单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析方法

摘要

本发明提供一种单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析方法，具体过程为：第一步、将单入单出自抗扰控制系统转换为受扰的间接鲁里叶系统；第二步、将不考虑扰动的间接鲁里叶系统定义为标称系统，利用Popov判据判断标称系统是否稳定，在标称系统稳定的情况，进入第三步；第三步、求解黎卡提代数方程，计算间接鲁里叶系统鲁棒稳定的界；第四步，构建Lyapunov函数，根据所述稳定的界，估计单入单出自抗扰控制系统的吸引域，该吸引域即为自抗扰控制系统鲁棒稳定的区域。本发明可实现对单入单出自抗扰控制系统的鲁棒性进行准确分析。

说明书

技术领域

本发明属于自动化技术领域，具体涉及一种单入单出自抗扰控制系统鲁棒 稳定性分析方法。

背景技术

自抗扰控制是中科院韩京清研究员提出的一种新型实用控制技术，其独特 的控制理念已得到了人们的认可，其优异的控制性能已为广泛的理论分析和实 际应用所证实。韩京清提出的非线性自抗扰控制由于在扩张状态观测器和控制 律设计中使用了非线性函数，因此在抗干扰能力、控制精度等方面具有一定的 优势。但非线性函数的引入使得系统运动变得更加复杂、稳定性和性能分析更 为困难。鉴于此，美国克利夫兰州立大学高志强教授进一步提出一种线性化、 参数带宽化的改进自抗扰控制。这种线性自抗扰控制已经能满足大部分控制需 要，并且稳定性和性能分析都相对简单，极大地促进了自抗扰控制的传播和应 用。总而言之，线性/非线性自抗扰控制各有优劣且都需要进一步展开研究。

稳定性(包括频域和时域稳定性)是系统分析和设计的首要问题，目前自 抗扰控制系统的稳定性问题解决的还不够彻底。总体来说，频域稳定性分析主 要是针对被控对象线性标称模型的自抗扰控制系统展开；时域稳定性分析通常 基于一个先验的假设条件(总扰动或者其导数有界)且由于包含许多参数限制 条件而难以应用。由于工程实践中非线性、不确定性及扰动大量存在，定量的 鲁棒稳定性分析与设计显得尤为重要，本发明基于总扰动满足线性增长约束这 一常用假设条件，为解决这一问题提供一种实用、简便的方法。

发明内容

有鉴于此，本发明针对现有技术的缺陷，为解决单入单出自抗扰控制系统 鲁棒稳定性分析的问题，提出一种单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析方 法。

实现本发明的技术方案如下：

一种单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析方法，具体过程为：

第一步、将单入单出自抗扰控制系统转换为受扰的间接鲁里叶系统；

第二步、将不考虑扰动的间接鲁里叶系统定义为标称系统，利用Popov判 据判断标称系统是否稳定，在标称系统稳定的情况，进入第三步；

第三步、求解黎卡提代数方程，计算间接鲁里叶系统鲁棒稳定的界；

第四步，构建Lyapunov函数，根据所述稳定的界，估计单入单出自抗扰控 制系统的吸引域，该吸引域即为自抗扰控制系统鲁棒稳定的区域。

有益效果

(1)本发明将非线性自抗扰控制系统转化为间接鲁里叶系统，通过波波夫 判据分析标称系统的稳定性；基于一种常用假设——扰动服从线性增长约束， 在判定标称系统绝对稳定的基础上进一步结合李雅普诺夫判据分析受扰自抗扰 控制系统(受扰间接鲁里叶系统)的鲁棒稳定性，在扰动形式已知的情况下可 进一步求解吸引域；在分析标称系统稳定性时，还可以进行自抗扰控制器再设 计，提高系统稳定性。

(2)本发明同时适用于非线性自抗扰控制构成的控制系统以及任何可以转 化为间接鲁里叶系统的鲁棒稳定性分析，且去掉了先验性的假设条件(基于一 种常用的假设——扰动服从线性增长约束)。

(3)本发明能同时适用标称系统和存在各种非线性、不确定性及扰动(统 称为“总扰动”)的控制系统的鲁棒稳定性分析，且在总扰动已知的情况下能够 得到一个估计的吸引域；对于标称系统，直接利用具有几何意义的Popov判据 在频域判定稳定性具有直观、简明的优点。

