三维欧氏空间中的广义常角曲面

摘要

微分几何学是一门历史悠久的学科.可以这样说，微积分诞生的同时就诞生了微分几何，这门学科的生命力至今还很旺盛.近年来它对数学中其他分支的影响越来越深刻，对自然科学系的其他学科的影响也越来越大.同时，这门学科本身从内容上到方法上也在不断地更新.曲线论和曲面论是微分几何中的两大重要研究内容，其中直纹面由于具有很好的性质在曲面论中占据十分重要的地位.微分几何主要是运用了微积分和线性代数的方法研究空间的曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统.
　　三维欧氏空间中的曲面和曲线的很多性质在曲线论和曲面论中占据着十分重要的地位.受积空间和三维欧氏空间中常角曲面的启发，考虑研究三维欧氏空间中广义常角曲面的性质和例子.
　　本文对三维欧氏空间中常角曲面的概念做了推广，给出了广义常角曲面的概念，主要讨论了导线为腰曲线的广义常角曲面的性质，并给出广义常角曲面的例子，如圆柱面、圆锥面等.

目录

声明

摘要

第1章 引言

1．1 微分几何的发展史

1．2 空间曲面理论的发展

1．3 研究背景和现状

1．4 本文的主要内容和研究目的及意义

第2章 预备知识

2．1 三维欧氏空间

2．1．1 三维欧氏空间的定义

2．1．2 三维欧氏空间中的标架

2．2 三维欧氏空间中的向量的运算及Frenet公式

2．2．1 三维欧氏空间中向量的内积、外积、混合积

2．2．2 三维欧氏空间中曲线的Frenet公式

2．3 曲面的基本量

2．3．1 曲面的第一基本量

2．3．2 曲面的第二基本量

2．3．3 面上两方向的夹角

2．3．4 曲面的法曲率、主方向、主曲率、高斯曲率和平均曲率

2．4 三维欧氏空间中的直纹面

2．4．1 直纹面的定义

2．4．2 腰曲线的定义

2．4．3 直纹面的性质

2．5 积空间中的常角曲面

2．6 三维欧氏空间中的常角曲面

2．6．1 标准正交基

2．6．2 可展常角曲面

2．6．3 圆锥常角曲面

第3章 三维欧氏空间中的广义常角曲面

3．1 特定直纹面

3．2 特定直纹面的主方向和主曲率

3．3 广义常角曲面的性质

3．4 广义常角曲面的特例

第4章 总结

参考文献

致谢