几类风险模型随机控制问题的研究

摘要

本篇博士学位论文研究了几类风险模型的随机控制问题.包括经典模型、带扰动的经典模型、二维复合泊松模型、更一般的风险模型——逐段决定符合Poisson风险模型的随机控制问题.全文由如下九部分组成.
　　第一章是绪论，综述了风险模型的分红与注资问题的历史背景、研究内容以及本文所做的主要工作和主要的创新点.
　　第二章研究了带扰动的经典模型的最优分红与注资问题.公司的目标为最大化破产前分红减去注资的折现期望.问题确切地阐述为一个随机控制问题.通过分析相应的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程，得到了该问题的最优分红与注资策略.最优分红策略为一边界策略，当盈余超过某一水平b时，超出的量全部进行分红.最优注资策略由最优注资上界以及最优注资下界描述.理赔为指数分布时明确地解决了该问题.
　　第三章研究了带扰动的经典模型的最优脉冲分红问题.每次分红均有比例以及固定的交易费用.公司的目标为最大化破产前的折现分红期望.通过解相应的quasi-variational inequalities(QVI)，得到了该问题的最优分红策略.进一步，在理赔为指数分布时给出了明确解.具体地，根据模型参数的不同，有两类不同的解.
　　1，当盈余到达某一合理的水平x*时，通过分红降至(x)＞0，然后过程继续发展.2，当盈余到达某一水平x*时，所有的盈余均立即分红，破产发生.
　　第四章对Belhaj做出的关于带扰动的复合Poisson模型的最优边界分红策略的结果做了延伸.根据问题的参数不同，得到两类解.1，初始资本立即分掉，破产发生.2，当盈余超过某一合理水平b*时，超过的部分完全分红，然后过程继续发展.并且还解决了该模型的带有偿付能力限制的最优分红问题.目标是最大化带偿付能力限制的累积分红的折现期望.我们知道，在某些合理的假设下，最优分红策略是边界策略，即，存在某一水平b*，一旦盈余超过b*，超过的部分全部进行分红.但是，分红界b*从偿付能力的角度可能是难以接受的低，因此需要加以限制:只有盈余达到某一水平b0＞b*时才能进行分红，在此情况下，得到b0是最优分红界.
　　第五章考虑了二维复合Poissson模型的最优分红问题.在本章中，我们首先构造了描述两类理赔相依关系的二维风险模型.公司的目标是最大化破产前的折现分红期望.问题确切地阐述为一个随机控制问题.通过解相应的HJB方程，得到了该问题的最优分红策略.最后，在理赔为指数分布时明确地解决了该问题.
　　第六章则研究了二维复合Poissson模型带注资的最优分红问题.公司的目标是最大化期望折现分红减去注资.通过解相应的HJB方程，得到了该问题的最优分红策略.在理赔为指数分布时明确地解决了该问题.
　　第七章解决了经典模型最优脉冲分红与注资问题.
　　公司的目标是最大化破产前的折现分红期望减去注资.问题的参数不同，最优注资策略不同，一种情况下不需要注资，而另一种情况需要注资.在理赔为指数分布时彻底地解决了该问题.根据不同的参数情况，具体有七种不同的解.
　　第八章讨论了带有脉冲分红的经典模型的Gerber-Shiu期望折现罚函数.推出并解得Gerber-Shiu期望折现罚函数满足的积分-微分方程.并进一步得到了破产时间的Laplace变换，破产前盈余的分布，以及破产赤字.并且，给出了分红次数的分布.
　　第九章研究了一般框架下的逐段决定复合Poisson模型的最优分红问题.目标为实现破产前分红的折现期望的最大化.在受限以及不受限两种情况下做了比较研究，在一般的逐段决定复合Poisson模型框架下我们给出了如下结果:受限分红时，值函数是相应问题HJB方程的经典解，最优策略为阀值策略.非受限分红时，最优策略为边界策略.在此情况下得到了最优策略为边界策略.理赔为指数分布时，给出了控制问题的明确解.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景介绍

1．2 模型介绍

第二章 带扰动的复合Poisson模型最优分红与注资策略

2．1 模型描述

2．2 HIB方程，验证定理，以及值函数的特征

2．2．1 值函数的性质

2．2．2 HJB方程，最优策略

2．2．3 解的特征

2．3 指数理赔时控制问题的解

第三章 带扰动的经典模型的最优脉冲分红

3．1 模型描述

3．2 动态规划原理和拟变分不等式(QVI)

3．2．1 值函数的性质

3．2．2 QVI及最优策略

3．3 指数理赔时控制问题的解

第四章 关于带扰动的复合Poisson模型分红问题的两个结论

4．1 模型描述

4．2 值函数的线性有界性

4．3 不受限时分红问题的解

4．4 受限时分红问题的解

第五章 二维风险模型的最优分红

5．1 模型描述

5．2 HJB方程，验证定理，解的刻画

5．2．1 值函数的有界性

5．2．2 HJB方程及最优策略

5．2．3 解的特征

5．3 指数理赔时控制问题的解

5．3．1 理赔同时到达时的解

5．3．2 理赔不同时到达时的解

第六章 带注资的二维风险模型的最优分红

6．1 模型描述

6．2 HJB方程，验证定理以及解的刻画

6．2．1 关于值函数的两个引理

6．2．2 HJB方程及最优策略

6．2．3 解的特征

6．3 指数理赔时控制问题的解

第七章 经典风险模型的最优脉冲分红与注资

7．1 模型描述

7．2 动态规划原理和拟变分不等式(QVI)

7．2．1 值函数的性质

7．2．2 QVI及最优策略

7．3 指数理赔时QVI的解

第八章 带有脉冲分红的经典风险模型的Gerber-Shiu期望折现罚函数

8．1 引言

8．2 积分—微分方程

8．3 m(x)的解

8．4 破产时间，破产前盈余，破产赤字

8．5 破产前的分红次数

8．5．1 特例

8．5 结论及讨论

第九章 逐段决定复合Poisson模型的最优分红问题

9．1 引言

9．2 模型描述

9．3 受限分红问题

9．3．1 值函数的性质

9．3．2 HJB方程

9．3．3 最优策略

9．3．4 指数理赔

9．4 非受限分红

9．4．1 验证定理

9．3．4 指数理赔

9．5 例子

9．5．1 Cramér-Lundberg模型

9．5．2 带利率的经典模型

9．6 结论及注记

参考文献

致谢

攻读博士期间的主要研究成果