基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法

摘要

本发明提出基于状态积分的梯度‑修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法，包括以下步骤：步骤一：对高超声速飞行器的动力学模型进行无量纲化处理，对轨迹优化中的过程约束和终端约束条件进行合理转化，根据轨迹优化的精度需求选择采样点密度并确定轨迹优化模型；步骤二：判断初始条件下或者梯度近似运算后高超声速飞行器的飞行轨迹对约束方程和最优性方程的满足情况；步骤三：对所得优化结果进行平滑处理；剔除控制量结果中的跳跃点，应用插值方法进行平滑处理。本发明解决了复杂飞行环境下的高超声速飞行器的快速轨迹优化问题。

说明书

技术领域

本发明涉及基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法，属于火箭、导弹弹道学技术领域。

背景技术

伴随着航天技术的蓬勃发展，飞行器多约束条件下的轨迹设计问题成为了诸多学者们研究的重点，而应用优化方法将上述问题转化为飞行器轨迹优化问题是一种有效的解决方案。起初，学者们以解析法为研究重点，即根据最优控制理论推导飞行器最优轨迹的解析解，使用这种方法需要对飞行器轨迹设计问题进行简化，所得结果难以满足复杂飞行环境下飞行器飞轨迹设计的应用需求。随着计算机技术的发展，自20世纪70年代开始，研究者们渐渐地将研究重点转向了数值解法。

数值解法是将轨迹优化问题转化为一个等效的优化控制问题，然后应用数值计算方法在计算机辅助下来求解该等效问题。其中直接法是将轨迹优化问题转化为参数优化问题，然后应用参数优化方法进行求解。间接法是基于Pontryagin极大值原理将轨迹优化问题转化为求解最优轨迹的Hamiltonian边值问题，然后利用打靶法等方法进行求解。直接法虽然操作简单，但是其往往只能得到局部最优解，对优化初值敏感、求解速度相对较慢；间接法一般是以最优解的解析形式或者半解析形式为基础进行求解运算，其解的精度相对较高，往往能得到全局最优解，而且运算速度快，拥有应用于在线轨迹优化的潜力。

Miele于1970年提出的序列梯度-修复算法即为数值解法中的一种间接法，经过多年的发展，该方法已经发展成为了一种能够处理多种约束条件标准算法。该算法采用统一的最优性条件，简化了对伴随方程、横截条件等的推导过程，求解过程中运算速度快，而且由于修复环节的存在对初值不敏感。本发明即致力于应用该方法解决复杂飞行环境下的高超声速飞行器的快速轨迹优化问题。

发明内容

本发明目的是为了解决复杂飞行环境下的高超声速飞行器的快速轨迹优化问题，提供了基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法。

本发明的目的通过以下技术方案实现：基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法，包括以下步骤：

步骤一：对高超声速飞行器的动力学模型进行无量纲化处理，对轨迹优化中的过程约束和终端约束条件进行合理转化，根据轨迹优化的精度需求选择采样点密度并确定轨迹优化模型；

步骤二：判断初始条件下或者梯度近似运算后高超声速飞行器的飞行轨迹对约束方程和最优性方程的满足情况：如果满足上述条件，则应用基于状态积分的梯度近似算法，根据步长逼近最优解，直到上述条件不成立或者满足优化终止条件；如果不满足上述条件，而且不符合优化终止条件，则应用基于状态积分的修复算法，根据步长获得新的可行解，重复步骤二的过程直到满足优化终止条件；

步骤三：对所得优化结果进行平滑处理；剔除控制量结果中的跳跃点，应用插值方法进行平滑处理。

进一步地，在步骤一中：

飞行器动力学模型的无纲量化：

分别取地心距、时间的无量纲化系数为r_e和其中r_e是地球半长轴，是水平面处引力加速度，μ是地球引力常数；推导可得速度、加速度、角速度和力的无量纲化系数分别为g_e、和g_e；综上，高超声速飞行器无量纲化动力学模型即可转化为如下形式：

其中，为无量纲化速度，为无量纲化阻力，为无量纲化推力，α为攻角，m为飞行器质量，无量纲化重力加速度，γ为飞行路径角，为无量纲化升力，σ为倾侧角，为无量纲化地心矢径，ψ为航向角，θ为纬度，为经度；

