基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法及其验证系统

摘要

本发明公开了一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法及其验证系统，该方法包含S1，将卫星编队分解为两两卫星编队的组合，选用其中一组合中的第一编队卫星为环绕星，该组合中的第二编队卫星为参考星；S2，建立第一编队卫星和第二编队卫星的对偶四元数运动学模型；S3，给定第一编队卫星与第二编队卫星的初始相对位置和姿态，对应计算出第一编队卫星相对于第二编队卫星每一时刻的相对位置和姿态。本发明能够解算出编队卫星之间的相对位置和姿态，且提供了高性能低功耗，运行稳定，接口丰富的验证系统。

说明书

技术领域

本发明涉及卫星编队飞行研究领域，特别涉及一种基于对偶四元数的多星姿轨动 力学建模方法及其验证系统。

背景技术

编队飞行是20世纪90年代后期，随着现代卫星技术的迅速发展而出现的一种新的 卫星组网方式。卫星编队飞行具有成本低、风险小、发射方式灵活等特点，并且可具有与大 型卫星相同甚至比大卫星更好的功能。卫星编队间的多颗卫星间相对动力学、运动学精确 模型的建立，对分析和设计卫星编队具有重要意义，同时也是控制系统和相对导航系统设 计的基础。对多星姿轨动力学建模方法和模型进行地面验证是保证建模方法和模型正确性 的基础。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法及其验证 系统，解算出编队卫星之间的相对位置和姿态，且提供了高性能低功耗，运行稳定，接口丰 富的验证系统。

为了实现以上目的，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法，其特点是，该方法包含：

S1，将卫星编队分解为两两卫星编队的组合，选用其中一组合中的第一编队卫星 为环绕星，该组合中的第二编队卫星为参考星；

S2，建立第一编队卫星和第二编队卫星的对偶四元数运动学模型，即假设对偶四 元数表示第一编队卫星的本体系U相对于编队卫星2号的本体系T的一般性刚体运动，则有 如下关系式：

${\hat{\omega }}_{TU}^T={\omega }_{TU}^T+ϵ({\stackrel{·}{t}}^T+t^T\times {\omega }_{TU}^T)={\omega }_{TU}^T+{\mathrm{ϵv}}^T$

其中，表示第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对位姿 对偶四元数；表示的一阶导数，q'_TU表示的转置，表示的共轭；表示在第 二编队卫星本体系中，第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对速度旋 量；表示第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对角速度；v^T表示表 示第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对速度；r表示第一编队卫星 质心到第二编队卫星质心的位置矢量。

S3，给定第一编队卫星与第二编队卫星的初始相对位置和姿态，对应计算出第一 编队卫星相对于第二编队卫星每一时刻的相对位置和姿态。

所述的步骤S3具体包含：

S3.1，初始时刻下，所述第一编队卫星与第二编队初始相对姿态的实部q₀＝q₁₀^-1ο q₂₀，其中，q₀、q₁₀、q₂₀分别表示第一编队卫星的本体系相对于第二编队卫星本体系的姿态四 元数、第一编队卫星本体坐标系相对惯性系的姿态四元数、第二编队卫星本体坐标系相对 惯性系的姿态四元数；对偶部q₀'＝0.5r₀οq₀，其中，r₀表示第一编队卫星的本体系U相对于 第二编队卫星本体系的位置矢量。可以得到，初始时刻，第一编队卫星的本体系相对于第二 编队卫星本体系的位姿对偶四元数为：

S3.2，通过三子样算法计算螺旋向量，并根据所述的螺旋向量得出更新对偶四元 数；

S3.3，

将当前时刻的对偶四元数作为下一时刻的初始值进行迭代运算，得到任意时刻的 对偶四元数，其中，所述对偶四元数的更新算法为：

表示前一时刻的两星相对位姿对偶四元数，为时间间隔ΔT内的更新 对偶四元数，表示本时刻的两星相对位姿对偶四元数所述的步骤S3.3具体为：

S3.3.1，通过分别计算旋量的实部和对偶部，得到旋量

S3.3.2，取时间间隔ΔT＝h，将此时间间隔分为三段相等的小时间间隔 $[t_k,t_k+\frac{h}{3}],[t_k+\frac{h}{3},t_k+\frac{2h}{3}],[t_k+\frac{2h}{3},t_{k+1}],$采用积分的方法求得这三段小时间间隔内的对 偶角增量求得该时间间隔ΔT内的螺旋向量来更新对 偶四元数。

