边界blow-up的半线性椭圆型问题解的精确渐近行为

摘要

设Ω是RN(N≥1)中的有界光滑区域.本文应用Karamata正规变化理论、摄动方法并构造比较函数，得到边界blow-up的半线性椭圆型问题。
　　 △u=b(x)f(u)，z∈Ω，u｜aΩ=+∞(1.1)的解在边界附近的精确渐近行为.其中f满足(f1)f∈C1(R)，f(s)≥0，(A)s∈R，f在R上单调递增(或(f01)}f∈C1[0,∞)，f(0)=0，f在[0，∞)上单调递增);(f2)∫∞a ds/f(s)，(A)a>0:(f3)lims→+∞ f’(s)∫∞s dv/f(v)存在并记为Cf，b满足(b1)对某个α∈(0，1)，b∈Cα(-Ω)并在Ω内为正：(b2)存在k∈Λ和bo>0使得Lim d(x)→0 b(x)/k2(d(x))=b0.
　　其中，Λ表示C1(0，δ0)(δ0>0)上的满足下面条件的正的单调递增函数组成的集合
　　 Lim t→0+d/dt(k(t)/k(t))=:Ck∈[0，∞),这里K(t)=∫t0k(s)ds
　　 本文的主要结论如下：
　　 定理3.1.设f满足(f1)(或(f01))-(f3)，b满足(b1)和(b2).如果 Ck+2Cf>2，则
　　 (Ⅰ)对问题(1.1)的任一解u Lim d(x) →0 u(x)/Ф(T0K2(d(x)))=1,这里，Ф是由方程∫∞Ф(t)ds/f(s)=t，(A)t>0唯一决定，并且T0=b0/2(Ck+2Cf-2);
　　 (Ⅱ)当Cf≥l时，Ф∈NRVZ_(Cf-1)并且-Ф’=f0Ф∈NRVZ_Cf，即，存在C0i>0(I=l，2)和标准的在0处缓慢变化的函数Hi，使得Ф(t)=c0t-(Cf-1)H1(t);f(Ф(t))=c02t-CfH2(t)，Lim t→0+ln(Φ(t))/-lnt=Cf-1；lim t→0+ln(f(Φ(t)))/-lnt=Cf.