考虑J2项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法

摘要

本发明提供一种考虑J2项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法，包括J2项引力矢量的分解以及自由段弹道偏差解析预报模型推导，通过J2项引力矢量的分解得到不同坐标轴方向上的摄动力的表达式；根据状态空间摄动理论，将分解后的J2项引力矢量表达式带入导弹自由飞行段弹道偏差的积分求解表达式，积分即得到每一项偏差的完整解析表达式。本发明方法相对于现有技术中的其它方法，该方法的解算耗时在10‑5s量级，任意射向下的位置计算误差均小于50米，且计算结果在惯性系中表示，可直接参与弹上制导计算而无需额外的坐标转换。

说明书

技术领域

本发明涉及飞行动力学技术领域，特别地，涉及一种考虑地球J₂项影响的导弹自由飞行段弹道偏差解析预报方法。

背景技术

自由飞行段是弹道导弹整个飞行段中飞行时间最长的一段，约占总飞行时间的90％以上。由于飞行高度较高，弹道导弹在自由飞行段主要受地球中心引力的作用，其飞行轨迹近似为椭圆轨道的一部分，但由于摄动因素(如地球非球型引力、稀薄大气阻力等)的存在，其真实轨迹又会偏离标准椭圆轨道。为保证弹道导弹的命中精度，在进行发动机关机控制时需要对摄动条件下的自由飞行段弹道偏差进行快速预报。实际上，考虑摄动因素的大气层外飞行器轨道预报是轨道动力学领域的经典问题之一，即初值问题。针对这一问题的经典理论主要有：平根数法、fg级数分解法、非正交分解法以及自适应变步长数值积分方法等。平根数法在用于近地卫星轨道预报时效果较好，但针对弹道导弹自由段弹道等亚轨道预报问题时，该方法的精度则会明显下降；fg级数法是以飞行时间为自变量，在标准椭圆弹道上进行泰勒展开，在一定合理近似的基础上，推导出考虑J₂项的解析表达式，但该方法只适用于短时间外推，不能用于弹道导弹自由段弹道的解算；非正交分解法是我国学者李连仲于1982年提出了一种考虑地球J₂项摄动的导弹自由段弹道解析计算方法，已被应用于考虑J₂项影响的闭路制导在线补偿方法中，但该方法不能保证任意射向下弹道预报的精度均小于100米；自适应变步长数值积分法是当前轨道精确预报的最常用方法，通过自适应条件步长，可极大提升传统定步长轨道数值积分的效率，但在弹道导弹弹上制导周期通常小于20ms的条件下，仍然有必要研究精度较高的解析算法。

针对当前各常用轨道/弹道预报算法的不足，设计一种新的、考虑地球J₂项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法具有重要意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种考虑J₂项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法，包括J₂项引力矢量的分解以及自由段弹道偏差解析预报模型推导，通过J₂项引力矢量的分解得到不同坐标轴方向上的摄动力的表达式；根据状态空间摄动理论，将分解后的J₂项引力矢量表达式带入导弹自由飞行段弹道偏差的积分求解表达式，积分即得到每一项偏差的完整解析表达式。相对于现有技术中的其它方法，该方法的解算耗时在10^-5s量级，任意射向下的位置计算误差均小于50米，且计算结果在惯性系中表示，可直接参与弹上制导计算而无需额外的坐标转换。具体技术方案如下：

一种考虑J₂项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法，包括J₂项引力矢量的分解以及自由段弹道偏差解析预报模型推导；

