学研究的背景，以及高观点下中学数学问题解决研究的现状。第二部分在对高观点题进行分类的基础上，介绍本研究的相关理论支持。第三部分开展实验研究，并对结果进行深入分析。第四部分对实验结果进行总结，并给出相应的教学意见。同时提出本研究的不足及有待进一步研究的问题。 2006年秋季开始，福建省正式进入新一轮中学数学教育改革阶段，即实施高中新课程标准。新课程与以往的高中数学课程相比，在内容编排方面有了较大的变更，新增了大量与高等数学密切联系的知识内容。相对应，在数学高考命题方面，一类具有衔接高等数学与中学数学作用的新题型——高观点题，越来越受到命题者的青睐，频繁地出现在近些年的数学高考题中，因而得到了国内学者们尤其是一线教师的普遍关注。但研究成果多局限于题型归纳和如何解题方面，对学生心理方面的探讨似乎不多。本人试图借用认知心理学的工具来分析学生解决这类高观点题的思维过程，从而探索其困难成因。 本论文共分为四部分： 第一部分绪论，包括以下三个方面内容： 1、课题背景 高等数学与中学数学的衔接问题在高中数学新课改与高考命题两大领域上已逐渐凸显其重要性。中学生在解决一类涉及高等数学和中学数学衔接的问题上，认知状态如何，困难在哪，都成为教育工作者关心的问题。 2、研究综述 此部分对问题解决与认知心理学，以及高观点下的中学数学研究的起源、发展、现状进行了大致的概述。 3、问题的提出与本文的主要工作在研究综述的基础上，提出本文的主要工作——借用认知心理学的工具来分析学生解决一类涉及高观点的中学数学问题的思维过程，从而探索其困难成因。 第二部分是理论研究，包括以下四个方面的内容： 1、“高观点下中学数学”的内涵在提出初等数学、经典高等数学、现代数学以及中学数学的划分的基础上，给出“高观点下中学数学”的界定。笔者认为“高观点下的中学数学研究”应包括教和学两方面。教的方面主要指的是高等数学与中学数学知识形态之间联系的研究，学的方面主要指的是学生在学习这类涉及“高观点”的中学数学问题的认知发展及学习心理方面的研究。 2、高观点题的界定及分类所谓高观点题是指一些与高等数学相联系的数学问题，这种联系大致包括形式上、知识内容、数学思想方法及理解水平方面的。并就上述四个维度对近年来出现的一些高观点题目分为：符号高观点、知识内容高观点、解决方法高观点、理解水平高观点四类题型。 3、高观点题的问题特性分析从接受性、障碍性、探究性三个维度进行详细地阐述高观点题的问题特性。 4、相关理论支持高观点下中学数学问题解决的研究涉及教育学和心理学的相关理论。包括“初等化”、认知学习及皮亚杰．(J.Piaget)的儿童智力发展三个理论。初等化理论为如何根据中学数学课程的内容与实际情况编制这类问题提供了方向；认知学习理论是分析学生在解决这类问题时思维发生过程的主要依据；皮亚杰的儿童智力发展理论则是为选取的这类问题的难易程度符合中学生的认知水平提供参考依据。这三个理论为研究的可能性、可行性、合理性奠定了理论基础。三者相互联系、相互作用，辩证统一于研究的实践中，为研究提供了必要的指导思想。 第三部分是高观点下中学数学解题心理实验，包括以下三个方面： 1、研究目的 随着认知心理学的发展，其研究与数学教学的关系日益紧密，认知心理学家对数学中的解决问题的过程有着浓厚的兴趣，他们希望从心理学的角度来回答有关学习、思维、智力等问题。同时数学教育学家也越来越对认知心理学产生兴趣，希望借此工具探究隐藏在学生解题行为背后的思维是如何开展的。对此，国内外关于数学问题解决的研究已取得了累累硕果。近年频繁出现在高考中的一类新题型——高观点题，也已受到国内学者们尤其是一线教师的普遍关注。但研究成果多局限于题型归纳和如何解题方面，对学生心理方面的探讨似乎还未见到。本人试图借用认知心理学的工具来分析学生解决这类高观点题的思维过程，从而探索其困难成因。希望得到的研究成果能给数学教学实践一点启发。 2、实验设计说明： 认知心理学常采用专家一新手的比较研究来帮助我们确认构成某一特定领域专业的认知成分及操作状态。对于本实验，在解决这类高观点题的过程中，学生到底是如何进行思考的，仅从量化的结果上分析，我们尚不清楚。