(4)本发明兼顾考虑了鲁棒稳定性和系统控制性能的设计问题。

附图说明

图1为本发明鲁棒稳定性分析方法的流程图；

图2为自抗扰控制系统结构框图；

图3为受扰的间接鲁里叶系统；

图4为非线性质量-弹簧-阻尼机械系统；

图5为Popov图；

图6为吸引域估计。

具体实施方式

下面结合附图对本发明方法的实施方式做详细说明。

本发明提供一种单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析方法，该方法同 时适用于线性/非线性自抗扰控制系统，主要工具是Popov判据和Lyapunov间 接法。Popov(波波夫)判据是一种频域判据，适用于鲁里叶系统(Lurie system) 绝对稳定性判定；Lyapunov(李雅普诺夫)间接法是一种时域法，广泛适用于线 性/非线性系统的稳定性判定。两者通过频域定理——Kalman-Yakubovich引理 (频率定理)——建立联系，本发明正是利用这种联系来分析控制系统的鲁棒 稳定性。

如图1所示，本发明一种单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析方法， 具体过程为：

第一步、将单入单出自抗扰控制系统转换为受扰的间接鲁里叶系统；

第二步、将不考虑扰动的间接鲁里叶系统定义为标称系统，利用Popov判 据判断标称系统是否稳定，在标称系统稳定的情况，进入第三步；

第三步、求解黎卡提代数方程，计算间接鲁里叶系统鲁棒稳定的界；

第四步，构建Lyapunov函数，根据所述稳定的界，估计单入单出自抗扰控 制系统的吸引域，该吸引域即为自抗扰控制系统鲁棒稳定的区域。

吸引域是一个重要概念，代表系统能够稳定运行的控制系统状态变量区域， 本发明能够快速估计出单入单出自抗扰控制系统的吸引域，为系统的稳定运行 提供指导。

本发明第一步将包含扰动的单入单出自抗扰控制系统转换为受扰的间接鲁 里叶系统的具体过程为：

101、单入单出自抗扰控制系统构建；

单入单出自抗扰控制系统包括被控对象和自抗扰控制器；

典型单入单出被控对象可描述为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{x}}_n=f(x_1,x_2,...,x_n,w)+\mathrm{bu}\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，x_i(i＝1,2,...n)表示表示单入单出被控对象的状态，代表相应状态 的一阶导数，n表示单入单出被控对象状态变量的总数，w为外部扰动， f(x₁,x₂,…,x_n,w)代表作用在上的内部动态和外部扰动的总和，y为输出量，u为 控制量，b是控制通道增益。

进一步将式(1)改写为如下形式

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{x}}_n=f_1\left(x\right)+g(x,u)+b_{0}u\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，b₀是控制通道增益b的一个近似估计值；f₁(x)＝a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₁x_n(a_i,i＝1,2...,n代表各状态增益)代表已建模线性动态；g(x,u)代表非线性动态、 未建模动态、内外扰动及不确定动态。

针对式(2)所示单入单出被控对象，设计自抗扰控制器，所述自抗扰控制 器主要包括跟踪微分器、扩张状态观测器和误差反馈控制律三部分：

1)跟踪微分器设计如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{·}{v}}_2=v_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{v}}_{n-1}=v_n\\ {\stackrel{·}{v}}_n={\lambda }^n\psi (v_1-r,\frac{v_2}{\lambda },...,\frac{v_n}{{\lambda }^{n-1}})\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中，r代表跟踪微分器输入，v_i(i＝1,2,…,n)代表跟踪微分器输出，λ是可调的 速度因子，代表快速跟踪函数。

2)扩张状态观测器设计如下：

其中，扩张状态观测器输入是被控对象输出y和控制输入u；其输出为 z_i(i＝1,2,...,n+1)，其中，z_n+1提供g(x,u)的一个估计值；β_i(i＝1,2,…,n+1)代表扩张状 态观测器增益；e代表被控对象输出y与扩张状态观测器输出z₁的偏差。值得注 意的是，已建模线性动态f₁(x)已经包含在扩张状态观测器中而无需估计，这减 轻了扩张状态观测器的负担。扩张状态观测器的通常取如下 非线性函数：

