一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法

摘要

本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，属于航空航天技术领域。本发明首先建立以双体小行星系统质心为中心的质心旋转坐标系，在该坐标系的基础上建立双体小行星系统中探测器的解析平面全三体动力学模型；在满足特定条件的平衡状态双体小行星系统自然捕获轨道的时候给定初始雅可比积分常数，结合以及初始位置矢量确定初始速度，获得探测器在初始时刻的状态矢量；根据近心点判断方法、逃逸判断方法与撞击判断方法对初始状态矢量区域进行划分；结合捕获轨道对捕获前后或撞击前经过近心点次数的要求，确定符合特定条件的双体小行星系统的捕获轨道初始状态矢量集合，构建全部符合特定条件的捕获轨道集合，进而构建捕获轨道。

说明书

技术领域

本发明涉及一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，尤其涉及适用于对捕获过程具有经过近心点次数约束的双体小行星系统自然捕获实现方法，属于航空航天技术领域。

背景技术

小天体富含的矿物质有可能为人类提供丰富的资源，其蕴含的有机物也将为生命起源提供直接的信息。在小行星类别中，由于双体小行星系统因其具有动力学环境与探测价值，从而成为了近些年深空探测的热点。在小题小行星探测过程中，探测器能否被成功捕获是决定任务成功与否的关键。在所有的捕获策略中，采用自然捕获的方法将有助于降低探测器燃料消耗，进而为后续任务的展开提供更多的燃料储备。

在已发展的关于探测器在双小行星系统附近自然捕获的方法中，在先技术[1](参见：赵刚.限制性三体问题中两类特殊轨道的应用研究[D].南京大学,2012.)基于圆型限制性三体模型，确定了发生自然捕获的区域即弱稳定边界并以此给出了捕获轨道的设计方法。然而，该方法忽略了主天体形状参数的影响，因此，在工程应用中缺少实用性。

在先技术[2](参见：Stephen Kemble.INTERPLANETARY MISSIONS UTILISINGCAPTURE AND ESCAPE THROUGH THE LAGRANGE POINTS[C].2003 54th InternationalAstronautical Congress of the International Astronautical Federation,theInternational Academy of Astronautics,and the International Institute ofSpace Law,Bremen,Germany,29Sept-3Oct 2003.)基于圆型限制性三体模型，利用共线平衡点附近的动力学特性实现探测器低燃耗捕获与逃逸。该方法虽然能够有效降低燃耗，但在实现过程中仍需要小推力或深空机动等辅助机动。

因此，对于探测器的自然捕获方法，在考虑双体小行星系统主天体形状参数的基础上，通过设定初始雅可比常数以及满足的特定约束，就能够全面地分析获得符合特定条件的低能量自然捕获轨道集合。从而为自然捕获轨道的设计提供精确初值，从而构造捕获轨道。其具有可重复性高，适用范围广等优点。

发明内容

本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法要解决的技术问题是，以满足特定条件约束为前提，采用稳定集的方法确定探测器在双体小行星附近实现捕获的初始参数区域，从而构建捕获轨道。本发明具有鲁棒性强、可重复性高、适用范围广、捕获能耗低的优点。所述的特定条件包括探测器被双体小行星系统捕获前后经过近心点的次数约束以及探测器能否发生主天体撞击等。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，在双体小行星处于平衡状态的基础之上，首先建立以双体小行星系统质心为中心的质心旋转坐标系，并且在该坐标系的基础上建立双体小行星系统中探测器的解析平面全三体动力学模型。在设计满足特定条件的平衡状态双体小行星系统自然捕获轨道的时候首先给定初始雅可比积分常数C_J0，结合C_J0以及初始位置矢量r_R0确定初始速度v_R0，从而获得探测器在初始时刻t₀的状态矢量X_R(t₀)；然后根据近心点判断方法、逃逸判断方法与撞击判断方法对初始状态矢量区域进行划分；最后结合捕获轨道对捕获前后或撞击前经过近心点次数的要求，确定符合特定条件的双体小行星系统的捕获轨道初始状态矢量集合，构建全部符合特定条件的捕获轨道集合，进而构建捕获轨道。

