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Gamma function inequalities

机译:伽玛函数不等式

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摘要

We prove various new inequalities for Euler’s gamma function. One of our theorems states that the double-inequality $$alpha cdot Bigl(frac{1}{Gamma,(sqrt{x})}+frac{1}{Gamma,(sqrt{y})}Bigr) {kern-1pt}<{kern-1pt} frac{1}{Gamma,( sqrt{x+y-xy})}+ frac{1}{Gamma,( sqrt{xy})} {kern-1pt} <{kern-1pt} beta cdot Bigl( frac{1}{Gamma,(sqrt{x})}+frac{1}{Gamma,(sqrt{y})}Bigr)$$ is valid for all real numbers x,y ∈ (0,1) with the best possible constant factors $alpha=1/sqrt{2}=0.707...$ and β = 1.
机译:我们证明了Euler伽玛函数的各种新不等式。我们的一个定理指出,双不等式$$ alpha cdot Bigl(frac {1} {Gamma,(sqrt {x})} + frac {1} {Gamma,(sqrt {y})} Bigr){kern- 1pt} <{kern-1pt} frac {1} {Gamma,(sqrt {x + y-xy})} + frac {1} {Gamma,(sqrt {xy})}} {kern-1pt} <{kern- 1pt} beta cdot Bigl(frac {1} {Gamma,(sqrt {x})} + frac {1} {Gamma,(sqrt {y})} Bigr)$$对所有实数x,y∈( 0,1),且常数系数最好为$ alpha = 1 / sqrt {2} = 0.707 ... $,β= 1。

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