两种新的基于聚类的代数多重网格方法及应用

摘要

在过去的二十年里，代数多重网格技术应用于大型线性方程组系统的求解得到蓬勃的发展，通常这些大型方程组来源于我们遇到的实际工程问题产生的偏微分方程的离散，当然离散的方法有多种，如有限元法，有限体积法，有限差分法等。而对于很多实际工程计算中的有重要价值的具体问题，如多尺度，多介质和复杂求解区域问题，AMG基本是最受欢迎的迭代方法。
　　而代数多重网格方法的主要原理即是在普通平滑算子执行之后，致力于消除代数光滑误差。主要通过粗网格校正过程来实现，所以粗网格和插值与限制算子的构造很重要。因此，很多的新的方法的提出都是在提升插值精度上做文章。
　　而平滑聚类多重网格方法（SA法）则是代数多重网格方法(AMG)中的一类，他的粗化过程不同于传统的经典代数多重网格方法(C-AMG)。如今对许多问题SA法是非常流行和高效的，无论作为直接的迭代解法或是为Krylov-子空间法做预条件。
　　在本文中，先是对Krylov-子空间方法进行了粗略的一些简介和分类，也粗略介绍了Krylov-子空间预条件等知识。然后对代数多重网格方法中的SA法则进行详细的整合和介绍。我们提出了两种新的SA方法均是基于方法中聚类算法的改进，而这两种新的方法应用于实际问题时，都有着更好的表现，比如求解亥姆霍兹方程。

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第一章 绪论

1.1 课题研究背景及基础

1.2 本文的主要贡献

1.3 本文的内容安排

第二章 基础知识介绍

2.1 Krylov-子空间方法以及预条件简介

2.2代数多重网格方法介绍

2.2.1经典多重网格方法简介

2.2.2基于平滑聚类的代数多重网格方法介绍

第三章 两种新的SA方法

第四章 数值实验

第五章 总结与后续工作

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果