圆锥面截口线是圆锥曲线的初等证法

摘要

高中数学教材中提到椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线,这是因为这三种曲线都可用一个平面与圆锥面相截,所得的截口线即为这三种曲线之一.这个结论用高等数学的知识是不难证明的,但较少看到此结论的初等证明.本文拟探究此结论的初等证明方法.设圆锥面的半顶角为β,为了便于研究,我们仅取圆锥面的一半,并用垂直于其轴的平面截圆锥面,构成一个圆锥.如图1,圆锥的轴截面为等腰△ABC,轴为AO,一平面截圆锥面,直线AO与该平面所成的角α称为轴截角.设圆锥底面半径为R,(1)α=β.图1如图1,平面EDG截圆锥面,轴截角∠AOD=α=β=∠OAC,截口线为曲线EDG,易知OD∥AB,OD=AD=R2sinβ.在平面EDG上取OD为x轴,D为原点建立平面直角坐标系,P(x,y)是截口线EDG上任意一点,连AP交底面圆于M,过P作PN⊥OD于N,则DN=x,NP=y.连OM,过P作PP′⊥OM于P′,过N作NN′⊥OC于N′,连P′N′,易证PP′、NN′均与圆锥底面垂直,∠ONN′=∠P′PM=α=β.在OD上取点F(-R2sinβ,0),在平面EDG上取直线l:x=R2sinβ(图1中均未画出),则P点到直线l的距离d=R2sin...