基于新粗化思想的一种代数多重网格方法

摘要

代数多重网格方法（AMG）是在一般多重网格方法的思想和理论的基础上，逐步建立起来的一种求解线性代数方程组的迭代算法。它可以不需要知道所求问题的几何和物理性质，而只需利用线性方程组的系数矩阵的信息来构造出一套虚拟的网格，从而进一步应用多重网格的思想求解。相比几何多重网格而言，代数多重网格方法主要应用纯代数的多水平方法来处理矩阵方程，在很多不同种类的实际问题中在算法上表现出较好的稳健性和高效性，特别是在求解某些大规模稀疏的无结构矩阵。现在代数多重网格方法得到广泛的应用和发展，有基于单位刚度矩阵的代数多重网格方法，有基于聚类的代数多重网格方法等等许多不同的方法。
　　本文首先介绍了代数多重网格方法的详细流程，重点介绍了松弛过程，网格的粗化过程以及插值算子的构造过程。
　　本文在经典代数多重网格方法的网格粗化思想的基础上，结合基于相容松弛的网格粗化思想，提出了一种新的粗化思想。这种思想将由松弛产生的判定因子引入到经典代数多重网格方法的粗化中，将其加入到粗网格点的选取权重，从而期望得到更好的粗化。
　　本文在经典代数多重网格方法的直接插值算子的构造的基础上，提出了一种新的较为简单的插值方式。
　　最后，本文介绍了二层代数多重网格的收敛性及其相关的衡量方法。

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第一章 引言

1.1 代数多重网格方法的历史

1.2 代数多重网格的现状

1.3 本文的工作

1.4 本文的结构

第二章 经典代数多重网格方法

2.1 经典代数多重网格的预备部分

2.2 松弛过程

2.3 代数多重方法的网格粗化

2.4 插值算子的构造

2.5 本章小结

第三章 收敛性理论

3.1 第一种衡量方法

3.2 第二种衡量方法

3.3 收敛性分析

3.4 本章小结

第四章 新的代数多重网格方法

4.1 新的网格粗化思想

4.2 新的一种插值方式

4.3 数值例子

第五章 总结和展望

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果