本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，包括如下步骤：

步骤一：建立双体小行星系统的质心旋转坐标系。

选择双体小行星系统的质心作为原点建立质心旋转坐标系。选择x轴方向由主天体P₁质心指向主天体P₂质心；z轴指向主天体轨道运动的角动量方向，垂直于主天体P₁与P₂的轨道平面；y轴垂直于x轴和z轴所在的平面，并与x轴和z轴构成右手直角坐标系。

步骤二：在质心旋转坐标系建立探测器解析平面全三体动力学模型。

探测器在质心旋转坐标下的解析平面全三体动力学模型表示为：

其中xy和分别表示探测器在质心旋转坐标系o-xyz下的位置坐标和速度坐标，r为双体小行星主天体质心间的距离，ν=M₂/(M₁+M₂)为双体小行星系统的质量分数，如式(2)所示为平衡状态双体小行星系统角速度ω：

其中G为万有引力常数；M₁与M₂分别为双体小行星系统中主天体P₁与P₂的质量；r^*为平衡状态双体小行星主天体质心间的距离；其中为单位化后的惯性矩阵；At_i＝I_ix+I_iy-cos2φ_i(I_iy-I_ix)，其中I_ix(i＝1,2)与I_iy(i＝1,2)为主天体P_i(i＝1,2)的惯性矩，φ_i为天体P_i(i＝1，2)惯性主轴相对于单位向量r⁰的角度；R_ji(i＝1,2)为椭球积分，具体形式如式(3)所示：

其中α_i,β_i，γ_i(i＝1,2)为双体小行星系统主天体的三个半长轴的大小，

λ满足的条件为x²/(λ+α²)+y²/(λ+β²)＝1。

步骤三：确定探测器在初始时刻t₀的状态矢量。

在解析平面全三体动力学模型中，定义探测器在双体小行星系统中的雅可比常数C_J为：

其中U₁₂为两颗主天体对探测器的引力势能。

给定处于平衡状态的双体小行星系统的初始雅可比积分常数C_J0，并要求限定初始时刻雅可比积分C_J的值需大于探测器P₃在平衡点L₂的值C_J2，从而使零速度曲面不完全闭合，进而保证探测器具有捕获的可能性。

选择初始时刻t₀的位置矢量的y轴分量y_R0＝0，即探测器的初始条件被约束在质心旋转坐标系的x轴上。

由于初始速度矢量v_R0＝[v_Rx0,v_Ry0]与初始位置矢量r_R0＝[x₀,0]共同决定的雅可比常数的数值C_J(x₀,0,v_Rx0,v_Ry0)应同给定的雅可比常数值C_J0相等。因此从每一点出发的速度矢量v_R0＝[v_Rx0,v_Ry0]的大小由式(5)确定：

C_J(x₀,0,v_Rx0,v_Ry0)＝C_J0>

使用极坐标的方式表示初始速度矢量，即用初始速度的大小|v_R0|和初始速度矢量v_R0与质心旋转坐标系x轴的夹角ψ₀来表示初始速度矢量，此时有：

在给定初始雅可比常数C_J0的条件下，确定质心旋转坐标系中探测器P₃的初始状态矢量为，

X_R(t₀)＝[r_R(t₀),v_R(t₀)]

＝[x₀,0,|v_R0|cosψ₀,|v_R0|sinψ₀]>

步骤四：根据近心点判断方法、逃逸判断方法以及撞击的判断方法划分稳定、逃逸与撞击初始状态矢量区域。

步骤4.1：给出近心点判断方法、逃逸判断方法以及撞击的判断方法；

①近心点的判断方法：探测器处于近心点的条件如式(8)所示：

r_R(t₁)·v_R(t₁)＝0且

②逃逸的判断方法：探测器在t_e时刻至少满足逃逸条件1与条件2中一个条件的情况下，视为在质心旋转坐标系中实现逃逸，其中：

逃逸条件1：E_Ic(t₁)＞0

逃逸条件2：|r_R(t_e)|＞|r_D|

“逃逸条件1”表示探测器P₃在t_e时刻的能量为正值；“逃逸条件2”表示当探测器P₃在t_e时刻与质心旋转坐标系原点间的距离大于预设距离|r_D|时，判定探测器已逃逸出双体小行星系统。所述预设距离根据双体小行星系统的影响球范围具体决定。

