一种基于扩张状态观测器的Stewart平台主动隔振PD控制方法

摘要

一种基于扩张状态观测器的Stewart平台主动隔振PD控制方法，本发明涉及PD控制方法。本发明是要解决控制策略的制定较为简单，控制精度有待提高、没有考虑系统的不确定性挠性附件的影响、没有考虑平台的结构非线性以及控制算法的设计过程具有任意性的问题而提出的一种基于扩张状态观测器的Stewart平台主动隔振PD控制方法。该方法是通过一、建立Stewart平台的动力学模型；二、建立Stewart平台的六个执行机构的动力学模型；三、得到Stewart平台的状态空间；四、确定观测器对系统状态的观测误差为收敛的观测误差；五、设计基于扩张观测器的PD控制器等步骤实现的。本发明应用于PD控制方法领域。

说明书

技术领域

本发明涉及Stewart平台主动隔振PD控制方法，特别涉及一种基于扩张状态观测器 的Stewart平台主动隔振PD控制方法。

背景技术

当今航天器面临的空间任务越来越多种多样，需要携带大量的测量或通讯设备，因此 导致航天器自身结构日益复杂，且低频模态密集，同时这些所装载的敏感载荷往往有很高 的指向精度和稳定度需求。如果只针对航天器本体进行姿态控制，已经很难完成越来越高 的任务要求，需要寻求其他的方案来对保证敏感载荷的稳定性，而对其进行多自由度隔振 是近期研究的热点，在众多方案中Stewart平台由于其特殊的结构特性，使得其非常适合 对敏感载荷进行6自由度振动隔离和微操作，国内外许多学者都对此进行了深入研究。

文献SuYX,DuanBY,ZhengCH.NonlinearPIDcontrolofasix-DOFparallel manipulator[J].IEEProceedings-ControlTheoryandApplications,2004,151(1):95-102.提出了 一种非线性PID控制方法，以实现Stewart平台的高精度姿态跟踪。建立六自由度Stewart平 台的运动学模型，并基于该模型采用非线性PID控制方法，最后进行了实验验证。但从运动 学方程的建立过程可以看出，该方案只对关节空间进行建模，并没有对操作平台运动特性 进行动力学建模分析，由于采用传统的PID控制作为核心控制方案，导致控制效果并不理想。

文献ZhangY,ZhangJ.Theimagingstabilityenhancementofopticalpayloadusing multiplevibrationisolationplatforms[J].JournalofVibration&Control,2013.着重介绍了含 有多个Steward隔振平台的航天器建模方案，并对进行了频域及稳定性分析。但文中采用 的隔振方法属于被动隔振的范畴，仅能隔离特定频率的振动，不能对全频带的振动进行隔 离，隔振效果有限，同时在建模过程中进行了较大程度上的化简，没有考虑系统的未建模 不确定性以及挠性附件的影响。

文献YangT,MaJ,HouZG,etal.Robustbacksteppingcontrolofactivevibration isolationusingastewartplatform[C]//IEEEInternationalConferenceonRoboticsand Automation.IEEE,2009:1788-1793.利用Newton-Euler方法建立了采用音圈电机作为作动 器的平台模型，并对平台进行解耦处理，将其等效成6个单入单出的通道设计了基于 Lyapunov稳定性的非线性鲁棒控制算法，以克服系统的不确定性。但文中仅考虑了平台 的几何非线性并没有考虑平台的结构非线性，也没有对不确定性的来源进行深入分析，且 控制算法的设计过程具有任意性。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术没有对操作平台进行详细建模分析，控制策略的制 定较为简单，控制精度有待提高、控制效果有限、没有考虑系统的不确定性挠性附件的影 响、没有考虑平台的结构非线性以及控制算法的设计过程具有任意性的问题而提出的一种 基于扩张状态观测器的Stewart平台主动隔振PD(proportiondifferentiation)控制方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、设Stewart平台上平面绕Stewart平台的X轴以角度进行转动，Stewart平 台上平面绕Stewart平台的Y轴以角度θ进行转动，Stewart平台上平面绕Stewart平台的 Z轴以角度ψ进行转动，由Newton-Euler方法建立Stewart平台的动力学模型如式(1)所示：

$M\stackrel{··}{\chi }+C\stackrel{·}{\chi }+B\stackrel{·}{\chi }+K\chi +{\Delta }_s=\tau +w_s---\left(1\right)$

其中，为Stewart平台上的广义位置向量，x,y和z分别为Stewart 平台上平面在X,Y和Z轴上的位移；M∈R^6×6为Stewart平台的惯性矩阵；R为实数； B∈R^6×6为Stewart平台的阻尼矩阵；K∈R^6×6为Stewart平台的刚度矩阵；C∈R⁶为Stewart 平台所受向心力；为Stewart平台柯氏加速度向量且为χ一阶导数；为Stewart 平台柯氏加速度向量且为χ二阶导数；Δ_s∈R⁶为模型不确定性，τ∈R⁶为6个支杆的执行 机构产生的广义驱动力；w_s∈R⁶为外部振动引起的干扰向量；

步骤二、根据音圈驱动电机的电压平衡方程，建立Stewart平台的六个执行机构的动 力学模型如式(2)所示：

$L{\stackrel{·}{i}}_m+{\mathrm{Ri}}_m+K_{e}J\stackrel{·}{\chi }+{\Delta }_m=u+w_m---\left(2\right)$

