小学数学解决问题方法多样化的研究

摘要

问题是数学科学本身的内在组成部分，解决问题方法多样化有助于学生的数学思维发展、具有重要的教育价值。我国现行义务教育数学课程标准提出了“解决问题方法多样性”的要求，数学教材和数学教学实践中也普遍存在着解决问题方法多样化教学的事实。但是10多年来，还没有见到关于数学解决问题方法多样化的系统研究，还未建立起解决问题方法多样化的相关理论。数学解决问题方法多样化教学的普遍存在与其相关研究的匮乏，形成了一个现实的矛盾。本研究尝试探索小学数学解决问题方法多样化的相关认识、考量其教学实践成效（学生在数学解决问题方法多样化方面的发展状况），为更好的实践解决问题方法多样化教学提出一些数学课程与教学的建议与对策。
　　 本研究采用文献研究法、测试调查法、学生作品分析法、统计分析法等，从定性和定量两个方面对小学数学课程与教学中的解决问题方法多样化进行探讨。由于目前还没有关于“数学问题的解决方法”以及“数学解决问题方法多样化”的明确概念，所以，研究内容主要有:
　　 (1)通过文献研究，尝试探索数学解决问题方法多样化的相关理论、形成一些初步的认识。
　　 (2)通过测试调查研究学生在解决问题方法多样化方面的认知发展，考量数学解决问题方法多样化教学的成效问题，并检验本文所获得的相关认识和结论。
　　 (3)基于这两个方面的研究，本文为如何提高解决问题方法多样化教学以及数学课程的发展提出了一些建议与对策。
　　 本研究的主要发现与结论是:
　　 “数学问题的解决方法”是指解决数学问题的具体方法，是用以解决数学问题的那些产生式系统及问题情境的内在规定性的综合体，它由两个部分构成:
　　 (1)用以解决数学问题的产生式系统（即基本数量关系的组合），这是可以显性地写在纸上的部分;
　　 (2)问题解决方法的“算理”，即问题情境对这个产生式系的内在规定性，这是隐藏在背后的部分。
　　 其中，产生式系统的直接结果就是用以获取问题解答的得数的数学算法。“数学问题的解决方法”概念包括了通常所说的“解法”（“数学解题方法”）及其背后隐含的“算理”，这是一种扩充。而“数学问题的解决方法”与“算法”是不同的概念。
　　 “数学解决问题方法多样化”是指构造多种用以解决数学问题的产生式系统。本文中“数学解决问题方法多样化”也指用多种方法解决问题来教学数学的手法。判断一个解决方法与另一个解决方法不同的依据就是两个解决方法所体现的问题情境的规定性不同，最终就体现为两种解决方法当中所体现的基本数量关系的结合方式不同，或者说是两种解决方法的数学结构不同。“数学解决问题方法多样化”与“一题多解”、“数学解决问题方法多样化”与“算法多样化”等概念并不完全等同。
　　 数学解决问题方法多样化的根源在于符合问题情境的基本数量关系的组合具有可变性，而开发多种解决方法的依据则是问题情境的内在规定性。
　　 数学解决问题方法多样化的价值和必要性。由于用多种方法解决问题的过程充满变化（变通），所以，用多种方法解决数学问题并不是一种可以自动化的技能，解决问题方法多样化对培养学生数学创造能力具有重要价值;数学解决问题方法多样化教学是必要且合理的。