J₂项引力矢量的分解得到不同坐标轴方向上的摄动力如表达式8)：

式中：δa_r、δa_β和δa_z分别表示J₂项引力矢量在轨道柱坐标系中r轴、β轴和z方向上的分量；r为地球半径；

s_r＝-3K,s_β＝K,s_z＝K；

μ为地球引力常数，a_e为地球赤道平均半径；

p_i为常系数，i取0,1,2,3,4，具体如下：

为P点的纬度，σ为侧向角，α_A为A点在极点坐标系中的经度，f₀表示A点处的真近点角，即初始真近点角；

q₁和q₂如下：

自由段弹道偏差解析预报模型推导具体是：

根据状态空间摄动理论，导弹自由飞行段弹道偏差的积分求解表示式为表达式9)：

式中：△v_r(f)、△v_β(f)和△v_z(f)分别为弹道状态偏差速度矢量在轨道柱坐标系中沿r轴、β轴和z方向的分量；△r(f)和△z(f)分别为弹道状态偏差位置矢量在轨道柱坐标系中沿r轴和z方向的分量；△t(f)为实际飞行时间与标准二体弹道飞行时间之差；h为二体弹道平面对应的动量矩矢量的模；表示真近点角为ξ时对应的标准二体弹道地心距，即p表示二体弹道的半通径，e表示二体弹道的偏心率；

μ为地球引力常数；

将表达式8)代入表达式9)，并积分即得每一项偏差的完整解析表达式10)-15)：

式中：

Λ_i,j如表1所示：

表1函数Λ_i,j的表达式统计表

以上技术方案中优选的，J₂项引力矢量的分解，具体是：

令U₂表示地球J₂项引力势，在地球惯性系中J₂项引力势为表达式1)：

其中：μ为地球引力常数，a_e为地球赤道平均半径，J为常数且r为地球半径，为地球纬度；

根据球面三角学将表达式1)的自变量由地心纬度转换为真近点角f；取N为天球坐标系的北天极，大圆弧为由导弹关机点参数确定的标准二体弹道在球面上的投影，曲线AB表示导弹受摄运动轨迹在球面上的投影，直线OP垂直于平面OAB^*，α_A、△f分别为平面POC与POA的二面角和平面POA与POB^*的二面角，分别为A点的纬度和P点的纬度，λ_A和λ_P分别为A点和P点的经度，则有：

在球面三角形ANP中，得表达式2)-4)：

其中：γ为关机点A对应的方位角，α_A为A点在新极点坐标系中的经度；

在球面三角形BPN中，得表达式5)：

式中：σ为侧向角；f₀表示A点处的真近点角，即初始真近点角；f表示弹上任意时刻对应的真近点角，这里P即表示任意点；

将表达式5)带入表达式1)，即得到J₂项引力势关于真近点角的函数为表达式6)：

分别求U₂(f)关于r、f、σ的偏导数，即得到J₂项引力矢量在轨道柱坐标系中的表达式为表达式7)：

基于二体标准弹道进行计算，此时σ＝0，表达式7)中的如下系数退化为零，即

将不同坐标轴方向上的摄动力统一用表达式8)表示：

除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是实施例中轨道柱坐标系示意图；

图2是实施例中球面角关系图；

图3是实施例中J₂项引力对不同轨道的影响特性；

图4是本发明的考虑J₂项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法与平根数法相对于数值积分结果的计算残差对比图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以根据权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。

实施例：

一种考虑地球J₂项影响的导弹自由段弹道偏差解析预报方法，包括J₂项引力矢量的分解和自由段弹道偏差解析预报模型推导，详情如下：

1、J₂项引力矢量的分解，具体是：

令U₂表示地球J₂项引力势，在地球惯性系中J₂项引力势为表达式1)：

其中：μ为地球引力常数，a_e为地球赤道平均半径，J为常数且r为地球半径，为地球纬度。

根据球面三角学将表达式1)的自变量由地心纬度转换为真近点角f。如图2所示，N为天球坐标系的北天极，大圆弧为由导弹关机点参数确定的标准二体弹道在球面上的投影，曲线AB表示导弹受摄运动轨迹在球面上的投影，直线OP垂直于平面OAB^*。α_A、△f分别为平面POC与POA的二面角和平面POA与POB^*的二面角。分别为A点的纬度和P点的纬度，λ_A和λ_P分别为A点和P点的经度。