其中，L为电感系数；R为直流电机的电阻，K_e为电机的反电动势；Δ_m∈R⁶为电机 的音圈电机的不确定性；u为基于扩张状态观测器的PD控制器；w_m∈R⁶为电机中外部 振动引起的干扰向量；J为雅克比矩阵；为音圈电机线圈的电流强度；为i_m的一阶 导数；

步骤三、根据Stewart平台的动力学模型和Stewart平台的六个执行机构的动力学模 型计算得到Stewart平台的状态空间；

步骤四、由Stewart平台的状态空间，设计Stewart平台扩张状态观测器计算扩张状 态观测器确定扩张状态观测器对系统状态的观测误差为收敛的观测误差；

步骤五、根据扩张观测器的观测量和设计基于扩张状态观测器的PD控制器， 利用PD控制器抑制外界的干扰扰动从而进行Stewart平台的隔振控制；

其中，k_p为PD控制器的比例系数；k_d为PD控制器的微分系数；x₁＝χ；为x₂的观测状态，为x₄的观测状态；基于扩张状态观测器的PD控制器具体为：

$u=K_p{x}_1+K_d{\hat{x}}_2-{\hat{x}}_4---\left(7\right)$

发明效果

本发明考虑6自由度主被动隔振问题，设计了基于立方体构型的Stewart平台的主被 动隔振算法，首先建立以音圈电机为执行机构的Stewart平台的运动学和动力学模型并对 模型进行合理变换，将平台等效成6个单入单出的子系统，考虑到实际应用中的传感器的 数量和设备的成本问题，设计了基于扩张状态观测器的PD(proportiondifferentiation)主 被动隔振控制器，并给出了考虑扩张状态观测器收敛性时的参数设计准则，所设计的控制 算法与被动隔振相比，极大地提高了平台的隔振效果同时有效减少了所需传感器的数量。

与上述算法相比，本发明具有以下优点：

①很多方法都没有考虑执行机构，而本发明详细建立了音圈电机作动器的动力学方 程；

②大部分控制方法都是基于关节空间进行设计的，控制精度有限，而本发明基于工作 空间进行控制，控制精度更高；

③本发明考虑基于工作空间设计的控制算法的平台广义速度的不可测性，采用扩张状 态观测器来观测广义速度信息，降低了实际应用中操作平台的复杂度和成本。

由图6～8可知，扩张状态观测器能在有限的时间内跟踪上系统的广义位置和速度信 号，且扩张出的状态可以估计出外部干扰。在只考虑被动隔振的情况下，本发明的立方体 构型的Stewart平台对宽频带内的正弦干扰和随机噪声干扰都有很好的隔振效果。加入基 于扩张状态观测器的PD主动隔振后，隔振效果都有明显的改善，稳态误差有一个数量级 的提升，尤其是对中高频的正弦干扰和随机噪声干扰。

通过本发明的建立Stewart平台的动力学模型和Stewart平台的六个执行机构的动力 学模型过程可以看到，考虑了平台的结构非线性，本发明的基于扩张状态观测器的PD控 制器设计给出的收敛条件中，给出具体的取值要求，避免了算法的任意性。

附图说明

图1为具体实施方式一提出的Stewart平台的向量表示图；其中，上平台和6个支杆 的连接点为末端器A_i,i＝1,2,3，下平台与6个支杆的连接点为B_i,i＝1,2,3；{B}为固联于 下平台的惯性参考坐标系，其原点与下平台的质心重合，{P}为动平台的参考坐标系；r_base是{B}的原点到基座连接点B_i的径向距离，r_end是{P}的原点到基座连接点A_i的径向距离；

图2为具体实施方式一提出的一种基于扩张状态观测器的Stewart平台主动隔振PD 控制方法；

图3(a)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的平动(开环)x 方向位移；

图3(b)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的转动(开环)方向位移；

图3(c)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的平动(开环)y 方向位移；

图3(d)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的转动(开环)θ 方向位移；

图3(e)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的平动(开环)z 方向位移；

图3(f)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的转动(开环)ψ 方向位移；

图4(a)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的平动(闭环)x 方向位移；

图4(b)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的转动(闭环)方向位移；

图4(c)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的平动(闭环)y 方向位移；

图4(d)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的转动(闭环)θ 方向位移；

图4(e)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的平动(闭环) z方向位移；

图4(f)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为10Hz的正弦信号时的转动(闭环)ψ 方向位移；

