Computation of Integrals over the Half-Line Involving Products of Bessel Functions, with Application to Microwave Transmission Lines

摘要

We consider the numerical computation of integrals of the form ∫ from o to ∞ of f(x) J_v(ax) J_μ(bx) dx. Integrals of this type occur, e.g., in the analysis of planar transmission lines in microwave applications when using the Spectral-Domain Galerkin-Method, where the computations are done in the Fourier transform or spectral domain. Iff is only slowly decaying, then these integrals cannot be efficiently computed by standard methods, because of the irregular oscillating nature of the integrand. The method developed here is to replace the Bessel functions by asymptotic expansions, then to change the path of integration into the complex plane, and apply the Gauss- Laguerre quadrature formula. Proceeding in this way, we need only a very small number of function values off to compute the integral to high accuracy.%Wir betrachten die numerische Berechnung von Integralen der Form ∫ from o to ∞ of f(x) J_v(ax) J_μ(bx) dx Derartige Integrale treten z. B. bei der Charakterisierung von planaren Leitungen im Mikrowellenbereich auf, wenn das Galerkin- Verfahren im Spektralbereich angewendet wird. Wenn die Funktion f nur langsam abklingt, ist, wegen der Überlagerung unterschiedlicher Oszillationen, die effiziente Berechnung derartiger Integrale mit Standardmethoden kaum möglich. Die hier dargestellte Methode besteht darin, die Bessel-Funktionen durch asymptotische Entwicklungen zu ersetzen und den Integrationsweg ins Komplexe abzuändern. Anschließend werden Gauss-Laguerre-Quadraturformeln angewendet. Auf diese Weise ist es möglich, mit einer kleinen Anzahl von Auswertungen der Funktion f diese Integrale mit hoher Genauigkeit zu berechnen.