其中，α_i(i＝1,2,…,n+1)和δ_i(i＝1,2,…,n+1)为预先设定的常数，sgn()表示符号函数。 假设取α₁＝α₂＝…α_n+1，δ₁＝δ₂＝…δ_n+1，此时且令

3)误差反馈控制律设计如下：

$u=\frac{u_0-z_{n+1}}{b_0}---\left(6\right)$

其中，

$u_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_i(v_i-z_i)---\left(7\right)$

其中，k_i为设定的增益系数。

根据上述单入单出被控对象及自抗扰控制器构建的自抗扰控制系统结构框 图如附图2所示。

102、系统转换

假设A1：跟踪微分器输入及输出均为零。

令X＝[x₁,x₂,…,x_n]^T,Z＝[z₁,z₂,…,z_n]^T。将方程(6)和(7)代入方程(2)，可 得

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{X}=A_{11}X+A_{12}Z+A_{13}(z_{n+1}-g(x,u))\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(8\right)$

其中，

$A_{11}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ 0& 0& ...& 0& 1\\ a_n& a_{n-1}& ...& a_2& a_1\end{array}\right),A_{12}=\left(\begin{array}{cccc}0& ...& 0& 0\\ & .& & \\ & .& & \\ & .& & \\ 0& ...& 0& 0\\ -k_1& -k_2& ...& -k_n\end{array}\right),$表 示n维空间。

将方程(6)和(7)代入方程(4)，可得

其中，

$A_{21}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& ...& 0\\ 0& 0& 0& ...& 0\\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ 0& 0& ...& 0& 0\\ a_n& a_{n-1}& ...& a_2& a_1\end{array}\right),A_{22}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ 0& 0& ...& 0& 1\\ -k_1& -k_2& ...& -k_{n-1}& -k_n\end{array}\right),$A₂₃＝[β₁,β₂,…β_n]^T。

综合式(8)和(9)，可得

其中，

令Y＝A₁₁X+A₁₃z_n+1，e＝σ，可得

将式(12)进一步表示为

其中，$\tilde{x}={\left(\begin{array}{cc}Y& Z\end{array}\right)}^T,$E(x,u)＝[-A₁₁A₁₃g(x,u) 0]^T，$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{11}{A}_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}{A}_{13}{\beta }_{n+1}\\ A_{23}\end{array}\right),$$c=\left(\begin{array}{ccc}{c_1}^T& {A_{11}}^{-1}& {c_2}^T\end{array}\right),\rho =-{c_1}^T{A_{11}}^{-1}{A}_{13}{\beta }_{n+1}=-\frac{{\beta }_{n+1}}{a_n}.$

式(12)即为受扰的间接鲁里叶系统，其结构框图如附图3所示。将受扰 的自抗扰控制系统转换为受扰的间接鲁里叶系统，进而转入步骤二。

本发明第二步中利用Popov判据判断标称系统是否稳定的过程为：

利用Popov判据分析不考虑扰动的间接鲁里叶系统(标称系统)的稳定性；

假设A2：(A,B)可控，(A,c^T)可观测；

假设A3：矩阵A是Hurwitz矩阵；

假设A4：存在标量r′＞0，使得式(13)成立：

其中，G(jω)是标称系统的传递函数；

若假设A2-A4成立，则可判定标称系统是绝对稳定的。

本发明第三步求解黎卡提代数方程，得到系统鲁棒稳定的界。

令

$\gamma =\frac{2\mathrm{\alpha \rho }}{{\mu }_2}+r^{\prime }\rho +r^{\prime }{c}^{T}B---\left(14\right)$

$v=\mathrm{\alpha \rho c}+\frac{1}{2}{r}^{\prime }{A}^{T}c---\left(15\right)$

其中，取α＝1/(2ρ)，分别可求得γ、v的取值；

选定一个正定矩阵W和一个正实数ε，求得满足如下黎卡提代数方程的一 个正定矩阵P：

${\mathrm{PA}}_r+A_r^{T}P-P{R}_{r}P+Q_r=0---\left(16\right)$

其中，$A_r=A-\frac{1}{\gamma }{\mathrm{Bv}}^T,Q_r=\mathrm{ϵW}+\frac{{\mathrm{vv}}^T}{\gamma },R_r=-\frac{{\mathrm{BB}}^T}{\gamma }.$