　　 “学生数学解决问题方法多样化的发展”是指经过日常的数学解决问题方法多样化教学、学生所获得的对多种解决方法的理解、掌握、运用方面的发展（认知结果）。它包括学生在解决问题时能支配的解决方法的量多（多样化）和质高（对该问题整个解决方法集合的感知或认识）两个方面的综合。
　　 影响学生解决数学问题方法多样化的内部认知因素主要有:知识基础、问题的表征、数量关系组合三个方面。
　　 尝试界定的学生数学解决问题方法多样化发展的认知水平层级:
　　 水平l，不能正确解决给定的问题;
　　 水平2，能够正确解决给定的问题;
　　 水平3，能够用2种方法解决给定的问题;
　　 水平4，能够在找到的2种解决方法的基础上对这两种方法进行概括和表达它们的联系;
　　 水平5，能够用3种方法解决给定的问题。
　　 根据这个水平层级模型，本研究编制了学生解决问题方法多样化发展测试卷及相应的编码规则。
　　 测试调查研究的结果说明了，经过数学课程的学习、学生在数学解决问题方法多样化方面能够获得一定的认知发展，现行的数学解决问题方法多样化教学并非完全无效，但是效果也不是很高;学生数学解决问题方法多样化的发展在单纯算法多样化维度、数与代数领域基本数量关系多重组合维度、几何领域基本数量关系多重组合维度三个维度上的发展并不均衡;同时也验证了影响学生数学解决问题方法多样化的三个认知因素的作用，也验证了“数学问题的解决方法”概念的合理性。
　　 综合本研究的理论探索和实证研究结论，本文对小学数学课程与教学提出了这样的建议与对策:
　　 (1)数学解决问题方法多样化教学应注重学生的综合建构。
　　 (2)合理安排数学课程与教学的内容编排、引导学生数学能力发展的进程。计算技能的培养重点应放在四年级及以前;五六年级宜以代数和几何发展为要务;五六年级的教学要更注重知识内化、整体建构和对学习自我反思，促进知识内部建构。
　　 (3)基于问题情境的规定性来开发不同的解决方法。
　　 (4)重在引导学生自主开发多种解决方法。
　　 (5)重在开发新方法的过程和对多种解决方法的认识。
　　 (6)注意数学解决问题方法多样化教学的“度”。
　　 (7)从三个方面抓数学解决问题方法多样化教学:夯实知识基础、提高观察能力促问题表征、增强对多个基本数量关系的自觉跟踪和调控。
　　 本研究立图创新的地方:由于本研究是首次探索数学解决问题方法多样化的相关理论、形成一些初步的认识，辅以测查学生在解决问题方法多样化方面的认知发展，初步尝试界定“学生数学解决问题方法多样化发展的认知水平层级”和编制相应的测试卷，这些方面都是本研究的原创，具有一定的探索性。希望所获得的结论和建议能够为今后我国的小学数学课程与教学的进一步发展提供一定的参考。
　　 本研究的不足之处:
　　 (1)本研究的探索仅仅是初步的，所获得的结论也仅仅是初步的和肤浅的，还没有能够形成体系。
　　 (2)限于实际条件，本研究仅对特定区域的学生进行调查，所获得的学生数学解决问题方法多样化发展的结论、以及对小学数学课程与教学的建议，有待进行更大范围的研究验证、包括开展系列实验研究。

