矩形板自由振动问题的若干新解析解

摘要

弹性矩形板广泛应用于航天航空、桥梁结构、建筑工程和基础面板等多个领域，它在工程应用中起着重要作用，其自由振动问题的求解也一直是力学研究的重要内容。由于数学上存在困难，应用传统方法解析求解非对边简支矩形板振动问题存在着很大瓶颈。本论文将不同典型边界条件下的矩形板自由振动问题导入Hamilton对偶体系，其中矩形板包括Kirchhoff薄板（基于经典薄板振动理论）、正交各向异性薄板和Mindlin中厚板（基于中厚板振动理论），再合理利用“辛—叠加”方法（基于辛几何法与叠加法结合的求解方法）求解复杂边界条件下矩形板自由振动问题。 本文分别从各向同性矩形薄板、正交各向异性矩形薄板以及中厚矩形板的控制方程出发，以基本变量为对偶变量，将自由振动问题导入到Hamilton体系中，在辛体系下利用欧几里得空间下无法使用的分离变量、辛本征展开等手段，再合理结合辛—叠加方法得到基本解，通过基本解施加巧妙的叠加以产生原始问题的解析解。通过基本解的叠加满足原矩形板的边界条件从而获得固有频率方程，最后得到该矩形板的固有频率以及对应于固有频率的模态解。 通过大量算例对比可以发现，根据本文所发展的方法获得的解析解与一些具有较高准确性的数值解以及精细有限元分析所得的计算结果吻合得很好，并且无论矩形板的边界如何，该分析方法收敛速度都非常快，证明其具有高效、精确和通用性强等优点。本文的求解过程基于矩形板的基本方程，通过严格推导得到具有足够精度的解析解，而不需要任何试函数，因此可作为其他理论/数值方法比较的基准。对辛—叠加方法进行适当扩展，有望推广到形状和边界条件更为复杂的板的弯曲、屈曲和振动问题，获得更多新的解析解。

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