进一步选择一个正定矩阵W₀，使得成立εW＝εW₀+δ′I，可得到δ′的值。

假设A6：扰动项E(x,u)有界并且满足如下不等式：

其中，M代表属于空间一个有界集合，||·||₂代表向量的2范数，||·||_i2代表矩阵 的谱范数。将δ′、P、r′、μ₂及c代入式(17)，可求得鲁棒稳定的界β。

本发明第四步根据所述稳定的界，估计单入单出自抗扰控制系统的吸引域， 的具体过程为：

构建如下Lyapunov李雅普诺夫函数：

将$\tilde{x}={\left(\begin{array}{cc}Y& Z\end{array}\right)}^T,$Y＝A₁₁X+A₁₃z_n+1，σ＝z₁-x₁，$\xi =\frac{z_{n+1}}{{\beta }_{n+1}},\rho =-\frac{{\beta }_{n+1}}{a_n}$及矩阵P、函数代入式(18)，最终可表示为状态X、Z、z_n+1的正定函数，即V(X,Z,z_n+1)。

根据约束(17)，得到

其中，根据式(19)即可得到一个估计的吸引域。

自此，就完成了单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析。

本发明亦可用于稳定性设计，主要体现在ESO中已建模线性动态f₁(x)的灵 活运用上。当矩阵A不是Hurwitz矩阵，无法保证标称系统的绝对稳定性时，此 时调整f₁(x)使得矩阵A是Hurwitz矩阵；由于通过合适的模型补偿有可能使得 原本不是Hurwitz的矩阵A转换为Hurwitz，这就使得原本只能局部稳定的标称 系统转换为全局稳定的标称系统。后面的实例将展示如何提高系统的稳定性。

本发明若扩张状态观测器中函数参数δ_i、α_i不相同，即α₁≠α₂≠…α_n+1， δ₁≠δ₂≠…δ_n+1，使得此时，取 并且令式(4)中都用取代，同时，式(13)中进而可分析自抗扰控制系统的稳定 性及鲁棒稳定性。

线性自抗扰控制器指的是扩张状态观测器中取为线性函数e，或者说当 中取α_i＝1，δ_i任意值等价于这样一个线性函数，因此本发 明同样适用于线性自抗扰控制器，即取或者且取α_i＝1，δ_i取任意值，可得μ₂＝1，进而可分析自抗扰控制系统的稳定性及鲁棒稳定性。

如果受扰的自抗扰控制系统是稳定的，且受到的扰动g(x,u)是线性的，那 么该系统是全局稳定的。

实例：

下面以非线性质量-弹簧-阻尼机械系统为被控对象及自抗扰控制器构成的 自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析和设计为例，展示本发明在实际中的应用过程。 按照发明步骤依次实现：第一步、转换为受扰的间接鲁里叶系统；第二步、判 定标称系统的稳定性；第三步、求得系统鲁棒稳定的界；第四步、估计吸引域。

第一步、转换为受扰的间接鲁里叶系统。

1、设计自抗扰控制器

非线性质量-弹簧-阻尼机械系统物理实现如附图4所示，其数学模型如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=-3x_1-{5x}_2+x_1^3+u\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(20\right)$

其中，x₁代表位置，x₂代表速度，u代表控制量，y代表输出。

鉴于跟踪微分器是一个相对独立的结构，不影响系统的稳定性，且根据假 设A1不再设计跟踪微分器。

鉴于被控对象是二阶系统，设计一个三阶非线性ESO如下：

$\left(\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{·}{z}}_1=z_2-{\beta }_1·\mathrm{fal}(e,{\alpha }_1,{\delta }_1)\\ {\stackrel{·}{z}}_2=z_3-{\beta }_2·\mathrm{fal}(e,{\alpha }_2,{\delta }_2)+u\\ {\stackrel{·}{z}}_3=-{\beta }_3·\mathrm{fal}(e,{\alpha }_3,{\delta }_3)\end{array}\right)---\left(21\right)$

