随机微分方程数值解的渐近稳定性和有界性

摘要

随机微分方程(SDE)是描述不确定环境中动态系统变化的一类数学模型.由于方程的复杂性，SDE—般无法求出显式解.因此，寻找合适的数值解就显得尤为重要.值得指出的是，当解析解满足某种性质时，数值解是否能在相同条件下满足该种性质，是选择何种数值解方法的重要依据.本文主要研宄了SDE的三种数值方法：欧拉法(EM)，后退欧拉法(BEM)和后退弱欧拉法(WBEM)以及两种重要的渐近性质：渐近稳定性和有界性.
　　首先，我们研宄了某特定条件下，SIS传染病模型的存在唯一性以及渐近稳定性，并探讨了其各类数值解方法.在EM方法不满足正定性且BEM方法又无法很好定义的情况下，本文研宄了一种更弱的数值方法：WBEM方法.我们发现：WBEM方法由于二点分布的替换，利用其有界性的优势使得能够被很好的定义，且保持模型的正定性.我们还证明了，在同样的条件下，WBEM数值解仍保持其渐近稳定性.
　　进一步，我们将时滞项考虑进模型中，研宄了某些特定条件下，某一类随机时滞微分模型(SDDE)的渐近有界性.我们仍先探讨了使得方程的解均方有界的充分条件.同时，我们证明了在扩散项与漂移项系数均满足线性增长条件时，EM方法能够再现这一性质.然而，当减弱漂移项的条件时，我们发现EM方法不能再现有界性.为了解决这一问题，我们又证明了BEM方法可以再现SDDE的渐近均方有界性.

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第 1 章 引 言

1 .1 选题意义与背景介绍

1 .2 文献综述

1.3 本文结构

第 2 章预备知识

2 .1 随机微分方程

2 .2 随机时滞微分方程

2 .3 渐近性质

2 .4 本文研究的两类模型

第 3 章 SIS传染病模型数值解的渐近稳定性

3.1 SIS传染病模型的存在唯一性

3 .2 数值解的渐近稳定性

3 .2.1 欧拉法

3.2.2 后退欧拉法

3.2.3 后退弱欧拉法

第 4 章一类自治型随机时滞微分方程数值解的渐近有界性

4.1 一类自治型随机时滞微分方程的存在唯一性

4 .2 数值解的渐近均方有界性

4 .2.1 欧拉法

4.2 . 2 后退欧拉法

第 5 章结论与展望

5 .1 本文结论

5 .2 研究展望

参考文献

攻读硕士期间发表的论文

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