图5(a)为实施例提出的l₁杆长度变化曲线示意图；

图5(b)为实施例提出的l₄杆长度变化曲线示意图；

图5(c)为实施例提出的l₂杆长度变化曲线示意图；

图5(d)为实施例提出的l₅杆长度变化曲线示意图；

图5(e)为实施例提出的l₃杆长度变化曲线示意图；

图5(f)为实施例提出的l₆杆长度变化曲线示意图；

图6(a)为实施例提出的真实位移曲线x与扩张状态观测器的广义位移x′的估计曲线；

图6(b)为实施例提出的真实角度曲线与扩张状态观测器的广义角度的估计曲线；

图6(c)为实施例提出的真实位移曲线y与扩张状态观测器的广义位移y′的估计曲线；

图6(d)为实施例提出的真实角度曲线θ与扩张状态观测器的广义角度θ′的估计曲线；

图6(e)为实施例提出的真实位移曲线z与扩张状态观测器的广义位移z′的估计曲线；

图6(f)为实施例提出的真实角度曲线ψ与扩张状态观测器的广义角度ψ′的估计曲线；

图7(a)为实施例提出的真实速度曲线dx与扩张状态观测器的广义速度dx′的估计曲 线；

图7(b)实施例提出的真实角速度曲线与扩张状态观测器的广义角速度的估计 曲线；

图7(c)为实施例提出的真实速度曲线dy与扩张状态观测器的广义速度dy′的估计曲 线；

图7(d)为实施例提出的真实角速度曲线dθ与扩张状态观测器的广义角速度dθ′的估 计曲线；

图7(e)为实施例提出的真实速度曲线dz与扩张状态观测器的广义速度dz′的估计曲 线；

图7(f)为为实施例提出的真实角速度曲线dψ与扩张状态观测器的广义角速度dψ′的 估计曲线；

图8(a)为实施例提出的真实干扰曲线d_x与扩张状态观测器的广义干扰d′_x的估计曲 线；

图8(b)实施例提出的真实干扰曲线与扩张状态观测器的广义干扰的估计曲线；

图8(c)为实施例提出的真实干扰曲线d_y与扩张状态观测器的广义干扰d′_y的估计曲 线；

图8(d)为实施例提出的真实干扰曲线d_θ与扩张状态观测器的广义干扰d′_θ的估计曲 线；

图8(e)为实施例提出的真实干扰曲线d_z与扩张状态观测器的广义干扰d′_z的估计曲 线；

图8(f)为为实施例提出的真实干扰曲线d_ψ与扩张状态观测器的广义干扰d′_ψ的估计 曲线；

图9(a)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的平动(开环)x 方向位移；

图9(b)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的转动(开环)方向位移；

图9(c)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的平动(开环)y 方向位移；

图9(d)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的转动(开环)θ 方向位移；

图9(e)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的平动(开环)z 方向位移；

图9(f)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的转动(开环)ψ 方向位移；

图10(a)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的平动(闭环) x方向位移；

图10(b)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的转动(闭环) 方向位移；

图10(c)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的平动(闭环) y方向位移；

图10(d)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的转动(闭环) θ方向位移；

图10(e)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的平动(闭环) z方向位移；

图10(f)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为50Hz的正弦信号时的转动(闭环) ψ方向位移；

图11(a)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的平动(开环) x方向位移；

图11(b)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的转动(开环) 方向位移；

图11(c)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的平动(开环) y方向位移；

图11(d)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的转动(开环) θ方向位移；

图11(e)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的平动(开环) z方向位移；

图11(f)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的转动位移(开 环)ψ方向位移；

图12(a)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的平动(闭环) x方向位移；

图12(b)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的转动(闭环) 方向位移；

图12(c)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的平动(闭环) y方向位移；

图12(d)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的转动(闭环) θ方向位移；

图12(e)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的平动(闭环) z方向位移；

图12(f)为实施例提出的干扰为幅值为1，频率为100Hz的正弦信号时的转动位移(闭 环)ψ方向位移；

图13(a)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的平动(开环)x 方向位移；

图13(b)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的转动位移(开 环)的方向位移；

图13(c)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的平动(开环)y 方向位移；

图13(d)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的转动(开环) 的θ方向位移；

图13(e)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的平动的(开环) z方向位移；

图13(f)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的转动位移(开 环)的ψ方向位移；

图14(a)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的平动(闭环)x 方向位移；

图14(b)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的转动位移(闭 环)的方向位移；

图14(c)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的平动(闭环)y 方向位移；

图14(d)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的转动(闭环) 的θ方向位移；

图14(e)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的平动的(闭环) z方向位移；

图14(f)为实施例提出的干扰为随机噪声(均值为0，方差为25)时的转动位移(闭 环)的ψ方向位移。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图2本实施方式的一种基于扩张状态观测器的Stewart平台主 动隔振PD控制方法，具体是按照以下步骤制备的：

步骤一、设Stewart平台上平面绕Stewart平台的X轴以角度进行转动，Stewart平 台上平面绕Stewart平台的Y轴以角度θ进行转动，Stewart平台上平面绕Stewart平台的 Z轴以角度ψ进行转动，由Newton-Euler(牛顿欧拉法)方法建立Stewart平台的动力学 模型如式(1)所示：

$M\stackrel{··}{\chi }+C\stackrel{·}{\chi }+B\stackrel{·}{\chi }+K\chi +{\Delta }_s=\tau +w_s---\left(1\right)$

其中，为Stewart平台上的广义位置向量，x,y和z分别为Stewart 平台上平面在X,Y和Z轴上的位移；M∈R^6×6为Stewart平台的惯性矩阵；R为实数； B∈R^6×6为Stewart平台的阻尼矩阵；K∈R^6×6为Stewart平台的刚度矩阵；C∈R⁶为Stewart 平台所受向心力；为Stewart平台柯氏加速度向量且为χ一阶导数；为Stewart 平台柯氏加速度向量且为χ二阶导数；Δ_s∈R⁶为模型不确定性，Δ_s∈R⁶包括参数不确定 性和未建模动态等；τ∈R⁶为6个支杆的执行机构产生的广义驱动力；w_s∈R⁶为外部振 动引起的干扰向量；

