利用韦达定理求解析几何中的一些数学问题

摘要

在教学数学的解析几何内容中，经常碰到有些题目需利用韦达定理来解答，并且有时利用韦达定理解答某些解析几何题目时解答得很自然、很简单、很美妙．譬如，求直线与二次曲线的相交弦的中点坐标、中点轨迹方程、截得弦的长、或由曲线外一点向曲线引割线，计算该点至两点的线段和积等一类的问题时，这些问题往往可归结为求直线与二次曲线相交弦的端点（x1，y1）、（x2，y2）的坐标，而解直线方程和二次曲线方程组成的方程组，其解便是端点的坐标．但是，若在求相交弦中点坐标或与端点坐标有关的问题，例如求端点之横（纵）坐标之积，相交弦长等时，前面的方法便显得繁琐，其实，对于这类问题，重要的不是求x1、x2各是多少，而是只知它们的积或差是多少，而（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，坐标差的问题实质上也是坐标和积的问题，如果将直线方程代入二次曲线方程，便可消去一个未知数（x或y）可得另一个未知数的一元二次方程，由于x1＋x2，x1·x2容易转化得来，因此，再利用韦达定理便可求解析几何中的一些问题了，并且显得很方便也很容易．