目录

声明

摘要

第一章 引论

1．1 研究的缘起

1．1．1 我国数学课程对“问题解决”与“用多种方法解决问题”的要求

1．1．2 关于数学解决问题方法多样化的课程教学实践与理论研究存在矛盾

1．2 研究的必要性

1．2．1 问题是数学本身的内在组成部分

1．2．2 解决问题具有重要的教育价值

1．2．3 解决问题方法多样化能够促进学生的数学思维发展

1．2．4 学生数学解决问题方法多样化发展的薄弱

1．2．5 关于学生数学解决问题方法多样化发展的研究匮乏

1．3 研究的问题

1．4 研究的目的及主要内容

1．5 研究的意义

第二章 研究的设计

2．1 确定出主要概念

2．2 确定研究的基础理论

2．3 本研究的总体规划

2．4 论文构架

2．5 研究方法

第三章 文献研究

3．1 有关数学问题解决的已有研究

3．1．1 数学问题解决的本质与过程的研究

3．1．2 数学问题表征的研究

3．1．3 数学题型研究及开放题研究

3．2 有关数学问题的解决方法的研究

3．2．1 数学问题解决策略的研究

3．2．2 数学问题的解决方法的研究

3．3 与“多解”有关的研究

3．3．1 一题多解的研究

3．3．2 关于一题多解与“算法多样化”的研究

3．3．3 变式教学研究视野中的一题多解研究

3．4 关于数学问题解决与认知发展的已有研究

3．4．1 数学问题解决的思维与数学能力发展的研究

3．4．2 关于学生认知发展测评的理论

3．5 文献研究的总结

第四章 对小学数学解决问题方法多样化的探讨

4．1 数学问题的解决方法

4．1．1 内涵

4．1．2 本质

4．1．3 数学问题的解决方法、数学方法、解题方法(解法)

4．1．4 数学问题的解决方法、计算方法

4．1．5 数学问题的解决方法的实例

4．1．6 数学问题的解决方法的构成

4．2 数学解决问题方法多样化

4．2．1 内涵

4．2．2 本质

4．2．3 数学解决问题方法多样化的依据和来源

4．2．4 数学问题的解决方法、算法

4．2．5 数学解决问题方法多样化、算法多样化

4．2．6 数学解决问题方法多样化、一题多解

4．2．7 数学解决问题方法(算法)多样化的“个体性”与“群体性”

4．2．8 数学解决问题方法多样化的教学功能

4．2．9 解读数学解决问题方法多样化的教育价值

4．2．10 数学解决问题方法多样化教学的追求

4．3 学生数学解决问题方法多样化的发展

4．3．1 内涵

4．3．2 数学解决问题方法多样化教学的合理性与必要性

4．3．3 学生数学解决问题方法多样化认知的评估

4．4 学生数学解决问题方法多样化及其发展的影响因素

4．4．1 内涵及内容

4．4．2 三个影响解决问题方法多样化的内部认知因素

4．5 数学解决问题方法多样化教学的建议

4．5．1 数学解决问题方法多样化教学应注重学生的综合建构

4．5．2 注重基于问题情境的规定性来开发不同的解决方法

4．5．3 重在引导学生自主开发多种解决方法

4．5．4 重在开发新方法的过程和对多种解决方法的认知

4．6 小结

第五章 小学生数学解决问题方法多样化认知的测试调查

5．1 研究的目的

5．2 研究的思路

5．3 研究的工具

5．3．1 界定学生数学解决问题方法多样化的认知水平层级

5．3．2 编制测试卷

5．3．3 编制测试卷编码规则

5．3．4 测试卷的试测与修订

5．3．5 测试卷的效度

5．4 研究对象

5．5 施测过程

5．6 数据编码

5．7 数据处理与分析的技术路线

5．8 本研究的测试卷的信度

5．9 研究结果

5．9．1 总体概况

5．9．2 年级与性别的比较分析

5．9．3 学生在各维度发展的比较

5．10 结论和讨论

5．10．1 研究的结论

5．10．2 讨论

5．11 本章小结

第六章 总结、建议和展望

6．1 本研究的总结

6．1．1 关于数学问题的解决方法

6．1．2 关于数学解决问题方法多样化

6．1．3 关于“学生数学解决问题方法多样化的发展”

6．1．4 关于学生数学解决问题方法多样化发展的影响因素

6．1．5 小学生数学解决问题方法多样化认知的测试调查

6．2 对小学数学解决问题方法多样化的建议与对策

6．2．1 实践数学解决问题方法多样化教学的必要性

6．2．2 提高数学解决问题方法多样化教学成效的建议与对策

6．3 对本研究的反思和展望

参考文献

附录

附录1 本次调研两县地图(图1~图2)

附录2 《4-6年级数学解决问题方法多样化发展测试卷》

附录3 测试卷编码规则(评分标准)

附录4 各题得分频率分布图(图1-图5)

附录5 各题年级均值图(图1-图5)

后记

在学期间发表的论文