Felszíni és felszín alatti áramlások számításának új eszköze: a hálónélküli véges elem módszer = A new tool for the computation of surface and subsurface flows: the meshless finite element method

摘要

A kutatásban a témavezető által korábban kidolgozott multi-elliptikus interpolációs módszeren alapuló hálónélküli módszereket konstruáltunk elliptikus parciális differenciálegyenletek megoldására. Ezek jellegzetessége, hogy a megoldási tartományt nem kell sem ráccsal vagy végeselemes hálóval diszkretizálni, ehelyett elég azokon egy struktúra nélküli ponthalmazt megadni. A struktúranélküliség ellenére lehetséges jól közelítő módszereket definiálni, melyek még többszintű, gyors megoldási technikákkal is kombinálhatók. A partikuláris megoldások elvét alkalmazva, az eredeti probléma visszavezethető homogén probléma megoldására. Ehhez elegendő volt egy speciális perem típusú interpolációt konstruálni, mely numerikusan kevés műveletigényű és ugyanakkor stabil módszer. A technikát általánosítottuk nemkonstans együtthatós elliptikus problémákra is, és ez a megközelítés lett az alapja a peremrekonstrukció módszerének és a regularizált alapmegoldás-módszernek is. Még általánosabban alkalmazhatónak bizonyultak a radiális bázisfüggvényeken alapuló lokális hálónélküli sémák, és különösen a multi-elliptikus interpolációra alapozott újraglobalizált sémák, melyeket az utóbbi évben fejlesztettünk ki. Ezeket sikerrel alkalmaztuk a Stokes-probléma megoldására is. A témavezető nagyrészben ezekre a kutatási eredményekre alapozva 2007 februárjában MTA-doktori értekezést adott be, melyet szakmai jelentésként fájlban csatoltunk. | In the present project, meshless methods based on the multi-elliptic interpolation proposed earlier by the project leader were constructed in order to solve elliptic partial differential equations. Their main feature is that there is no need to discretize the domain by either a grid or a finite element mesh. In spite of the lack of the structure, it is possible to define meshless methods with good approximation properties, moreover, they can be combined with fast, multi-level solution techniques. Applying the idea of the particular solutions, the problem can be converted to the solution of a homogeneous problem. To this end, it is sufficient to construct a special boundary interpolation, which requires low computational cost and remains numerically stable. The technique was generalized to elliptic problems with nonconstant coefficients, moreover, this approach became the basis of the boundary reconstruction method as well as the regularized method of fundamental solutions. The local meshless schemes based on the radial basis functions and especially the re-globalized schemes based on the multi-elliptic interpolation have proved even more generally applicable. These methods were developed in the last year and they were succesfully applied to the Stokes problem. Based mainly on these research results, the project leader submitted his Doctoral Theses to the Hungarian Academy of Sciences in February, 2007, which is attached as a research report in a separated file.