凸几何与离散几何中的极值问题

摘要

本文主要利用Brunn-Minkowski理论及Lp-Brunn-Minkowski理论，研究了凸几何与离散几何中的一些极值问题. 除去绪论外，全文可分为下面的三个部分 (Ⅰ)第一部分主要由第二章，第三章和第四章构成，主要内容为Brunn-Minkowski理论中的一些极值问题.在第二章中，我们主要讨论了经典的Loomis-Whitney不等式，结合E.Lutwak引进的混合体的概念，我们在John基上建立了混合体的LoomisWhitney不等式，并且把它推广到了更为一般的向量基上；在第三章中，我们主要讨论了Schneider投影问题以及E.Lutwak，D.Yang和G.Zhang给出的修正形式的Schneider投影问题.在凸体的面积测度是迷向测度的前提下，我们给出了Schneider投影问题的一个上界，并讨论了凸体的投影和截面的一些极值性质.对于修正形式的Schneider投影问题，我们就正多边形给出了肯定的回答；在第四章中，我们主要讨论了正则单形与John定理的关系，建立了正则单形的一些极值性质. (Ⅱ)第二部分主要由第五章构成，主要内容为Lp-Brunn-Minkowski理论中的一些极值问题.我们给出了最近由E.Lutwak，D.Yang和G.Zhang所建立的LpBusemann-Petty质心不等式的对偶形式，建立了对偶Lp质心体的一些极值性质，并且就Lp投影体建立了一个Brunn-Minkowski型的不等式. (Ⅲ)第三部分主要由第六章和第七章构成，主要讨论了一类离散几何问题以及给出了算术一几何平均值不等式的一个推广.在第六章中，我们引进了新的定义来描述由一个给定的凸图形内的n个点构成的面积不超过该凸图形四分之一的三角形个数的最小值，从而把A.Soifer的系列结果推广到了最优.在第七章中，我们给出了一个混合型的算术一几何平均值不等式，并且进一步得到了它的幂平均形式.

目录

文摘

英文文摘

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第一章绪论

第二章混合体与Loomis-Whitney不等式

第三章迷向面积测度与Schneider投影问题

第四章单形的一些极值性质

第五章Lp仿射等周不等式

第六章关于一类Heilbronn问题的研究

第七章关于子集的混合平均值不等式

参考文献

作者攻读博士学位期间公开发表的论文