所述建立Stewart平台的动力学模型具体推导过程为：

(1)Stewart平台的向量表示如图1所示，上平台和6个支杆的连接点为末端器 A_i,i＝1,2,3，下平台与6个支杆的连接点为B_i,i＝1,2,3；{B}为固联于下平台的惯性参考 坐标系，其原点与下平台的质心重合，{P}为动平台的参考坐标系；r_base是{B}的原点到 基座连接点B_i的径向距离，r_end是{P}的原点到基座连接点A_i的径向距离；

如图1可得如下的表达式：

q_i＝x₀+[R₁]p_i-r_i(8)

其中，r_i是在基座坐标系中表示的连接点B_i的位置向量，p_i是在动平台坐标系{P}中 表示的末端器A_i的位置向量，x₀是动平台质心C的位置向量，q_i是从B_i到A_i的支杆向量， R₁是动平台到基座的转换矩阵；

(2)支杆的长度l_i定义为

l_i＝|q_i|＝(q_i^Tq_i)^1/2(10)

下面介绍一个重要的矩阵——雅克比矩阵J，它把支腿的长度变化与动平台的运动联 系到了一起，可由虚功原理获得，即

$\begin{array}{c}q=J\chi =B^T\chi \\ \stackrel{·}{q}=J\stackrel{·}{\chi }=B^T\stackrel{·}{\chi }\end{array}---\left(11\right)$

$\left(\begin{array}{c}{J}_i=\left(\begin{array}{cc}\frac{q_i}{\left|q_i\right|}& {}^{B}a_i^{\times }\frac{q_i}{\left|q_i\right|}\end{array}\right),i=\mathrm{1,2}...,6\\ {}^{B}a_i=\left[R\right]p_i\end{array}\right)---\left(12\right)$

其中，q＝(q₁,q₂,…,q₆)^T表示支杆长度的变化，表示上平台的广 义位置向量；

(3)特别的，立方体构型的Stewart平台的雅克比矩阵可由式(13)给出

$J=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{cccccc}1& \sqrt{3}& \sqrt{2}& -L/2& -L\sqrt{3}/2& L\sqrt{2}\\ 1& -\sqrt{3}& \sqrt{2}& L/2& -L\sqrt{3}/2& -L\sqrt{2}\\ -2& 0& \sqrt{2}& L& 0& L\sqrt{2}\\ 1& \sqrt{3}& \sqrt{2}& L/2& L\sqrt{3}/2& -L\sqrt{2}\\ 1& -\sqrt{3}& \sqrt{2}& -L/2& L\sqrt{3}/2& L\sqrt{2}\\ -2& 0& \sqrt{2}& -L& 0& -L\sqrt{2}\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中，L为每个支杆的长度；

(4)由Newton-Euler方法描述的Stewart平台的动力学模型如式(14)所示：

$M\stackrel{··}{\chi }+C\stackrel{·}{\chi }+B\stackrel{·}{\chi }+K\chi +{\Delta }_s=\tau +w_s---\left(14\right)$

以上各项的详细定义如下

M＝M_x+J^TM_sJ(15)

其中，$M_x=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{mI}}_3& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& I\end{array}\right),$m为载荷的质量，I∈R^3×3为转动惯量矩阵，J∈R^6×6为 雅克比矩阵(Jacobian矩阵)，M_s＝diag([m₁,m₂,m₃,m₄,m₅,m₆])，m_i为第i个可动支杆的 质量；i＝1,…6，M_s为可动支杆的质量；τ＝J^Tf_m，f_m∈R⁶是由每个支杆产生的驱动力； 这里，每个支杆的驱动力都是由一个线性的音圈电机产生的，根据音圈电机的电磁特性， 沿支杆轴向方向的驱动力可以表示为f_m＝K_mi_m，其中， K_m＝diag([k_m1,k_m2,k_m3,k_m4,k_m5,k_m6])；K_m为音圈驱动电机的力矩系数，i_m＝[i₁,i₂,…,i₆]^T， i_m为线圈的电流强度；j＝1,…,6，i＝1,…,6，k_mi为音圈电机反电动势矩阵中的第i个 元素，i_j电机反电动势矩阵中的第j个元素；

$B=J^T\bar{B}J,K=J^T\bar{K}J---\left(16\right)$

其中，$\bar{B}=diag\left([b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6]\right),\bar{K}=diag\left([k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6]\right),$i＝1,…,6，b_i为 第i个支杆的阻尼系数；k_i为第i个支杆的刚度系数；

步骤二、每个支杆的驱动力都是由一个线性的音圈电机产生的，根据音圈驱动电机 的电压平衡方程，建立Stewart平台的六个执行机构的动力学模型如式(2)所示：

$L{\stackrel{·}{i}}_m+{\mathrm{Ri}}_m+K_{e}J\stackrel{·}{\chi }+{\Delta }_m=u+w_m---\left(2\right)$

其中，L为电感系数；R为直流电机的电阻，K_e为电机的反电动势；Δ_m∈R⁶为电机 的音圈电机的不确定性；u为基于扩张状态观测器的PD控制器；w_m∈R⁶为电机中外部 振动引起的干扰向量；J为雅克比矩阵；i_m为音圈电机线圈的电流强度；为i_m的一阶 导数；

