无单元Galerkin方法的理论及其在流体问题中的应用

摘要

无网格方法是近年来迅速发展起来的一种基于节点而不是网格的新型数值方法，是当前数值方法研究的热点之一。众所周知，无网格方法的数学理论并不完善，这在一定程度上限制了其发展与应用。　　本文针对无单元 Galerkin 方法求解二阶椭圆混合边值问题和不可压缩流体问题进行了理论分析和数值应用，具体研究工作如下：　　首先，研究了求解二阶椭圆混合边值问题的无单元 Galerkin 方法的先验近似估计。通过使用罚方法施加 Dirichlet 边界条件，严格论证了加罚二阶椭圆混合边值问题对应的 Galerkin 变分问题解的存在唯一性。基于移动最小二乘近似在Sobolev空间的误差估计，研究了二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法的1H 和L2误差估计。误差结果表明，未知变量的H1和L2误差估计与基函数的选取,节点间距和罚因子相关。　　其次，研究了定常Stokes问题与加罚定常Stokes问题的先验近似估计，证明了加罚定常Stokes问题对应的Galerkin变分问题解的存在唯一性，并论证了加罚定常Stokes问题的非标准无单元Galerkin方法离散解的存在唯一性。同样地，借助移动最小二乘近似的误差估计，分析了速度和压力的误差估计。误差结果表明，速度和压力的误差估计与基函数的选取，节点间距和罚因子相关。　　然后，借鉴广义有限元方法(Generalized Finite Element Method, GFEM)的基本思想，发展了广义无单元Glerkin(Generalized Element-Free Galerkin, GEFG)方法,并求解了定常 Stokes 问题。对比分析表明，在变分多尺度的框架中，GEFG 与变分多尺度无单元Glerkin(Variational Multiscale Element-Free Galerkin, VMEFG)方法是相似的，但在实际问题中前者更合理，并且前者的离散形式更简单、更直接。数值实验显示，该方法具有较高的计算效率和精度。　　最后，发展了插值型变分多尺度无单元Galerkin(Variational Multiscale Interpolating Element-Free Galerkin, VMIEFG)方法，并求解了Darcy-Forchheimer模型和广义Oseen问题。该方法分别选择了插值移动最小二乘方法和移动Kriging插值(Moving Kriging Interpolation, MKI)来构造无网格形函数。该方法的基本思想是速度及其权函数可分解为粗尺度和细尺度。通过解析地求解细尺度问题，稳定化参数可以自然地出现。VMIEFG 方法允许速度和压力选取等阶基函数，即标准无单元 Galerkin 方法可以使用，从而编程很容易实现。数值实验表明，该方法具有很好的稳定性和数值精度。

目录

1绪 论

1.1 引言

1.2无网格方法在流体力学中的进展

1.2.1基于强配点的无网格方法

1.2.2 基于全局Galerkin弱式的无网格方法

1.2.3 基于全局Petrov-Galerkin弱式的无网格方法

1.2.4 基于BIE、LSM和MWS的无网格方法

1.3 无网格方法数学理论的进展

1.4 无网格方法的优势和不足

1.5 本文的主要工作

2 预备知识

2.1 引言

2.2 Sobolev空间

2.3 移动最小二乘近似的基本原理和误差估计

2.4 无单元Galekrin方法的数值积分方案

2.5 无网格方法中Dirichlet边界条件的处理

2.6 本章小结

3 二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法

3.1 引言

3.2 二阶椭圆混合边值问题

3.3 加罚二阶椭圆混合边值问题

3.4 无单元Galerkin方法

3.4.1 误差估计

3.4.2 数值实验

3.5 本章小结

4 定常Stokes问题的非标准无单元Galerkin方法

4.1 引言

4.2 定常Stokes问题

4.3 加罚定常Stokes问题

4.4 非标准无单元Galerkin方法

4.4.1误差估计

4.4.2数值实验

4.5 本章小结

5 定常Stokes问题的广义无单元Galerkin方法

5.1 引言

5.2广义无单元Galerkin方法的试函数

5.3 定常Stokes问题的广义无单元Galerkin方法

5.4 GEFG方法和VMEFG方法的联系

5.5 数值实验

5.6本章小结

6 插值型变分多尺度无单元Galerkin方法

6.1 引言

6.2 Darcy-Forchheimer模型

6.2.1插值移动最小二乘方法

6.2.2 Darcy-Forchheimer模型的变分形式

6.2.3 多尺度分解

6.2.4 求解线性化细尺度问题

6.2.5 求解粗细度问题

6.2.6 通量边界条件的处理

6.2.7 离散化和数值实现

6.2.8 数值实验

6.3 广义Oseen问题

6.3.1 移动Kriging插值方法

6.3.2 广义Oseen问题的变分形式

6.3.3 多尺度分解

6.3.4 求解细尺度问题

6.3.5 求解粗尺度问题

6.3.6 离散化和数值实现

6.3.7 数值实验

6.4 本章小结

7 总结与展望

7.1 总结

7.2 展望

参考文献

附录

A 作者在攻读博士学位期间发表的论文目录

B 作者在攻读博士学位期间已投稿和正在准备的论文目录

C学位论文数据集

致谢

声明