在球面三角形ANP中，可得表达式2)-4)：

其中：γ为关机点A对应的方位角，α_A可以视为A点在新极点坐标系中的经度，具体可见图2。

在球面三角形BPN中，可得表达式5)：

式中：σ为侧向角；f₀表示A点处的真近点角，即初始真近点角；f表示弹上任意时刻对应的真近点角，这里P即表示任意点。

将表达式5)带入表达式1)，即可得到J₂项引力势关于真近点角的函数为表达式6)：

其中：μ为地球引力常数，a_e为地球赤道平均半径；

p_i为常系数，i取0,1,2,3,4，具体是：

σ为侧向角。

分别求U₂(f)关于r、f、σ的偏导数，即得到J₂项引力矢量在轨道柱坐标系(轨道柱坐标系的定义如图1所示)中的表达式为表达式7)：

其中，δa_r、δa_β和δa_z分别表示J₂项引力矢量在轨道柱坐标系中r轴、β轴和z方向上的分量。

基于状态空间摄动法的弹道误差传播解析解推导过程中，摄动力并非基于当前导弹真实位置进行计算，而是基于二体标准弹道进行计算，此时σ＝0，表达式7)中的如下系数退化为零，即

将不同坐标轴方向上的摄动力统一用表达式8)表示：

式中：

s_r＝-3K,s_β＝K,s_z＝K；

其中，q₁和q₂如下：

2、自由段弹道偏差解析预报模型推导，具体是：

根据状态空间摄动理论，导弹自由飞行段弹道偏差的积分求解表示式为表达式9)：

式中：△v_r(f)、△v_β(f)和△v_z(f)分别为弹道状态偏差速度矢量在轨道柱坐标系中沿r轴、β轴和z方向的分量；△r(f)和△z(f)分别为弹道状态偏差位置矢量在轨道柱坐标系中沿r轴和z方向的分量；△t(_f)为实际飞行时间与标准二体弹道飞行时间之差；h为二体弹道平面对应的动量矩矢量的模；表示真近点角为ξ时对应的标准二体弹道地心距，即且p表示二体弹道的半通径，e表示二体弹道的偏心率；

将表达式8)代入表达式9)，并积分即得到每一项偏差的完整解析表达式10)-15)：

式中：均为常系数，k取1,2,3,4,5,6；l取1,2,3,4,5,6,7；且有：

Λ_i,j如表1所示：

表1函数Λ_i,j的表达式统计表

假设地心惯性系中关机点位置矢量为x₀＝[0，6578140，0]^T，沿地心矢方向的初始速度为3300m/s，在导弹飞行平面内且垂直于地心矢方向上的初始速度为6680m/s。同时对方位角从-90°到90°进行遍历。分别采用数值积分法、本实施例推导的解析解以及平根数法对弹道偏差进行解析预报(假设导弹在不同方位角情况下均飞行2700秒)，并将数值积分法的计算结果作为评价解析解以及平根数法精度的基准。平根数法采用一阶解进行计算，即仅考虑各轨道根数的一阶/二阶长期项、一阶长周期项、一阶短周期项。此外，为了保证平近点角一阶长周期项的计算精度，同时考虑了半长轴的二阶长、短周期项。

图3所示为J₂项引力的影响特性，可以看出：当前仿真条件下，J₂项引力对弹道位置影响最大接近18km，最小不低于4km；J₂项引力对轨道的影响随轨道参数的变化而变化，但总的趋势是：当方位角接近-90°、0°和90°时，J₂项引力的影响最显著；当方位角接近-50°或50°时，J₂项引力的影响最弱。

图4所示为不同方位角条件下本实施例推导的J₂项影响弹道偏差解析预报模型与平根数法相对于数值积分结果的计算残差对比情况，详见表2：

表2本实施例和现有技术中平根数发计算残差的统计分析结果

方法最大值(m)均值(m)均方差(m)本实施例方法29.662912.49307.3667现有技术中平根数法366.7923148.3389112.0958

从表2中可以看出：当前仿真仿真条件下，平根数法计算残差的均值为148.3389m，计算相对误差在1％左右；当前仿真条件下，本实施例提出的解析解在精度上比平根数高一个量级，计算相对误差优于2‰。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。