一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法的验证系统，其特点是，包含：

处理器，用于对卫星姿态轨道确定及控制；

与处理器相连的存储电路和接口电路，所述的存储电路用于对处理数据的存储， 所述的接口电路用于采集各个传感器信息并对输出指令。本发明与现有技术相比，具有以 下优点：

本发明基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法及其验证系统，解算出编队卫 星之间的相对位置和姿态，且提供了高性能低功耗，运行稳定，接口丰富的验证系统。

附图说明

图1为本发明卫星四星编队飞行示意图；

图2为本发明一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法的流程图；

图3为本发明基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法的验证系统的结构图。

具体实施方式

以下结合附图，通过详细说明一个较佳的具体实施例，对本发明做进一步阐述。

在对本发明详细阐述之前，首选对对偶四元数做基本说明，对偶四元数实际上是 元素为对偶数的四元数，即其中为对偶数，为对偶向量。对偶四元数也可以理 解成元素为四元数的对偶数:

$\hat{q}=q+{\mathrm{ϵq}}^{\prime }$

其中，ε²＝0且ε≠0。q和q′分别称为对偶四元数的实部和对偶部。对偶四元数也可 以写成:

$\hat{q}=[cos\frac{\hat{\theta }}{2},\left(sin\frac{\hat{\theta }}{2}\right)\hat{l}]$

和分别表示对偶向量和对偶角，并有如下关系：

$\left(\begin{array}{c}\hat{l}=l+ϵp\times l\\ \hat{\theta }=\theta +ϵd\end{array}\right)$

单位对偶四元数可以表示坐标系o₁x₁y₁z₁沿单位向量l平移d到坐标系o₁′x₁′y₁′z₁′ 位置，同时再绕单位向量l旋转θ到坐标系o₂x₂y₂z₂。刚体的一般运动，可通过固连于刚体上 的一个坐标系的变化来描述，因此单位对偶四元数可以用来描述刚体绕单位向 量l做螺旋运动。这里把向量l和标量部分为零，向量部分为l的四元数l等同看待。是q和 t^o1、t^o2的函数。卫星的对偶四元数运动学方程为：

其中被称作旋量。

如图1所示，一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法，该方法包含：

S1，将卫星编队分解为两两卫星编队的组合，如A、B、C、D四颗卫星进行编队飞行， 可以视为AB、BC、CD两两编队，选用其中一组合中的第一编队卫星为环绕星，该组合中的第 二编队卫星为参考星；

S2，建立第一编队卫星和第二编队卫星的对偶四元数运动学模型，假设对偶四元 数表示第一编队卫星的本体系U相对于编队卫星2号的本体系T的一般性刚体运动，则有如 下关系式：

${\hat{\omega }}_{TU}^T={\omega }_{TU}^T+ϵ({\stackrel{·}{t}}^T+t^T\times {\omega }_{TU}^T)={\omega }_{TU}^T+{\mathrm{ϵv}}^T$

其中，表示第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对位姿 对偶四元数；表示的一阶导数，q'_TU表示的转置，表示的共轭；表示在第 二编队卫星本体系中，第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对速度旋 量；表示第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对角速度；v^T表示表 示第一编队卫星的本体系U相对于第二编队卫星本体系T的相对速度；r表示第一编队卫星 质心到第二编队卫星质心的位置矢量；

