三维欧氏空间中的广义曲率中心轨迹

摘要

微分几何是一门历史悠久的学科。微积分诞生的同时就诞生了微分几何，不过这门学科的生命力至今仍然旺盛。近年来它对数学其他分支的影响越来越深刻，对于自然科学中其它学科的影响也越来越大。与此同时，这门学科从内容到方法上也在不断更新。 本文用现代微分几何的方法研究三维欧氏空间中具有某种特殊关系的两条曲线。三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论是微分几何中最基础的部分。文中第一章介绍了微分几何的发展历程，它分为三个时期：微分几何的创立时期，微分几何发展的第二时期及微分几何发展的第三时期。第二章中介绍了将要用到的基本概念和基本定理，例如切矢，主法矢，副法矢，曲线论的基本定理等等。此外，还介绍了几种特殊的曲线以及它们的性质。文中涉及了一阶常微分方程的内容，因此介绍了一阶线性常微分方程的通解公式。第三章中利用活动标架法详细研究了广义曲率中心轨迹的特征和它与原曲线在某些关系下所具有的性质，讨论了这两条曲线的基本三棱形之间存在的对应关系，以及这两条曲线能够成为特殊曲线的条件。

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文摘

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引言

第一章微分几何概述

1.1微分几何发展的历程

1.1.1微分几何的创立时期

1.1.2微分几何发展的第二时期(1826-1920)

1.1.3微分几何发展的第三时期(1920-)

第二章基本概念及基本定理

2.1基本概念

2.2曲率

2.3挠率

2.4基本定理

2.5三维欧氏空间中的几种特殊曲线

2.5.1一般螺线

2.5.2 Bertrand曲线

2.5.3 Mannheim曲线

2.6常微分方程

第三章主要结论

3.1新曲线的曲率和挠率及基本三棱形

3.2曲线的性质

第四章总结

参考文献

致谢