关于介值定理和中值定理的推广

摘要

众所周知,连续函数的介值定理是分析中最重要、最基本的结果之一,然而在理论和实际中经常遇到不连续函数,此时上述定理已不适应。本文的目的是给出只有第一类不连续点的函数的介值定理,由此得到微分、积分中值定理的相应推广。 定理1 设f（x）是定义在[a,b]上只有第一类不连续点的函点（即x₀∈[a,b],f（x₀±0）=lim f（x）存在）,为方便计f（a-0）=f（a+0）,f（b+0）=f（b-0）,那么对r∈[f（a+0）,f（b-0）]（或r∈[f（b-0）,f（a+0）]）,存在C∈[a,b]以及非负数α、β满足α+β=1和r=αf（c-0）+βf（c+0）。 证 假若f（a+0）=r或f（b-0）=r,则定理显然成立（只须取c=a或c=b,α=1-β,α,β0）,因此,不失一般性设f（a+0）rf（b-0）,记F（x）=f（x）-r,那么F（x）也只有第一类不连续性,且F（a+0）0F（b-0）。