所述的步骤二中Stewart平台的六个执行机构的动力学模型的推导过程如下：

考虑音圈驱动电机的电压平衡方程，Stewart平台的六个执行机构的动力学模型如式 (17)所示：

$L{\stackrel{·}{i}}_m+{\mathrm{Ri}}_m+K_{e}J\stackrel{·}{\chi }+{\Delta }_m=u+w_m---\left(17\right)$

其中，Δ_m∈R⁶表示音圈电机的不确定性；

L＝diag([l_m1,l_m2,l_m3,l_m4,l_m5,l_m6]),l_mi(i＝1,…,6)表示电感系数；

R＝diag([r_m1,r_m2,r_m3,r_m4,r_m5,r_m6]),r_mi(i＝1,…,6)表示直流电机的电阻；

K_e＝diag([k_e1,k_e2,k_e3,k_e4,k_e5,k_e6]),k_ei(i＝1,…,6)表示反电动势；

u＝[u₁,u₂,…,u₆]^T,u_i(i＝1,…,6)；u表示控制电压，w_m∈R⁶表示由外部振动 引起的干扰向量，将会影响执行机构的性能；

为了简化问题的研究，做如下假设：

1)、在隔振应用中，Stewart平台的工作空间是很小的，因此，与平台位置有关的参 数可以被认为是不变的，特别的，转换矩阵[R₁]被认为是单位阵I₃，且向心力和柯氏加速 度项可以忽略；

2)、Stewart平台各个支杆的参数都是相同的，即：

$M_s=m_s{I}_6,\bar{B}={\mathrm{bI}}_6,\bar{K}={\mathrm{kI}}_6,R=r_m{I}_6,K_m=k_m{I}_6,L=l_m{I}_6,K_e=k_e{I}_6;$

其中，是单位阵；b为支杆的阻尼系数，B为阻尼系数矩阵，K_m为音圈驱 动电机的力矩系数，m_s为支杆质量；k_e为音圈电机反电动势矩阵中的元素；k为支杆的 刚度系数；为实数；

3)、将执行机构的动力学方程(17)代入Stewart平台的动力学方程(14)中，考虑假设(1)， 得到增广的动力学方程如式(18)所示：

$\begin{array}{c}LM\stackrel{···}{\chi }+\left(LB+RM\right)\stackrel{··}{\chi }+\left(LK+RB+K_m{K}_e{J}^{T}J\right)\stackrel{·}{\chi }\\ +RK\chi +L{\stackrel{·}{\Delta }}_s+{\mathrm{R\Delta }}_s+\left(J^T{K}_m\right){\Delta }_m\\ =\left(J^T{K}_m\right)u+L{\stackrel{·}{w}}_s+{\mathrm{Rw}}_s+\left(J^T{K}_m\right)w_m\end{array}---\left(18\right)$

由假设2)，进一步得到

$\begin{array}{c}M\stackrel{···}{\chi }+\left({\mathrm{bJ}}^{T}J+\frac{r_m}{l_m}M\right)\stackrel{··}{\chi }+\left(k+\frac{r_{m}b}{l_m}+\frac{k_m{k}_e}{l_m}\right)J^{T}J\stackrel{·}{\chi }\\ +\frac{r_{m}k}{l_m}{J}^{T}J\chi +\Delta =V+w\end{array}---\left(19\right)$

其中$\Delta ={\stackrel{·}{\Delta }}_s+\frac{r_m}{l_m}{\Delta }_s+\frac{1}{l_m}\left(J^T{K}_m\right){\Delta }_m$

$w={\stackrel{·}{w}}_s+\frac{r_m}{l_m}{w}_s+\frac{1}{l_m}\left(J^T{K}_m\right)w_m$

$V=\frac{1}{l_m}\left(J^T{K}_m\right)u$

基于立方体构型自身的一些优良特性，高度耦合的Stewart平台可以被解耦成6个单 入单出的通道，可以为每个通道设计单入单出的主动隔振控制器；

记式(19)为$M\stackrel{···}{\chi }+b_{s1}\stackrel{··}{\chi }+k_{s1}\stackrel{·}{\chi }+k_{s2}\chi +\Delta =V+w,$令$x_1=\chi ,x_2=\stackrel{·}{\chi },x_3=\stackrel{··}{\chi },$得到Stewart 平台的状态空间表示如式(20)所示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{·}{x}}_3=-M^{-1}{b}_{s1}{x}_3-M^{-1}{k}_{s1}{x}_2-M^{-1}{k}_{s2}{x}_1+M^{-1}V+M^{-1}\left(w-\Delta \right)\\ y_1=x_1\end{array}---\left(20\right)$

记为

$\stackrel{·}{x}=Ax+B_{1}V+B_{2}d---\left(21\right)$

其中，$A=\left(\begin{array}{ccc}0& I& 0\\ 0& 0& I\\ -M^{-1}{k}_{s2}& -M^{-1}{k}_{s1}& -M^{-1}{b}_{s1}\end{array}\right),B_1=B_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ M^{-1}\end{array}\right);$