误差反馈控制律设计成如下形式：

u＝k_p(v₁-z₁)+k_d(v₂-z₂)-z₃    (22)

此处，根据假设A1，v₁、v₂均为零。

仿照线性自抗扰控制器参数带宽化整定方法，令ω_o＝20，ω_c＝10，于是β₀₁＝3ω₀，k_d＝2ω_c。fal(e)函数的参数取α₁＝α₂＝α₃＝0.25， δ₁＝δ₂＝δ₃＝0.01。

2、系统转换

直接将相关变量及参数代入式(12)，可得

第二步、判定标称系统的稳定性。

将相关参数取值代入式(23)，满足假设A2、A3。进一步求得标称系统的 传递函数：

$G\left(s\right)=\frac{60\times (s^2+11.28s+53)(s^2+33.72s+1510)}{s(s+4.962)(s+0.684)(s^2+19.35s+530.3)}---\left(24\right)$

G(jω)的Popov图如附图5所示。Popov直线与横坐标交于点-1/μ₂+j0(1/μ₂＝0.32)， 其斜率满足r′≤0.7时，满足假设A4。据此，判定该标称系统是绝对稳定的。

第三步、求得系统鲁棒稳定的界。

取r′＝0.1，根据式(14)、(15)得到v＝[0.783,0.167,0.500,0.050]^T，γ＝6.03。 令

$\mathrm{ϵW}=\left(\begin{array}{cccc}200& 0& 0& 0\\ 0& 200& 0& 0\\ 0& 0& 200& 0\\ 0& 0& 0& 200\end{array}\right),$

求解黎卡提方程式(16)可得

$P={10}^3\times \left(\begin{array}{cccc}0.025& -0.005& -0.111& -0.028\\ -0.005& 0.002& 0.045& 0.011\\ -0.111& 0.045& 1.488& 0.231\\ -0.0278& 0.011& 0.231& 0.648\end{array}\right).$

令δ′＝200，根据不等式约束(17)，可取β＝0.065。

第四步、估计吸引域。

根据鲁棒稳定界β＝0.065，可得

其中，

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1=x_2\\ {\tilde{x}}_2=-{3x}_1-{5x}_2-z_3\\ {\tilde{x}}_3=z_1\\ {\tilde{x}}_4=z_2\end{array}\right)---\left(25\right)$

构建李雅普诺夫函数为

将式(25)以及σ＝z₁-x₁，ξ＝z₃/β₃及P、ρ、r′取值代入式(26)，可得

V(X,Z,z₃)＝2(z₁-x₁)^1.25/25+46x₁x₂+490x₂-34x₁z₂+6.2x₁z₃

(27)

-1876z₁-335z₂+64z₃+18.6x₁²-137x₁z₁+z₃²/48000

式(27)满足

Ω_c＝{x∈R³|V(X,Z,z₃)≤c}    (28) 其中，$c\le \underset{\left\{(1+a_1^2{\left(x_1^3\right)}^2=0.065(x_2^2+{({-3x}_1-{5x}_2-z_3)}^2+z_1^2+2z)\right\}}{\min }V(X,Z,z_3)=4.35,$保证Ω_c包含在集 合$\{(1+a_1^2){\left(x_1^3\right)}^2\le 0.065(x_2^2+{(-{3x}_1-{5x}_2-z_3)}^2+z_1^2+z_2^2)\}$中。取c＝4.35，可得到估计的被控 对象状态变量x₁、x₂吸引域如附图6所示。

如果被控对象数学模型变为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=-3x_1-x_2+x_1^3+u\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(29\right)$

自抗扰控制器在同一组参数下，矩阵A将不再是Hurwitz，本文的方法将不 再适用，并且标称系统通过圆判据判定为有限域绝对稳定。如果扩张状态观测 器中f₁(x)仍取为-3x₁-5x₂而不取系统真实的线性动态-3x₁-x₂，标称系统的绝对 稳定性可得到保证，本文方法仍可继续使用，并且对控制性能并不会明显的影 响。因此，扩张状态观测器中灵活运用线性动态可以提高自抗扰控制系统的稳 定性。