一道IMO试题的证明及其推广

摘要

题目 证明:(2m)!(2n)!/m!n!(m+n!)是整数.(第14届IMO试题)该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数[x].1 知识背景方次数函数potpn:表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是n的素因数,则次数记为0).如20=22.5,则pot220=2,pot320=0,pot520=1.下取整函数[x]:表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分).如[1.2] =1,[3] =3.这2个数论函数在数论中非常有用,由定义可得到下列简单的性质:性质1 potp(mn)=potpm+ potpn.