③撞击的判断方法：探测器在t_im时刻满足如撞击条件的情况下，视为在质心旋转坐标系中与主天体P₁或P₂发生撞击。对主天体P_i(i＝1,2)，

撞击条件为

“撞击条件”表示探测器P₃在t_im时刻位于任意一个主天体P_i(i＝1,2)对应的椭球壳的内部时，判定发生撞击。

步骤4.2：划分n次稳定、n次逃逸与n次撞击初始状态区域。

将离散化的初始状态矢量沿时间正向积分，根据以上近心点、逃逸与撞击判断条件将满足各类条件的探测器初始状态参数[C_J0,x₀,|v_R0|,ψ₀]的集合划分为n次稳定、n次逃逸与n次撞击初始状态区域。

n次稳定初始参数区域需满足的条件是，探测器从初始状态X_R(t₀)出发，在逃逸出双体小行星系统或与主天体P₁或P₂发生撞击前至少到达n次近心点，用S_n表示n次稳定初始参数区域。n次逃逸初始参数区域满足，探测器从初始状态X_R(t₀)出发，在经过n-1次近心点后从双体小行星系统逃逸，用E_n表示n次逃逸初始参数区域。n次撞击初始参数区域满足，探测器从初始状态X_R(t₀)出发，在经过n-1次近心点后与双体小行星系统中主天体P₁或P₂发生撞击，用Im_n表示n次撞击初始参数区域。

步骤五：确定符合特定条件的双体小行星系统的捕获轨道初始状态矢量集合，基于捕获轨道初始状态矢量集合构建相应的捕获轨道。

给定自然捕获轨道所需要满足的条件为：

条件a：从初始条件沿时间向前积分能够在质心旋转系统中经过n次近心点；

条件b：从初始条件沿时间逆向积分，探测器经过k-1次近心点后从双体小行星系统逃逸。

满足条件a与条件b的捕获轨道初始参数区域获取方法为，将沿时间正向积分的n次稳定初始参数区域S_n和沿时间逆向积分获得的k次逃逸初始参数区域E_-k相交得到。如式(9)所示：

探测器P₃从沿时间逆向积分的探测器终端状态开始，顺着捕获轨道经过k-1次近心点后，到达质心旋转坐标系的x轴，并能够至少稳定经过n次近心点，实现探测器被双体小行星系统捕获。中的每个初始参数条件均对应一条满足条件a与条件b的捕获轨道，满足条件a与条件b的捕获轨道即为最终构建符合特定条件的捕获轨道。

所述的特定条件包括探测器被双体小行星系统捕获前后经过近心点的次数约束以及探测器能否发生主天体撞击。

有益效果：

1、本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，采用稳定集理论，能够完整地确定满足特定条件的初始状态参数区域，即确定符合特定条件的双体小行星系统的捕获轨道初始状态矢量集合，捕获轨道初始状态矢量集合中的每个初始状态矢量均对应一条满足特定条件的捕获轨道，结果更为全面。

2、本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，在质心旋转坐标系建立探测器解析平面全三体动力学模型，利用双体小行星系统的平面全三体动力学特性进行探测器的自然捕获，捕获所需能量极小。

3、本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，基于平面全三体模型对双体小行星系统的形状参数进行考虑，具有更贴近于工程实际的实用性。

4、本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法，由于双体小行星系统的选取不影响捕获轨道的构建方法的实施步骤，因此可重复性高，适用范围广。

附图说明

图1是本发明步骤一探测器质心旋转坐标系的示意图；

图2是本发明公开的一种用于平衡状态双体小行星系统的平面自然捕获方法的流程图；

图3是本实施例中满足条件a与条件b要求的双体小行星系统自然捕获轨道示例；

图4是本实施例中条件b与条件c要求的双体小行星系统自然捕获轨道示例。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面通过选择一个具体的平衡状态双体小行星系统作为目标，进行探测器自然捕获问题的仿真分析，对本发明做出详细解释。