S3，给定第一编队卫星与第二编队卫星的初始相对位置和姿态，对应计算出第一 编队卫星相对于第二编队卫星每一时刻的相对位置和姿态。

上述的步骤S3具体包含：

S3.1，初始时刻下，所述第一编队卫星与第二编队初始相对姿态的实部q₀＝q₁₀^-1ο q₂₀，其中，q₀、q₁₀、q₂₀分别表示第一编队卫星的本体系相对于第二编队卫星本体系的姿态四 元数、第一编队卫星本体坐标系相对惯性系的姿态四元数、第二编队卫星本体坐标系相对 惯性系的姿态四元数；对偶部q₀'＝0.5r₀οq₀，其中，r₀表示第一编队卫星的本体系U相对于 第二编队卫星本体系的位置矢量，得到，初始时刻第一编队卫星的本体系相对于第二编队 卫星本体系的位姿对偶四元数为：

S3.2，通过三子样算法计算螺旋向量，并根据所述的螺旋向量得出更新对偶四元 数；

S3.3，将当前时刻的对偶四元数作为下一时刻的初始值进行迭代运算，得到任意 时刻的对偶四元数，其中，所述对偶四元数的更新算法为：

表示前一时刻的两星相对位姿对偶四元数，为时间间隔ΔT内的更新 对偶四元数，表示本时刻的两星相对位姿对偶四元数。

上述的步骤S3.3具体为：

S3.3.1，通过分别计算旋量的实部和对偶部，得到旋量

具体的，计算旋量的实部

由给定条件，已知两颗卫星相对于惯性系E的姿态角速度矢量和则 而求应该利用编队卫星2号相对于地球惯性坐标系的姿态四元数q，通 过传统的四元数旋转方法把ω_TU在惯性系E中的表示转换到主星本体系T中，即 值得说明的是:如果给定一种特定的卫星入轨姿态(即初始姿态)和姿态 角速度，如编队卫星2号的初始姿态q₁₀＝[1000]且此时四元数的旋 转轴与方向平行或重合，有即不再需要旋转，两颗卫星姿态角速度直接相减 可以得到相对姿态角速度在主星本体系T中的投影。为简化运算，仿真时采用这种初始条 件，它是符合卫星入轨时姿态要求。

计算旋量的对偶部

编队卫星2号的相对速度v是在编队卫星1号轨道系H和编队卫星2号轨道系C下推 导的，即编队卫星1号在编队卫星2号轨道系C中的分量v^C。求v^T时按理应该把v^C通过坐标变 换(或四元数旋转)到编队卫星2号本体系T中来计算。这里计算旋量时直接采用v^C代替v^T，而 不再通过坐标变换等一系列复杂的运算，这样在求出对偶四元数之后求取位置向量r时也 省去了再从本体系转换到轨道系的坐标变换过程，从而有效降低了星载计算机的计算难 度。

S3.3.2，取时间间隔ΔT＝h，将此时间间隔分为三段相等的小时间间隔 $[t_k,t_k+\frac{h}{3}],[t_k+\frac{h}{3},t_k+\frac{2h}{3}],[t_k+\frac{2h}{3},t_{k+1}],$采用积分的方法求得这三段小时间间隔内的 对偶角增量求得该时间间隔ΔT内的螺旋向量来更 新对偶四元数。

对偶四元数算法可以继承传统姿态更新计算的等效旋转矢量算法(螺旋算法)，与 圆锥算法中的旋转向量类似，螺旋算法使用“螺旋向量”描述中时间间隔的动态运动。

螺旋向量的计算

采用推导旋转向量微分方程的方法，可以得到螺旋向量的微分方程如下：

$\stackrel{·}{\hat{\sigma }}=\hat{\omega }+\frac{1}{2}\hat{\sigma }\times \hat{\omega }+\frac{1}{{\hat{\Phi }}^2}[1-\frac{\hat{\Phi }sin\hat{\Phi }}{2(1-cos\hat{\Phi })}]\hat{\sigma }\times (\hat{\sigma }\times \hat{\omega })$