步骤三、根据Stewart平台的动力学模型和Stewart平台的六个执行机构的动力学模 型计算得到Stewart平台的状态空间；

步骤四、由Stewart平台的状态空间，设计Stewart平台扩张状态观测器计算扩张状 态观测器确定扩张状态观测器对系统状态的观测误差为收敛的观测误差；

步骤五、根据扩张观测器的观测量和设计基于扩张状态观测器的PD控制器， 利用PD控制器抑制外界的干扰扰动从而进行Stewart平台的隔振控制；

其中，k_p为PD控制器的比例系数；k_d为PD控制器的微分系数；x₁＝χ；为x₂的观测状态，为x₄的观测状态；基于扩张状态观测器的PD控制器具体为：

$u=K_p{x}_1+K_d{\hat{x}}_2-{\hat{x}}_4---\left(7\right).$

本实施方式效果：

本实施方式考虑6自由度主被动隔振问题，设计了基于立方体构型的Stewart平台的 主被动隔振算法，首先建立以音圈电机为执行机构的Stewart平台的运动学和动力学模型 并对模型进行合理变换，将平台等效成6个单入单出的子系统，考虑到实际应用中的传感 器的数量和设备的成本问题，设计了基于扩张状态观测器的PD(proportiondifferentiation) 主被动隔振控制器，并给出了考虑扩张状态观测器收敛性时的参数设计准则，所设计的控 制算法与被动隔振相比，极大地提高了平台的隔振效果同时有效减少了所需传感器的数 量。

与上述算法相比，本实施方式具有以下优点：

①很多方法都没有考虑执行机构，而本实施方式详细建立了音圈电机作动器的动力学 方程；

②大部分控制方法都是基于关节空间进行设计的，控制精度有限，而本实施方式基于 工作空间进行控制，控制精度更高；

③本实施方式考虑基于工作空间设计的控制算法的平台广义速度的不可测性，采用扩 张状态观测器来观测广义速度信息，降低了实际应用中操作平台的复杂度和成本。

由图6～8可知，扩张状态观测器能在有限的时间内跟踪上系统的广义位置和速度信 号，且扩张出的状态可以估计出外部干扰。在只考虑被动隔振的情况下，本实施方式的立 方体构型的Stewart平台对宽频带内的正弦干扰和随机噪声干扰都有很好的隔振效果。加 入基于扩张状态观测器的PD主动隔振后，隔振效果都有明显的改善，稳态误差有一个数 量级的提升，尤其是对中高频的正弦干扰和随机噪声干扰。

通过本实施方式的建立Stewart平台的动力学模型和Stewart平台的六个执行机构的 动力学模型过程可以看到，考虑了平台的结构非线性，本实施方式的基于扩张状态观测器 的PD控制器设计给出的收敛条件中，给出具体的取值要求，避免了算法的任意性。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤二中 L＝diag([l_m1,l_m2,l_m3,l_m4,l_m5,l_m6])，l_mi为音圈电机，电感矩阵中的第i个元素；i＝1,…,6。 其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二中 R＝diag([r_m1,r_m2,r_m3,r_m4,r_m5,r_m6])；r_mi为音圈电机，电阻矩阵中的第i个元素；i＝1,…,6。 其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤二中 K_e＝diag([k_e1,k_e2,k_e3,k_e4,k_e5,k_e6])，k_ei为音圈电机，电机反电动势矩阵中的第i个元素； i＝1,…,6。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：步骤二中 u＝[u₁,u₂,…,u₆]^T，u_i是控制电压矩阵中第i个元素；i＝1,…,6。其它步骤及参数与具体 实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：步骤三中根据 Stewart平台的动力学模型和Stewart平台的六个执行机构的动力学模型计算得到Stewart 平台的状态空间的具体过程为：

(1)将执行机构的动力学方程(2)代入Stewart平台的动力学方程(1)中，得到公式(3)：

$\begin{array}{c}M\stackrel{···}{\chi }+\left({\mathrm{bJ}}^{T}J+\frac{r_m}{l_m}M\right)\stackrel{··}{\chi }+\left(k+\frac{r_{m}b}{l_m}+\frac{k_m{k}_e}{l_m}\right)J^{T}J\stackrel{·}{\chi }\\ +\frac{r_{m}k}{l_m}{J}^{T}J\chi +\Delta =V+w\end{array}---\left(3\right)$

其中,$\Delta ={\stackrel{·}{\Delta }}_s+\frac{r_m}{l_m}{\Delta }_s+\frac{1}{l_m}\left(J^T{K}_m\right){\Delta }_m$

$w={\stackrel{·}{w}}_s+\frac{r_m}{l_m}{w}_s+\frac{1}{l_m}\left(J^T{K}_m\right)w_m$

$V=\frac{1}{l_m}\left(J^T{K}_m\right)u$

其中，K_m为音圈驱动电机的力矩系数；为Δ_s的一阶导数；k_m为音圈驱动电机的 力矩系数；w、Δ和V为中间变量；k为支杆的刚度系数；k_e为音圈电机反电动势矩阵中 的元素；r_m＝[r_m1,r_m2,…,r_m6]，l_m＝[l_m1,l_m2,…,l_m6]；

(2)记式(3)为$M\stackrel{···}{\chi }+b_{s1}\stackrel{··}{\chi }+k_{s1}\stackrel{·}{\chi }+k_{s2}\chi +\Delta =V+w,$令$x_1=\chi ,x_2=\stackrel{·}{\chi },x_3=\stackrel{··}{\chi },$得到Stewart 平台的状态空间表示如式(4)所示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{·}{x}}_3=-M^{-1}{b}_{s1}{x}_3-M^{-1}{k}_{s1}{x}_2-M^{-1}{k}_{s2}{x}_1+M^{-1}V+M^{-1}\left(w-\Delta \right)\\ y_1=x_1\end{array}---\left(4\right)$