实施例1：

如图2所示，本实施例公开的一种用于满足特定条件的平衡状态双体小行星系统自然捕获方法，包括如下步骤：

步骤一：建立双体小行星系统的质心旋转坐标系。

选择双体小行星系统的质心作为原点建立质心旋转坐标系。选择x轴方向由主天体P₁质心指向主天体P₂质心；z轴指向主天体轨道运动的角动量方向，垂直于主天体P₁与P₂的轨道平面；y轴垂直于x轴和z轴所在的平面，并与x轴和z轴构成右手直角坐标系。

步骤二：在质心旋转坐标系建立探测器解析平面全三体动力学模型。

探测器在质心旋转坐标下的解析平面全三体动力学模型表示为：

其中xy和分别表示探测器在质心旋转坐标系o-xyz下的位置坐标和速度坐标，r为双体小行星主天体质心间的距离，v＝M₂/(M₁+M₂)为双体小行星系统的质量分数，如式(2)所示为平衡状态双体小行星系统角速度ω：

其中G为万有引力常数；M₁与M₂分别为双体小行星系统中主天体P₁与P₂的质量；r*为平衡状态双体小行星主天体质心间的距离；其中为单位化后的惯性矩阵；At_i＝I_ix+I_iy-cos2φ_i(I_iy-I_ix)，其中I_ix(i＝1,2)与I_iy(i＝1,2)为主天体P_i(i＝1,2)的惯性矩，φ_i为天体P_i(i＝1,2)惯性主轴相对于单位向量r⁰的角度；R_ji(i＝1,2)为椭球积分，具体形式如式(3)所示：

其中α_i,β_i,γ_i(i＝1,2)为双体小行星系统主天体的三个半长轴的大小，

λ满足的条件为x²/(λ+α²)+y²/(λ+β²)＝1。

在实施例中，选择平衡状态双体小行星质心间距离为15.87km，主星体P₁的三个体轴长度分别为3.9km，3.3km与3.2km，主天体P₂的三个体轴长度分别为23.5km，2.9km与2.8km，密度为1.67g/cm3。依据式(2)求解得平衡状态下双体小行星系统的旋转角速度为ω＝9.1105e^-5rad/s。

步骤三：确定探测器在初始时刻t₀的状态矢量。

在解析平面全三体动力学模型中，定义探测器在双体小行星系统中的雅可比常数C_J为：

其中U₁₂为两颗主天体对探测器的引力势能。

选定处于平衡状态的双体小行星系统的无量纲初始雅可比积分常数C_J0＝-0.1603，该初始时刻雅可比积分C_J的值大于探测器P₃在平衡点L₂的值C_J2＝-0.1628，从而使零速度曲面不完全闭合，进而保证探测器具有捕获的可能性。

选择初始时刻t₀的位置矢量的y轴分量y_R0＝0，即探测器的初始条件被约束在质心旋转坐标系的x轴上。

由于初始速度矢量v_R0＝[v_Rx0,v_Ry0]与初始位置矢量r_R0＝[x₀,0]共同决定的雅可比常数的数值C_J(x₀,0,v_Rx0,v_Ry0)应同给定的雅可比常数值C_J0相等。因此从每一点出发的速度矢量v_R0＝[v_Rx0,v_Ry0]的大小由式(5)确定：

C_J(x₀,0,v_Rx0,v_Ry0)＝C_J0>

使用极坐标的方式表示初始速度矢量，即用初始速度的大小|v_R0|和初始速度矢量v_R0与质心旋转坐标系x轴的夹角ψ₀来表示初始速度矢量，此时有：

在给定初始雅可比常数C_J0的条件下，确定质心旋转坐标系中探测器P₃的初始状态矢量为，

X_R(t₀)＝[r_R(t₀),v_R(t₀)]