约束处理：

高超声速飞行器的优化控制量取：攻角α、倾侧角σ及燃油当量比φ；根据高超声速飞行器物理约束与适用要求，攻角受到最大攻角α_max和最小攻角α_min的约束，即

α_min≤α≤α_max>

使用辅助控制量u₁，将攻角约束转化成下式(3)的形式

如此可以降低约束方程的维数，简化迭代计算的复杂性；同理，倾侧角σ和燃油当量比φ的约束可以转化成下式：

式中：下标“max”和“min”分别表示对应量的最大和最小约束值；u₂和u₃分别为倾侧角和燃油当量比的辅助控制量；

对于动压约束：

式中ρ是大气密度；V是飞行器与大气相对速度；q_max是给定最大动压；为了在优化过程中引入动压约束，引入辅助状态量y并进行无量纲化，则有

其中，μ为地球引力常数，r₀为初始地心距；

式(7)求导可得：

其中是大气密度对无量纲化地心距的导数；再引入辅助控制量χ，则有

体系下法向过载n_y约束：

其中N是实际法向力；n_max是给定最大法向过载约束，g₀是标准海平面引力加速度；引入辅助控制量o并进行无量纲化，则有

终端约束条件包括针对末端高度h_f、速度V_f和飞行路径角γ_f，将其取成等式约束即可，末端高度约束：

h_f＝C₁>

其中C₁为无量纲化后期望的末段飞行高度；

以飞行器燃料最省为指标时，即要求飞行器质量在末端时刻最大，那么性能指标可表示为：

min I＝-m(t_f)>

其中I为性能指标；

其他指标选择时间最短、射程最大、纵程最大和横程最大；

最优控制问题的一般描述：

最优控制问题一般可表示为求取如下函数的最小值：

结合无量纲化高超声速飞行器的动力学模型和选定的辅助变量可得状态方程：

根据工程经验选定初始条件：

x₀＝given>

轨迹优化中的终端约束条件：

ψ(x₁,π)＝0>

轨迹优化中的过程约束条件：

S(x,u,π,t)＝0 0≤t≤1 (20)

其中：性能指标I由积分型标量函数f和末端型标量函数g组成；分别为状态变量、状态微分函数、控制变量、参数向量、终端约束函数、时间变量、过程约束，而且0≤j≤n+i；n，k，i，j，+,l均表示向量的维数，x₁和x₀分别为状态量的末端值和初值；另外，状态方程式包含辅助状态量y的扩张状态方程；控制量选为：

u＝[u₁,u₂,χ,ο]^T>

将t_f当成参量，可通过相应地转化将任意积分区间0～t_f化成0～1区间；

将约束满足情况和最优性条件的满足情况转化为如下函数P_e和Q_e：

其中，是λ的导数，λ是拉格朗日乘子，带下标的函数表示相应函数对下标所示向量的导数列向量；(·)|₁表示在末端取值；上标T表示转置运算；

对于式(16)～式(20)的所示优化控制问题存在精确解时应有

P_e＝0>

Q_e＝0>

但是使用数值解法时，式(16)～式(20)所示优化问题的应使得

P_e≤ε₁>

Q_e≤ε₂>

成立，其中ε₁、ε₂均为给定的小量。

进一步地，在步骤二中：

初始状态的确定：

给出u(t)在初始点和末端点的参考值以及π的值，然后根据选定的积分点数，结合u(0)和u(t_f)通过线性插值得到中间点值，最后积分状态方程式(17)得到初始的状态量x(t)；

梯度近似算法的具体算法为：

假设x(t)、u(t)、π为满足式(17)～式(20)的一般解，分别为满足式(17)～式(20)的相应最优解，且有

其中Δ(·)表示相应变量的增量；定义分别为

A＝Δx/a (31)

B＝Δu/a (32)

C＝Δπ/a (33)

其中a为梯度解算步长；

那么最优控制问题的一阶梯度近似模型，为

如果状态量x(t)、控制量u(t)、参量π是满足式(17)～式(20)的可行解，那么结合状态积分求解式(34)可以得到A(t)、B(t)、C和相应拉格朗日乘子λ(t)、ρ(t)、μ，再通过搜索方法确定梯度解算步长a，使目标函数值性能指标I下降，从而获得新的状态量控制量参量进而不断地逼近最优解；

修复算法具体为：

定义向量

其中为修复步长；

那么结合新的变量，由一阶变分和最优控制理论可得修复模型如下：

其中带上划线的相应变量均表示根据给定的状态量控制量参量取值；

修复算法即通过不断地求解式(38)，使得新的状态量对应的约束满足函数P_e下降至一定的精度，从而找到在一定精度范围内满足式(17)～式(20)的状态量、控制量和参量，然后重复梯度近似算法，直到式(26)和式(27)均满足。

