一道IMO试题的推广

摘要

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a^2b(a-b)≡a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a^3b(a-b)≥0 (2) ∑a^4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a^3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x^2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x^2-x^3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x^2+3σ_1x^3-x^4)