＝[x₀,0,|v_R0|cosψ₀,|v_R0|sinψ₀]>

步骤四：根据近心点判断方法、逃逸判断方法以及撞击的判断方法划分稳定、逃逸与撞击初始状态矢量区域。

步骤4.1：给出近心点判断方法、逃逸判断方法以及撞击的判断方法；

①近心点的判断方法：探测器处于近心点的条件如式(8)所示：

r_R(t₁)·v_R(t₁)＝0且

②逃逸的判断方法：探测器在t_e时刻至少满足逃逸条件1与条件2中一个条件的情况下，视为在质心旋转坐标系中实现逃逸，其中：

逃逸条件1：E_Ic(t₁)＞0

逃逸条件2：|r_R(t_e)|＞4|r_R1-r_R2|

“逃逸条件1”表示探测器P₃在t_e时刻的能量为正值；“逃逸条件2”表示当探测器P₃在t_e时刻与质心旋转坐标系原点间的距离大于预设距离时，判定探测器已逃逸出双体小行星系统。所述预设距离根据双体小行星系统的影响球范围具体决定，在实施例中预设距离优选4倍主天体质心间距离。

③撞击的判断方法：探测器在t_im时刻满足如撞击条件的情况下，视为在质心旋转坐标系中与主天体P₁或P₂发生撞击。对主天体P_i(i＝1,2)，

撞击条件为

“撞击条件”表示探测器P₃在t_im时刻位于任意一个主天体P_i(i＝1,2)对应的椭球壳的内部时，判定发生撞击。

步骤4.2：划分n次稳定、n次逃逸与n次撞击初始状态区域。

将离散化的初始状态矢量沿时间正向积分，根据以上近心点、逃逸与撞击判断条件将满足各类条件的探测器初始状态参数[C_J0,x₀,|v_R0|,ψ₀]的集合划分为n次稳定、n次逃逸与n次撞击初始状态区域。

n次稳定初始参数区域需满足的条件是，探测器从初始状态X_R(t₀)出发，在逃逸出双体小行星系统或与主天体P₁或P₂发生撞击前至少到达n次近心点，用S_n表示n次稳定初始参数区域。n次逃逸初始参数区域满足，探测器从初始状态X_R(t₀)出发，在经过n-1次近心点后从双体小行星系统逃逸，用E_n表示n次逃逸初始参数区域。n次撞击初始参数区域满足，探测器从初始状态X_R(t₀)出发，在经过n-1次近心点后与双体小行星系统中主天体P₁或P₂发生撞击，用Im_n表示n次撞击初始参数区域。

步骤五：确定符合特定条件的双体小行星系统的捕获轨道初始状态矢量集合，基于捕获轨道初始状态矢量集合构建相应的捕获轨道。

给定自然捕获轨道所需要满足的条件为：

条件a：从初始条件沿时间向前积分能够在质心旋转系统中经过n次近心点，实施例中n取值为3；

条件b：从初始条件沿时间逆向积分，探测器经过k-1次近心点后从双体小行星系统逃逸，实施例中k取值为1；

条件c：从初始条件沿时间正向积分能够在质心旋转系统中经过m-1次近心点并最终撞击至主天体表面，实施例中m取值为3；

满足条件a与条件b的捕获轨道初始参数区域获取方法为，将沿时间正向积分的n次稳定初始参数区域S_n和沿时间逆向积分获得的k次逃逸初始参数区域E_-k相交得到。如式(9)所示：

探测器P₃从沿时间逆向积分的探测器终端状态开始，顺着捕获轨道经过k-1次近心点后，到达质心旋转坐标系的x轴，并能够至少稳定经过n次近心点，实现探测器被双体小行星系统捕获。中的每个初始参数条件均对应一条满足条件a与条件b的捕获轨道，满足条件a与条件b的捕获轨道即为最终构建符合特定条件的捕获轨道。

满足条件b与条件c的撞击初始参数区域获取方法为，将沿时间正向积分的n次稳定初始参数区域S_n和沿时间逆向积分获得的k次逃逸初始参数区域E_-k相交得到。如式(10)所示：

从区域中选取初始状态参数，可得图3所示为满足条件a与条件b的双体小行星系统自然捕获轨道示例；从区域中选取初始状态参数，可得图4所示为满足条件b与条件c的双体小行星系统自然捕获轨道示例。

所述的特定条件包括探测器被双体小行星系统捕获前后经过近心点的次数约束以及探测器能否发生主天体撞击等。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。