基于立方体构型自身的一些优良特性，高度耦合的Stewart平台可以被解耦成6个单 入单出的通道，可以为每个通道设计单入单出的主动隔振控制器；和分别为x₁、 x₂和x₃的导数；为χ的二阶导数，为χ的三阶导数；

其中，b_s1、y₁、k_s1和k_s2为中间变量。其它步骤及参数与具 体实施方式一至五之一相同。

具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六之一不同的是：步骤四中由 Stewart平台的状态空间，设计Stewart平台扩张状态观测器计算扩张状态观测器 确定扩张状态观测器对系统状态的观测误差为收敛的观测误差具体过程 为：

由Stewart平台的状态空间，设计Stewart平台扩张状态观测器如下：

(1)、$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+\frac{{\alpha }_1}{ϵ}\left(y_1-{\hat{x}}_1\right)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+\frac{{\alpha }_2}{{ϵ}^2}\left(y_1-{\hat{x}}_1\right)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_3={\hat{x}}_4+\frac{{\alpha }_3}{{ϵ}^3}\left(y_1-{\hat{x}}_1\right)-M^{-1}{b}_{s1}{x}_3-M^{-1}{k}_{s1}{x}_2-M^{-1}{k}_{s2}{x}_1+Bv\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_4=\frac{{\alpha }_4}{{ϵ}_4}\left(y_1-{\hat{x}}_1\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，为x₁的观测状态，为x₂的观测状态，为x₃的观测状态，为x₄的观 测状态；ε>0,α₁,α₂,α₃,α₄为PD控制器设计参数，Stewart平台扩张状态观测器增益α₁、 α₂、α₃和α₄；

多项式s⁴+α₁s³+α₂s²+α₃s+α₄满足Hurwitz条件；

其中，s为拉式变换中的复变量；

(2)、定义${\tilde{x}}_1{\mathrm{=x}}_1-{\hat{x}}_1,{\tilde{x}}_2=x_2-{\hat{x}}_2,{\tilde{x}}_3=x_3-{\hat{x}}_3,{\tilde{x}}_4=d-{\hat{x}}_4,$得到式(6)：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1={\tilde{x}}_2+\frac{{\alpha }_1}{ϵ}{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2={\tilde{x}}_3+\frac{{\alpha }_2}{{ϵ}^2}{\tilde{x}}_1\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_3={\tilde{x}}_4+\frac{{\alpha }_3}{{ϵ}^3}{\tilde{x}}_1-M^{-1}{b}_{s1}{x}_3-M^{-1}{k}_{s1}{x}_2-M^{-1}{k}_{s2}{x}_1+Bv\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_4=\frac{{\alpha }_4}{{ϵ}_4}{\tilde{x}}_1\end{array}---\left(6\right)$

定义误差η＝[η₁η₂η₃η₄]^T

其中，${\eta }_1=\frac{{\tilde{x}}_1}{{ϵ}^3},{\eta }_2=\frac{{\tilde{x}}_2}{{ϵ}^2},{\eta }_3=\frac{{\tilde{x}}_3}{ϵ},{\eta }_4={\tilde{x}}_4;$d为中间变量；d＝w-Δ；

(3)、并且当则扩张状态观测器对系统状态的观测误差为收敛的；其 中，λ_min(Q)为Q的最小特征值；Q为任意给定的正定对称矩阵中存在能够使得Lyapunov 方程成立的正定对称矩阵P；ε为扩张状态观测器参数；本步骤的目的是设计扩张状态观 测器，并必出收敛条件，扩张状态观测器不收敛，则设计过程不完整。其它步骤及参数与 具体实施方式一至六之一相同。

具体实施方式八：本实施方式与具体实施方式一至七之一不同的是：当 则扩张状态观测器对系统状态的观测误差为收敛的观测误差具体过程：

由于$\begin{array}{c}ϵ{\stackrel{·}{\eta }}_1=\frac{{\stackrel{·}{x}}_1-{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1}{{ϵ}^2}=\frac{1}{{ϵ}^2}\left(x_2-\left({\hat{x}}_2\frac{{\alpha }_1}{ϵ}\left(y_1-{\hat{x}}_1\right)\right)\right)\\ =\frac{1}{{ϵ}^2}\left(x_2-{\hat{x}}_2\frac{{\alpha }_1}{ϵ}\left(y_1-{\hat{x}}_1\right)\right)\\ =-\frac{1}{{ϵ}^3}\left(x_1-{\hat{x}}_1\right)+\frac{1}{{ϵ}^2}\left(x_2-{\hat{x}}_2\right)=-{\alpha }_1{\eta }_1+{\eta }_2\end{array}---\left(24\right)$

同理可得

$\begin{array}{c}ϵ{\stackrel{·}{\eta }}_2=-{\alpha }_2{\eta }_1+{\eta }_3\\ ϵ{\stackrel{·}{\eta }}_2=-{\alpha }_3{\eta }_1+{\eta }_4\\ ϵ{\stackrel{·}{\eta }}_4=-{\alpha }_4{\eta }_1+ϵ\stackrel{·}{d}\end{array}---\left(25\right)$

