时滞Lotka-Volterra扩散系统的分支与周期解

摘要

近年来，分支问题的研究已成为动力系统中的重要研究课题之一，并在力学、物理学、化学、生物学、生态学、控制、数值计算、工程技术以及经济学和社会科学中得到广泛的应用．本文主要考虑由下面偏泛函微分方程描述的二维Lotka-Volterra，系统的周期解和分支问题． 在没有扩散影响时，以时滞丁作为分支参数，通过分析系统在正平衡点处线性化系统的特征方程，获得了正平衡点渐近稳定的充分条件以及在它周围分支出周期解的条件．另外，通过使用时滞微分方程的规范形理论和中心流形约化，获得了确定周期解Hopf分支的方向、分支周期解稳定性和周期等性质的显式算法．通过使用一个拓扑的全局存在性结果，还给出了分支周期解的全局存在性．结果表明在时滞的第二个临界值以后，系统总是存在一个非常数周期解． 当具有扩散影响和Neumann边界条件时，通过在空间齐次正平衡点处线性化系统和分析相应的特征方程，研究了正平衡点的渐近稳定性和系统存在Hopf分支的条件．另外，通过使用偏泛函微分方程的规范形理论和中心流形约化，获得了决定空间齐次周期解Hopf分支的方向、分支周期解的稳定性和周期等的显式公式．通过这一显式算法，给出了分支周期解在中心流形上轨道渐近稳定和不稳定的充分条件．同时，通过一些数值模拟验证了文中所得结论的正确性． 在具有扩散影响和Dirichlet边界条件时，首先利用隐含数定理获得了系统存在正平衡解的条件和正平衡解的渐近表达式．通过在系统唯一的正平衡解处线性化系统和分析相应的特征方程，发现在时滞等于零时该正平衡解是渐近稳定的，当时滞逐渐增大到某个临界值时该正平衡解将失去稳定性而且在该平衡解处分支出空间非齐次的周期解．随着时滞的进一步增大，在另一系列临界值处，虽然正平衡解一直处于不稳定状态，但系统仍能够在正平衡解处分支出空间非齐次的周期解．对于Hopf分支的方向和分支周期解的性质，利用偏泛函微分方程的规范形理论和中心流形约化给出了描述这些性质的显式算法．根据这一算法，发现在时滞的第一个临界值处通过Hopf分支产生的周期解在中心流形上是轨道渐近稳定的，而在其它临界值处通过Hopf分支产生的周期解在中心流形上是不稳定的．同样对于所得理论结果给予了数值验证．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

第一节 Lotka-Volterra系统的研究概况以及本文研究问题的提出

第二节 本文的主要内容介绍

第三节 预备知识

第二章二维时滞Lotka-Volterra系统的周期解

第一节 正平衡点的稳定性和局部Hopf分支的存在性

第二节 Hopf分支的规范形和分支周期解的稳定性

第三节 竞争系统周期解的全局存在性

第四节 数值模拟

第三章Neumann边界条件下的分支分析

第一节 正平衡解问题

第二节 正常数平衡解的稳定性和Hopf分支的存在性

第三节 空间非齐次周期解的存在性

第四节 空间齐次Hopf分支的性质

第五节 数值模拟

第四章Dirichlet边界条件下的分支和周期解

第一节 正平衡解的存在性

第二节 特征值问题

第三节 正平衡解的稳定性

第四节 Hopf分支的存在性和方向

第五节 分支周期解的稳定性

第六节 数值模拟

参考文献

在学期间发表论文

致谢