进一步地，所述步骤三具体为：

给定控制量的最大变化率通过判断所得优化结果中相邻两步控制量的变化率与对大变化率的关系，确定跳跃点的位置，然后提出跳跃点，并根据跳跃点前后的控制量幅值进行线性插值获得新的连续的控制量。

本发明的优点：首先，该发明继承了原始序列梯度-修复算法的优点，即运行速度快、对处置不敏感、结果相对最优等；其次，应用了新型的基于状态积分的梯度-修复算法，对模型的解析性要求降低；最后，由于高超声速飞行器的飞行环境复杂，模型的非线性较强，根据不同精度的轨迹优化模型能够快速获得相应精度的优化轨迹，优化结果的平滑处理能够消除优化结果中的冲击点(即结果中的跳跃点，毛刺现象)。

附图说明

图1是本发明所述基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法的流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

结合图1，本发明提出基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法，包括以下步骤：

步骤一：对高超声速飞行器的动力学模型进行无量纲化处理，对轨迹优化中的过程约束和终端约束条件进行合理转化，根据轨迹优化的精度需求选择采样点密度并确定轨迹优化模型；

步骤二：判断初始条件下或者梯度近似运算后高超声速飞行器的飞行轨迹对约束方程和最优性方程的满足情况：如果满足上述条件，则应用基于状态积分的梯度近似算法，根据步长逼近最优解，直到上述条件不成立或者满足优化终止条件；如果不满足上述条件，而且不符合优化终止条件，则应用基于状态积分的修复算法，根据步长获得新的可行解，重复步骤二的过程直到满足优化终止条件；

步骤三：对所得优化结果进行平滑处理；剔除控制量结果中的跳跃点，应用插值方法进行平滑处理。

在步骤一中：

1.飞行器运动数学模型的无量纲化。

分别取地心距、时间的无量纲化系数为r_e和其中r_e是地球半长轴，是水平面处引力加速度，μ是地球引力常数。推导可得速度、加速度、角速度和力的无量纲化系数分别为g_e、和g_e。综上，一般的高超声速飞行器无量纲化运动学模型即可转化为如下形式：

其中，为无量纲化速度，为无量纲化阻力，为无量纲化推力，α为攻角，m为飞行器质量，无量纲化重力加速度，γ为飞行路径角，为无量纲化升力，σ为倾侧角，为无量纲化地心矢径，ψ为航向角，θ为纬度，为经度；

2.约束处理。

高超声速飞行器的优化控制量一般取：攻角α、倾侧角σ及燃油当量比φ。根据高超声速飞行器物理约束与适用要求，攻角一般受到最大攻角α_max和最小攻角α_min的约束，即

α_min≤α≤α_max>

使用辅助控制量u₁，将攻角约束转化成下式(3)的形式

如此可以降低约束方程的维数，简化迭代计算的复杂性。同理，倾侧角σ和燃油当量比φ的约束可以转化成下式：

式中：下标“max”和“min”分别表示对应量的最大和最小约束值；u₂和u₃分别为倾侧角和燃油当量比的辅助控制量。

优化问题中的常用的过程约束一般包括动压约束、法向过载约束等。对于动压约束：

式中ρ是大气密度；V是飞行器与大气相对速度；q_max是给定最大动压。为了在优化过程中引入动压约束，引入辅助状态量y并进行无量纲化，则有

其中，μ为地球引力常数，r₀为初始地心距；

式(7)求导可得：

其中是大气密度对无量纲化地心距的导数；显含控制量。再引入辅助控制量χ，则有

体系下法向过载n_y约束：

其中N是实际法向力；n_max是给定最大法向过载约束，g₀是标准海平面引力加速度。引入辅助控制量o并进行无量纲化，则有

常用的终端约束条件一般包括针对末端高度h_f、速度V_f和飞行路径角γ_f等，将其取成等式约束即可，如末端高度约束：

h_f＝C₁>

其中C₁为无量纲化后期望的末段飞行高度。

以飞行器燃料最省为指标时，即要求飞行器质量在末端时刻最大，那么性能指标可表示为：

min I＝-m(t_f)>

其中I为性能指标；

其他指标可以选择时间最短、射程最大、纵程最大和横程最大等。

3.最优控制问题的一般描述：

最优控制问题一般可表示为求取如下函数的最小值：

结合无量纲化高超声速飞行器的动力学模型和选定的辅助变量可得状态方程：

根据一定的工程经验选定初始条件：

x₀＝given>

轨迹优化中的终端约束条件：

ψ(x₁,π)＝0>

轨迹优化中的过程约束条件：

S(x,u,π,t)＝0 0≤t≤1 (58)