得到观测误差状态方程如式(26)所示：

$ϵ\stackrel{·}{\eta }=\bar{A}\eta +ϵ\bar{B}\stackrel{·}{d}---\left(26\right)$

其中，$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}-{\alpha }_1& 1& 0& 0\\ -{\alpha }_2& 0& 1& 0\\ -{\alpha }_3& 0& 0& 1\\ -{\alpha }_4& 0& 0& 0\end{array}\right),\bar{B}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\bar{B}=diag\left(\left[b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6\right]\right),$i＝1,…,6，b_i为第i 个支杆的阻尼系数；为η的一阶导数；η＝[η₁,η₂,η₃,η₄],为d的一阶导数；

则特征方程为

$|\lambda I-\bar{A}|=\left(\begin{array}{cccc}\lambda +{\alpha }_1& -1& 0& 0\\ {\alpha }_2& \lambda & -1& 0\\ {\alpha }_3& 0& \lambda & -1\\ {\alpha }_4& 0& 0& \lambda \end{array}\right)=0---\left(27\right)$

且λ⁴+α₁λ³+α₂λ²+α₃λ+α₄＝0(28)

其中，λ表示矩阵特征值，I表示单位矩阵；

通过选择α₁、α₂、α₃和α₄使为Hurwitz，则对任意给定的正定对称矩阵Q中存在正 定对称矩阵P能够使得式(29)表示的Lyapunov方程成立：

${\bar{A}}^{T}P+P\bar{A}+Q=0---\left(29\right)$

选取Lyapunov函数为V₀＝εη^TPη，对V₀＝εη^TPη求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_0=ϵ{\stackrel{·}{\eta }}^{T}P\eta +{\mathrm{ϵ\eta }}^{T}P\stackrel{·}{\eta }\\ ={\left(A\eta +ϵ\bar{B}\stackrel{·}{d}\right)}^{T}P\eta +{\eta }^{T}P\left(\bar{A}\eta +ϵ\bar{B}\stackrel{·}{d}\right)\\ ={\eta }^T{\bar{A}}^{T}P\eta +ϵ{\left(\bar{B}\stackrel{·}{d}\right)}^{T}P\eta +{\eta }^{T}P\bar{A}\eta +{\mathrm{ϵ\eta }}^{T}P\bar{B}\stackrel{·}{d}\\ ={\eta }^T\left({\bar{A}}^{T}P+P\bar{A}\right)\eta +2{\mathrm{ϵ\eta }}^{T}P\bar{B}\stackrel{·}{d}\\ \le -{\eta }^{T}Q\eta +2ϵ\left|\right|P\bar{B}\left|\right|·\left|\right|\eta \left|\right|·\left|\stackrel{·}{d}\right|\\ \le -{\lambda }_{\min }\left(Q\right)\left|\right|\eta |{|}^2+2ϵL|\left|P\bar{B}\right|\left|\right|\left|\eta \right||\end{array}---\left(30\right)$

由得到扩张状态观测器的收敛条件为：

$\left|\right|\eta \left|\right|\le \frac{2ϵL\left|\right|P\bar{B}\left|\right|}{{\lambda }_{min}\left(Q\right)}---\left(31\right)$

由式(31)可见，误差η的收敛快慢由ε决定，ε越小，η越快收敛。其它步骤及参数与 具体实施方式一至七之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例一种基于扩张状态观测器的Stewart平台主动隔振PD控制方法，具体是按 照以下步骤制备的：

本发明采用如下仿真参数：

1)载荷信息

载荷质量：m＝12.4kg

2)平台信息

上平台和有效载荷的转动惯量：I_sx＝I_sy＝0.157kg·m²,I_sz＝0.313kg·m²

每个支杆标称长度：L＝0.2m

每个支杆质量：m_s＝1kg

每个支杆的阻尼系数和刚度系数分别为：b＝19.1kg/s,k＝2000N/m

音圈电机的参数：力矩系数k_m＝68.9N/A，电感l_m＝4.57mH，直流电机阻抗 r_m＝6.05Ω，反电动势系数k_e＝68.9V·s/m

3)控制器设计参数

扩张状态观测器是高增益观测器，如果扩张状态观测器的初始值与对象的初值不同， 对于很小的ε，也会产生峰值现象，造成扩张状态观测器的收敛效果差。为了防止峰值现 象，设计如下的ε：

$\frac{1}{ϵ}=R=\left(\begin{array}{c}100t^3,0\le t\le 1\\ 100,t>1\end{array}\right)---\left(53\right)$

因此，基于扩张状态观测器的PD主动隔振控制器为：

$u=K_p{x}_1+K_d{\hat{x}}_2-{\hat{x}}_4---\left(54\right)$

扩张状态观测器增益：α₁＝4,α₂＝16,α₃＝4,α₄＝1；

PD控制器参数：k_p＝500,k_d＝500；

4)仿真分析

通过选取有代表性的宽频带的正弦信号干扰和随机噪声进行仿真验证，结果如图 3(a)～图14(f)所示：

由图6(a)-8(f)可知，扩张状态观测器能在有限的时间内跟踪上系统的广义位置和速度 信号，且扩张出的状态可以估计出外部干扰。在只考虑被动隔振的情况下，本文的立方体 构型的Stewart平台对宽频带内的正弦干扰和随机噪声干扰都有很好的隔振效果。加入基 于扩张状态观测器的PD主动隔振后，隔振效果都有明显的改善，稳态误差有一个数量级 的提升，尤其是对中高频的正弦干扰和随机噪声干扰。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术 人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发 明所附的权利要求的保护范围。