Helmholtz方程外问题的区域分解算法

摘要

由冯康先生首创的自然边界归化在各种边界归化中别具一格，它与有限元和辛几何算法一并构成了冯先生的三大学术贡献.后经余德浩等人的发展，除了直接将自然边界元方法用于求解某些特殊有界区域上的边值问题以外，基于自然边界归化的区域分解算法还是处理一般的无界区域及凹角断裂区域问题的有效手段之一.前人的研究工作在二维及三维领域里取得了许多重要的研究成果，人们往往以圆或球面作为人工边界，但对于某些特殊形状的内部区域，例如椭圆或长椭球区域，用椭圆或椭球面作人工边界，则可以大大减少计算区域，进而可以减少计算量和存储量.本文主要研究Helmholtz方程外问题的区域分解算法和椭圆外区域上依赖时间问题的Dirichlet-Neumann交替算法(D-N交替算法).
　　第一章先介绍一些坐标变换、特殊函数和必需的Sobolev空间，这些内容都是后面各章节必要的理论工具.
　　第二章研究三维Helmholtz方程外问题基于自然边界归化的D-N交替算法.首先给出D-N交替算法及其等价的预处理Richardson迭代算法，然后分析该算法的收敛性，给出等价的变分形式及其离散形式，并对其离散形式进行收敛性分析，最后给出数值例子以示该方法的可行性和有效性.
　　第三章研究三维Helmholtz方程外问题基于自然边界归化的Schwarz交替算法.首先给出问题等价的变分形式，其次给出Schwarz交替算法并分析该算法的收敛性、收敛速度.最后给出数值例子验证算法的可行性和有效性.
　　第四章研究长椭球外区域上三维Helmholtz方程基于自然边界归化的D—N交替算法.首先给出所研究的问题的D-N交替算法，然后分析了该算法的收敛性.
　　第五章研究椭圆外区域上依赖于时间问题的D-N交替算法.首先对所研究的问题进行变量替换，得到相应的Helmhotz外问题，并得到椭圆外区域上问题的Poisson积分公式和自然积分方程，其次对时间离散化并用所得的自然边界归化的结果给出D-N交替算法，然后对算法的收敛性进行分析，最后给出数值算例说明该方法的可行性与有效性.

目录

声明

Contents

Abstract in English

摘要

Prefaces

Chapter 1 Preliminaries

1．1 Introduction

1．2 Prolate spheroid coordinates

1．3 Special functions

1．3．1 Legendre functions

1．3．2 Associated Legendre functions

1．3．3 Spherical harmonic functions

1．3．4 Spherical Bessel functions

1．3．5 Ellipsoid harmonic functions

1．3．6 Angular Mathieu functions and radial Mathieu functions

1．4 Sobolev spaces

1．4．1 Some important Sobolev spaces

1．4．2 Some important theorems

Chapter2 A D-N Alternating Algorithm for Solving 3-D Exterior Heimholtz Problems

2．1 Introduction

2．2 D-N alternating algorithm

2．3 Equivalent alternating method

2．4 Convergence of the algorithm

2．5 Variational problem and its diseretization

2．6 Convergence analysis of the discretization

2．7 Numerical examples

Chapter 3 The Schwarz Alternating Algorithm for Solving 3-D Exterior Helmholtz Problems

3．1 Introduction

3．2 Problem and its variational form

3．3 Schwarz alternating algorithm and its convergence

3．4 Analysis of convergence rate

3．5 Error estimates of algorithms

3．6 Numerical examples

Chapter 4 A D-N Alternating Algorithm for Helmholtz Problems in Exterior Prolate Spheroid Domains

4．1 Introduction

4．2 D-N alternating algorithm

4．3 Analysis of convergence

Chapter 5 A D-N Alternating Method for the Time-Dependent Anisotropic Problem in an Exterior Elliptic Domain

5．1 Introduction

5．2 NBR in an exterior elliptic domain

5．2．1 Transformation of variables

5．2．2 Natural boundary reduction

5．3 D-N alternating algorithm

5．3．1 Time discretization

5．3．2 D-N alternating algorithm

5．4 Convergence of algorithm

5．5 Numerical examples

Chapter 6 Conclusions and Further Work

Bibliography

Publications and Finished Papers

Acknowledgements