其中，表示沿螺旋轴的螺旋向量，其大小为由于更新周期一般都 很短，很小，其高次项可略去不计，工程上常用的近似方程为：

$\stackrel{·}{\hat{\sigma }}=\hat{\omega }+\frac{1}{2}\hat{\sigma }\times \hat{\omega }+\frac{1}{12}\hat{\sigma }\times (\hat{\sigma }\times \hat{\omega })$

当采用抛物线拟合旋量时，螺旋向量的三子样算法为：

$\hat{\omega }(t_k+\tau )=a+2b\tau +3{\mathrm{c\tau }}^2,0\le \tau \le h$

$\hat{\sigma }\left(h\right)=\Delta {\hat{\theta }}_1+\Delta {\hat{\theta }}_2+\Delta {\hat{\theta }}_3+\frac{33}{80}\Delta {\hat{\theta }}_1\times \Delta {\hat{\theta }}_3+\frac{57}{80}\Delta {\hat{\theta }}_2\times (\Delta {\hat{\theta }}_3-\Delta {\hat{\theta }}_1)$

其中分别为时间段$[t_k,t_k+\frac{h}{3}],[t_k,t_k+\frac{2h}{3}],[t_k,t_{k+1}]$内的对偶 角增量。

对偶四元数的更新

对偶四元数的通用更新算法为

表示前一时刻的两星相对位姿对偶四元数，为时间间隔ΔT内的更新 对偶四元数，表示本时刻的两星相对位姿对偶四元数。更新对偶四元数可 表示为螺旋向量的函数：

$\hat{q}\left(\Delta T\right)=[cos\frac{\hat{\Phi }}{2},\frac{\hat{\sigma }}{\hat{\Phi }}sin\frac{\hat{\Phi }}{2}]$

这里采用四阶近似公式：

$cos\frac{\hat{\Phi }}{2}=1-\frac{{\hat{\Phi }}^2}{8}+\frac{{\hat{\Phi }}^4}{384},$

$\frac{1}{\hat{\Phi }}sin\frac{\hat{\Phi }}{2}=\frac{1}{2}-\frac{{\hat{\Phi }}^2}{48}$

如图3所示，一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法的验证系统，包含： 处理器，用于对卫星姿态轨道确定及控制，涉及到大量的浮点运算，要求地面验证系统具有 快速的数据运算能力；与处理器相连的存储电路和接口电路，存储电路用于对处理数据的 存储，所述的接口电路用于采集各个传感器信息并对输出指令。

处理器选用CycloneIV系列的EP4CE115F23I7的FPGA，该芯片拥有115K逻辑门， 281个IO口，包含266个嵌入式18×18乘法器，支持NiosII32位嵌入式处理器。改芯片可满 足地面验证系统对高速数值运算能力的要求；地面验证系统所需的数据采集、接口通信等 功能都可以使用IP核在FPGA中灵活实现，结构简单，体积和功耗都可以得到很好地控制。

存储电路包括SRAM、SDRAM和FLASH，其中SRAM选用的是512KB的高速异步、低功耗 的CMOS芯片IS61LV25616-8TI，数据宽度16bit；SDRAM选用的是一个32MB同步高速动态存储 器H57V2562GTR-50I，容量为256MB；FLASH则使用易于与CycloneIV器件连接的 AM29LV640MB100EF，还有串行接口芯片EPCS128为FPGA存储结构数据，保存基本配置。

接口底板包括时钟电路、供电电路、串口电路、A/D转换电路以及D/A转换电路。时 钟电路使用OSCSMD5032芯片提供晶振；供电电路选用宽温低功耗的LD1117S25CTR、 LD1117S33CTR、SPX3819稳压器以输出3.3、2.5、1.2V的电压；串口电路包含RS232以及 RS422，使用MAX238以及MAX490芯片完成逻辑电平转换；A/D转换电路使用两片AD7892；D/A 转换电路采用了4片AD7249芯片。

综上所述，本发明一种基于对偶四元数的多星姿轨动力学建模方法及其验证系 统，解算出编队卫星之间的相对位置和姿态，且提供了高性能低功耗，运行稳定，接口丰富 的验证系统。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的 描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的 多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。