矩形板屈曲问题的若干新解析解研究

摘要

矩形板在面内受压或温升作用下容易发生屈曲而导致结构的失效，当板的厚度与另外两个方向的尺寸相比越小时，也越容易发生屈曲。传统的解析求解矩形板屈曲问题的方法常以位移为变量，通过处理高阶偏微分方程进行求解，当边界条件复杂时，这类方法往往难以运用。 本文以经典薄板理论、一阶剪切理论为基础，通过引入新的变量，将矩形板的屈曲问题导入到哈密顿体系，运用分离变量、辛本征展开等数学手段，不需处理高阶偏微分方程，因此降低了问题的求解难度。对于复杂边界，采用辛-叠加方法首先将原问题进行拆分并将原有边界进行简化（如固支边简化为简支边、自由边简化为滑支边），再通过叠加的方式强制满足原有边界条件，从而解析地得到原问题的临界屈曲载荷、屈曲模态等结果。 具体地，本文使用了辛-叠加法对单、双向载荷作用下的邻边自由(其他边为固支或简支边界)、四边自由矩形薄板的屈曲问题以及四边固支正交各向异性矩形薄板的热屈曲问题进行了求解，所得到的结果与有限元分析结果吻合的很好。通过收敛性分析，验证了辛-叠加法在求解矩形板屈曲问题时的高效性。同时，本文根据一阶剪切理论推导出了中厚板屈曲问题的哈密顿体系，并在此体系下求解了四边简支中厚板的屈曲问题且给出了具体算例。本文所使用的方法无需假定试函数，数学推导严格，因此是理性、解析的求解方法，所得结果可作为其他理论及数值方法比较的基准。将辛-叠加法进一步扩展，也可解析求解复杂边界条件下的中厚板屈曲问题。

目录

声明

1 绪论

1.1 弹性矩形板屈曲问题研究背景及求解方法

1.1.1 解析方法

1.1.2 数值方法

1.2 基于Hamilton体系的辛-叠加方法

1.2.1 弹性力学的Hamilton体系

1.2.2 辛-叠加法

1.3 本文主要研究工作

2 矩形薄板屈曲问题的解析求解

2.1 Kirchhoff薄板理论

2.1.1 Kirchhoff基本假定

2.1.2 薄板屈曲问题的基本方程

2.1.3 边界条件

2.2 矩形薄板屈曲问题Hamilton体系的导入

2.2.1 基于平衡方程的方法

2.2.2 基于变分原理的方法

2.3 邻边自由矩形薄板(CCFF)屈曲问题

2.3.1 单边加载分析

2.3.2 双边加载分析

2.3.3 收敛性分析

2.4 四边自由矩形薄板(FFFF)屈曲问题

2.4.1 典型算例分析

2.4.2 收敛性分析

2.5 本章小结

3 正交各向异性矩形薄板热屈曲的新解析解

3.1 Hamilton体系的导入

3.2 四边固支(CCCC)板的热屈曲问题

3.3 典型算例分析

3.3.1 CCCC边界板的热屈曲

3.3.2 CCCS边界板的热屈曲

3.3.3 CCSS边界板的热屈曲

3.3.4 收敛性分析

3.4 本章小结

4 矩形中厚板屈曲问题的哈密顿新解析解

4.1 中厚板Hamilton体系的导入

4.2 一阶剪切理论在中厚板屈曲问题中的应用

4.2.1 对边简支中厚板的屈曲问题

4.2.2 算例分析

4.3 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

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