其中：性能指标I由积分型标量函数f和末端型标量函数g组成；分别为状态变量、状态微分函数、控制变量、参数向量、终端约束函数、时间变量、过程约束，而且0≤j≤n+i；n，k，i，j，+,l均表示向量的维数，x₁和x₀分别为状态量的末端值和初值；另外，状态方程式包含辅助状态量y的扩张状态方程；控制量一般选为：

u＝[u₁,u₂,χ,ο]^T>

将t_f当成参量，可通过相应地转化将任意积分区间0～t_f化成0～1区间。

在应用序列梯度-修复算法的过程中，一般将约束满足情况和最优性条件的满足情况转化为如下函数P_e和Q_e：

其中，是λ的导数，λ是拉格朗日乘子，带下标的函数表示相应函数对下标所示向量的导数列向量；(·)|₁表示在末端取值；上标T表示转置运算。

对于式(16)～式(20)的所示优化控制问题存在精确解时应有

P_e＝0>

Q_e＝0>

但是使用数值解法时，式(16)～式(20)所示优化问题的应使得

P_e≤ε₁>

Q_e≤ε₂>

成立，其中ε₁、ε₂均为给定的小量。

在步骤二中：

步骤二中初始状态的确定：

由高超声速飞行器设计研究中的相关知识，给出u(t)在初始点和末端点的参考值以及π的值，然后根据选定的积分点数，结合u(0)和u(t_f)通过线性插值得到中间点值，最后积分状态方程式(17)得到初始的状态量x(t)。

步骤二中梯度近似算法的具体算法为：

假设x(t)、u(t)、π为满足式(17)～式(20)的一般解，分别为满足式(17)～式(20)的相应最优解，且有

其中Δ(·)表示相应变量的增量。定义分别为

A＝Δx/a (69)

B＝Δu/a (70)

C＝Δπ/a (71)

其中a为梯度解算步长。

那么最优控制问题的一阶梯度近似模型，为

如果状态量x(t)、控制量u(t)、参量π是满足式(17)～式(20)的可行解，那么结合状态积分求解式(34)可以得到A(t)、B(t)、C和相应拉格朗日乘子λ(t)、ρ(t)、μ，再通过合理的搜索方法确定梯度步长a，使目标函数值I下降，从而获得新的状态量控制量参量进而不断地逼近最优解。

修复算法具体为：

应用梯度算法的首要条件是当前状态量x(t)、控制量u(t)、参量π能够满足式(17)～式(20)所示方程。但是这样的初值很难确定，另外经过一次梯度近似后所获得的状态量等也不一定满足式(17)～式(20)所示方程。因此，需要使用修复算法对初值或一次梯度近似后所获解进行修复。

假设状态量等不能在一定精度范围内满足式(17)～式(20)，定义向量

其中为修复步长。

那么结合新的变量，由一阶变分和最优控制理论可得修复模型如下：

其中带上划线的相应变量均表示根据给定的状态量控制量参量取值。

修复算法即通过不断地求解式(38)，使得新的状态量等对应的约束满足函数P_e下降至一定的精度，从而找到在一定精度范围内满足式(17)～式(20)的状态量、控制量和参量。然后重复梯度近似算法，直到式(26)和式(27)均满足。

所述步骤三具体为：

由于高超声速飞行器的飞行环境极为复杂，模型的非线性较强，在差分运算中容易造成各别采样点处控制量的跳变，形成类似于冲激响应的跳跃点，这与高超声速飞行器的实际特性不符合。因此，需要对优化结果中的控制量进行平滑处理，从而得到实际可行的次优解。具体操作中可以给定控制量的最大变化率通过判断所得优化结果中相邻两步控制量的变化率与对大变化率的关系，确定跳跃点的位置，然后提出跳跃点，并根据跳跃点前后的控制量幅值进行线性插值获得新的连续的控制量。

以上对本发明所提供的基于状态积分的梯度-修复算法的高超声速飞行器快速轨迹优化方法，进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。