如果直接观察非成功生的解题，并不能精确指出他们的障碍所在，因此运用专家一新手的比较研究来比较成功生与非成功生认知过程的差异，有助于我们更准确的把握学生思维上的困难。在对高观点题进行分类的基础上，编拟符号高观点、知识内容高观点、理解水平高观点三类相关试题，分别在三所层次不同的学校——福州三中、福州十一中、福州金桥中学的高三年段开展实验。一方面通过数据收集，从量化角度直观反映高中生解决这三类问题的困难程度，另一方面通过访谈，运用专家——新手的比较研究方法，从问题表征、问题解决两大环节来分析学生的困难原因。 3、实验方法 本实验采用质化研究和量化研究相结合的方法。重点是质化研究。这是一种以收集和解释描述性资料为主的教育科研方法，是与量化研究相对的研究范式。是以研究者本人作为研究工具，通过观察、访谈和文件分析对研究现象进行深入的整体性探究，从原始资料中形成结论和理论，通过与研究对象互动，对其行为和意义建构获得解释性理解的一种研究活动。 4、实验量化研究结果福州三中、福州十一中、福州金桥三所学校的被试学生解决三组题型的困难程度逐级递增，从直观上反映题目具有一定的区分度。同时研究发现，三所学校的被试学生对符号题组的把握都存在较大的困难，其测试难度系数均低于0.5，而对于后两组题型，一类校学生解决的较好，二、三类学校的学生难度系数均在0.5左右徘徊。从整体上考虑，三所学校的学生解决这三组题型，均存在一定程度的困难。 5、实验质化研究结果(1)关于符号高观点题组的研究发现： 成功生： ①在问题转化方面，对于仅具有描述性特征的符号形式，能正确地进行转化。而对于本身蕴含某些运算规律的较为复杂的符号形式，虽转化时间较长，但基本都能正确描述其含义。 ②大部分的成功生在内部整合上能明确已知与未知条件间的联系，在外部整合方面也能很好地与原有知识进行联系，使新信息顺利嵌入原有认知结构。由于以抽象符号形式为主的新信息与同化它的原有观念间的可辨别程度较低，使得部分成功生在外部整合时，没能成功激活相应的认知结构，但经提示，均表示理解。 非成功生： ①在问题转化方面，对于仅具有描述特征的符号形式的题目，非成功生能正确地对符号形式进行描述。而对于较为复杂的，如蕴含某些运算规则的符号题型，非成功生转化时间长，存在较大障碍。主要反映在难以区分本质信息与无关信息。②内部整合方面表现出在对符号形式的运算方面，理解上存在障碍，反映出对数学符号概念“对象性”特征上的把握存在困难。外部整合方面，难以建立与原有知识的联系，在建立新的认知结构与旧的认知结构之间的连线即模式的迁移上存在困难，反映其认知结构原有观念的不稳定性。 (3)关于理解水平高观点题组的研究发现成功生： ①在问题转化上表现出对函数方程所确定的函数性质有正确完整的认识。 ②在问题整合方面，明确概念具有的整体特征，并能借助构造特例来探究整体隐含的其它性质。 ③在解题计划上，目标明确，能借助特例进行猜想整体特征，并能采用适当有效的解题策略建立解题步骤。 非成功生： ①在问题转化上表现出对函数方程所确定的函数性质的理解停留在单纯的形式记忆上，存在机械学习的现状。 ②在问题整合方面，对函数方程所代表的一类函数的“整体性”特征认识不到位，缺乏通过特例研究整体的能力。 ③难以从现有提供的条件信息推演出隐含性质，反映出“组合学习”能力的薄弱。 ④原有认知结构中相关观念具有不清晰性⑤原有认知结构中缺乏相应的策略经验。 ⑥原有认知网络结构中缺乏稳定灵活的“产生式”。 第四部分对实验结果进行总结，给出相应的教学意见，并提出本实验的不足及有待进一步研究的问题。

目录

声明

摘要

中文文摘

第1章绪论

1.1课题背景

1.2研究综述

1.3问题的提出与本文主要工作

第2章涉及高观点的中学数学问题及其分类研究

2.1“高观点下中学数学”的内涵

2.2高观点题的界定及分类

2.3高观点题的问题特性分析

2.4相关理论支持

第3章高观点下中学数学解题心理实验

3.1研究目的

3.2研究设计及说明

3.3结果与分析

第4章结论与建议

4.1量化研究结果

4.2质化研究结果

4.3对教学实践的几点建议

4.4本研究的不足

4.5有待进一步研究的问题

附录

参考文献

攻读学位期间承担的科研任务与主要成果

致谢

个人简历